´ electrodynamique quantique en circuit
5.1 Qubits de flux supraconducteurs
Tel qu’´elabor´e au chapitre §3, les qubits de charges comme la boˆıte de Cooper ont comme bon nombre quantique le nombre de paires de Cooper sur l’ˆıle et comme va-riable conjugu´ee la diff´erence de phase supraconductrice aux bornes de la jonction. En connectant les deux bornes de la jonction ensemble via une boucle d’inductance L, on cr´e´e un autre type de circuit quantique bas´e sur une topologie circulaire. Mod´elis´e par l’hamiltonien
H = 4ECn+EL
2 φ2+EJcos[2π
Φ0(φ−Φx)], (5.1)
le circuit est caract´eris´e par le flux magn´etiqueφ g´en´er´e dans la boucle par la circulation de la charge conjugu´ee q = 2en. Contrairement aux qubits de charge, la variable φ est d´efinie sur tout le domaine r´eel de sorte que la charge accumul´ee sur la capacit´e de la jonction est une variable continue. Ce type de circuit Josephson permet de s’affranchir des fluctuations nuisibles de la charge environnante de deux mani`eres. D’une part, le shunt inductif enl`eve les ˆılots de charge dans le circuit alors que d’autre part, travailler dans
§5.1. Qubits de flux supraconducteurs 143 dans le r´egime EJ/EC 1est avantageux pour diminuer l’impact du bruit de charge.
Avec un flux externe appliqu´e deΦx ≈Φ0/2, l’´energie potentielle pr´esente une struc-ture en double-puits dont la hauteur de la barri`ere est contrˆol´ee par le ratio de participa-tion inductif EL/EJ.1alors que le flux externe d´etermine la hauteur relative des puits.
Les ´etats localis´es correspondent, respectivement `a des ´etats de courant circulant dans le sens horaire ou anti-horaire. La hauteur de la barri`ere est cependant telle que les fonctions d’ondes des ´etats des puits se chevauchent, produisant une interaction tunnel Etunnel et une hybridation des fonctions d’ondes. Pour une valeur de flux externe Φx = Φ0/2, les deux puits sont d´eg´en´er´es et les ´etats propres du circuit correspondent `a une combinaison sym´etrique et anti-sym´etrique des ´etats de courants. Dans cette configuration, le circuit est fortement anharmonique et les deux premiers niveaux d’´energie|0i,|1i d´efinissent les ´etats du qubit.
A ce point d’op´` eration, le qubit est prot´eg´e des effets du d´ephasage caus´e par les fluctuations lentes du champ magn´etique alors que sa fr´equence d’op´eration n’est fix´ee que par l’interaction tunnel ω01/2π = 2Etunnel/h. Malgr´e cela, le qubit poss`ede tout de mˆeme un moment dipolaire magn´etique fini. Sous l’influence d’un petit champ magn´etique alternatif Φrf(t) uniforme traversant la boucle, un d´eveloppement en s´erie de Taylor du cosinus de l’´Eq. (5.1) permet d’obtenir l’hamiltonien d’interaction avec le champ. Dans la base des ´etats propres|ii de l’hamiltonien du circuit, l’interaction dipolaire magn´etique prend la forme
Hint =X
ij
mijBrf(t)|ii hj|, (5.2)
o`u on a utilis´e le fait que Φrf = ABrf pour une boucle de surface A et o`u mij est le moment dipolaire magn´etique du qubit dans la base des ´etats propres
mij ≡IcAhi|sin
2π
Φ0(φ−Φx)
|ji. (5.3)
Pour des ´etats de courants de l’ordre de Ic = 2πEJ/Φ0 ∼ 1 µA, un qubit de surface A∼10µm2 pr´esente un moment magn´etique macroscopique correspondant `a m01∼106 magn´etons de Bohr. En choisissant la fr´equence de l’excitation en r´esonance avec la transitionω01, l’´etat quantique du qubit de flux peut ainsi ˆetre contrˆol´e avec le flux, d’o`u son appellation.
Pour obtenir une fr´equence de transitionω01/2π∼10GHz, la r´ealisation physique de
Figure 5.1: Couplage g´eom´etrique entre un qubit de flux et un r´esonateur.En pla¸cant un qubit de flux `a proximit´e de l’´electrode centrale, le couplage dipolaire magn´etique r´esulte de l’inductance mutuelle g´eom´etrique entre la boucle du qubit et le r´esonateur. Dans cette conception, on accroˆıt le couplage en approchant le qubit du r´esonateur ou en augmentant la surface de la boucle du qubit, au d´etriment de la sensibilit´e au bruit de flux environnant.
ce type de qubit n´ecessite une inductance L tr`es grande. Ainsi, une configuration de type SQUID-RF [113] avec un simple fil supraconducteur ne peut suffire `a la tˆache sans d´efinir une surface de boucle si grande que la sensibilit´e du qubit au bruit de flux magn´etique rend le qubit inop´erable. Une meilleure strat´egie consiste `a utiliser l’importante inductance que procurent de grandes jonctions Josephson dans les basses fr´equences. Bien que seulement trois ou quatre de ces jonctions soient suffisantes pour obtenir un qubit de flux ad´equat pour du calcul quantique [35,114], l’utilisation d’un r´eseau de jonctions en s´erie permet d’explorer de nouveaux r´egimes d’´etats quantiques macroscopiques [109,110].
Dans ce chapitre je me concentre sur l’utilisation d’un qubit de flux compos´e de trois jonctions au sein d’une architecture `a ´electrodynamique quantique en circuit [53]. La g´en´eralisation du sch´ema de couplage `a d’autres qubits semblables tels le fluxionium sera alors directe [115].
5.1.1 Qubit de flux ` a trois jonctions
Un qubit de flux compos´e de trois jonctions de capacit´e CJet d’´energieEJtel qu’illus-tr´e `a la Fig. 5.1 est repr´esent´e par le lagrangien
L3J=
3
X
i=1
CJi 2
φ˙2i −EJicos [2πφi/Φ0], (5.4)
dans la limite o`u l’inductance intrins`eque de la boucle est n´egligeable. On suppose que les jonctions 1 et 3 sont identiques alors que la jonction 2 est plus petite de sorte que
§5.1. Qubits de flux supraconducteurs 145 EJ2 =βEJ et CJ2 =βCJ, avec β <1.
Les flux de branchesφir´epondent `a la contrainte de conservation de courant (´Eq. (2.11))
φ1+φ2−φ3 = Φx, (5.5)
`
a partir de laquelle on d´etermineφ2. D´efinissant ensuite de nouvelles variables de fluxφ±
selon
φ± = φ3±φ1
2 , (5.6)
ainsi que leur charge conjugu´e q±, le terme cin´etique de l’hamiltonien du qubit peut ˆetre diagonalis´e. On obtenient ainsi [116]
H3J= q+2
2C+ + q−2 2C−
−2EJcosϕ+cosϕ−−βEJcos [ϕx+ 2ϕ−], (5.7) en utilisant la notation des flux r´eduitsϕi = 2πφi/Φ0 et o`u les capacit´es sont C+ = 2CJet C−= 2CJ(1 + 2β). La plus petite jonction (EJ2) joue le rˆole d’une inductance de boucle, alors que le param`etre β = 2EJ2/(EJ1 +EJ3) est l’analogue du ratio de participation inductif. Les deux derniers termes de l’´Eq. (5.7) correspondent au potentiel formant un r´eseau carr´e centr´e de vecteurs de base ~a1 = (0,2π), ~a2 = (π, π). Tel que repr´esent´e `a la Fig. 5.2a), lorsque Φx ≈Φ0/2, l’interf´erence des courants circulant dans l’inductance des jonctions 1 et 3 avec celui circulant dans l’inductance de la jonction 2 est telle que le potentiel pr´esente un double-puits en(0,0).
Les ´etats |ii et ´energies Ei = ~ωi propres de l’hamiltonien sont d´etermin´ees nu-m´eriquement par diagonalisation exacte dans l’espace discret (ϕ+, ϕ−). L’hamiltonien `a l’´Eq. (5.7) s’exprime dans la base diagonale simplement comme
H3J =X
i
~ωi|ii hi|. (5.8)
Dans un r´egime o`u EJ/EC 1, les fonctions d’ondes des premiers ´etats propres sont confin´ees `a l’int´erieur du double-puits comme on peut le constater `a la Fig. 5.2b). Tout comme le qubit de charge, ce r´egime permet de r´eduire la sensibilit´e du qubit au bruit de charge environnant malgr´e la pr´esence d’ˆılots dans le circuit. Grˆace `a son insensibilit´e au bruit de flux au point de d´eg´en´erescence [voir Fig. 5.2c)], le temps de d´ecoh´erence des qubits de flux est limit´e par la relaxation et est de l’ordre de T2 ≈2T1 = [1−10] µs [112].
0
0.2
0.5
0.49 0.51
0 0.4 0.6
-10 0 10 20 30 40 50
0.5
0.49 0.51
0 0
50 25
-25 -50 0
a) b)
c) d)
Figure 5.2: Le spectre du qubit de flux.Caract´eristiques du qubit de flux `a trois jonctions similaire `a la r´ealisation exp´erimentale de la R´ef. [36] avec β = 0.8 EJ/h = 259 GHz et un ratio EJ/EC = 35. a) ´Energie potentielle dans l’espace bidimensionnel ϕ−ϕ+ pr´esentant un r´eseau p´eriodique de double-puits de vecteurs ~a1 = (0,2π) et~a2 = (π, π) lorsque Φx = Φ0/2.
b) Coupe selonϕ+= 0 du double-puits de potentiel et des fonctions d’ondes des trois premiers
´
etats propres du double puits de fr´equences ωi `a Φx = Φ0/2. ´Energies propres (c) et ´el´ements de matrices dipolaires magn´etiques (d) en fonction du flux externe appliqu´e montrant la forte anharmonicit´e du circuit et l’absence de r`egles de s´election en dehors du point de d´eg´en´erescence.
§5.2. Sch´emas de couplage magn´etique entre un qubit de flux et un r´esonateur 147 Ce qui d´emarque le qubit de flux du qubit de charge dans le r´egime transmon est sa tr`es grande anharmonicit´e qui permet d’effectuer des op´erations logiques tr`es rapides sans se soucier d’exciter le troisi`eme niveau. De plus, on remarquera `a la Fig. 5.2d) l’ab-sence de r`egles de s´election des transitions dipolaires magn´etiques en dehors du point de d´eg´en´erescence Φx = Φ0/2, alors que la sym´etrie du potentiel Josephson est bris´ee [117].
Formant alors un syst`eme `a trois niveaux dans une configuration cyclique, un syst`eme
∆, le qubit de flux pourrait ˆetre utilis´e pour produire des effets d’optique quantique, par exemple, un effet laser sans inversion ou une transparence induite par l’´electromagn´ e-tisme dans des circuits supraconducteurs [106,118–120]. En collaboration avec Jaewoo Joo et Barry Sanders de l’Universit´e de Calgary, j’ai explor´e la possibilit´e de contrˆoler de mani`ere coh´erente la r´eponse spectrale d’un syst`eme ∆ supraconducteur. Nos r´esultats, publi´es dans Physical Review Letters [121] et qu’on retrouve `a l’annexe G, d´emontrent qu’il est possible de contrˆoler un qubit pour qu’il puisse absorber, ˆetre transparent ou amplifier un signal micro-onde sur demande. Nos r´esultats num´eriques sont accompagn´es d’une proposition exp´erimentale avec des param`etres r´ealistes pour l’observation de ces ph´enom`enes d’optique quantique avec des circuits supraconducteurs.