Emission spontan´ ´ ee devant un miroir

Jusqu’`a pr´esent, le processus d’´emission spontan´ee d’un qubit dans un r´esonateur a ´et´e abord´e en ne consid´erant que la dynamique sur des temps longs. Ainsi, la probabilit´e de

3. La limite basse fr´equence de l’´el´ement de matrice n01 →1/2 n’est valide que pour un transmon compos´e d’un SQUID sym´etrique avec d=0 et avec une charge de grillen_g= 1/2.

d

a) b)

Figure 3.9: R´etroaction d’un miroir sur un atome. a) Un atome excit´e plac´e `a une distance dd’un miroir relaxe vers son fondamental au taux γ en ´emettant de la radiation `a la fr´equenceω_a=kv. Apr`es un tempsd/v, l’onde ´emise atteint le miroir, est r´efl´echie en direction de l’atome avec une phase suppl´ementairekdet interf`ere avec l’onde qui continue d’ˆetre ´emise de l’atome. b) Si ωa = 2πv/4d, l’onde r´efl´echie accumule une phase 2kd = π et interf`ere destructivement avec l’onde ´emise. Pour des tempst >2d/v, les fluctuations du vide prennent la forme d’un mode stationnaire d’un interf´erom`etre de Fabry-P´erot o`u l’atome agit comme un miroir semi-r´efl´echissant. Les fluctuations poss´edant un noeud `a la position de l’atome, le taux de relaxation de l’atome change pour_eγ = 0, ouκsi le miroir est imparfait. Le sch´ema repr´esente la situation telle qu’elle se produit pour un qubit supraconducteur dans un r´esonateur. Pour un atome dans le vide devant un miroir, il y a un d´ephasage deπ de l’onde r´efl´echie et la condition d’interf´erence devient plutˆotkd=π.

retrouver le qubit dans son ´etat excit´e d´ecroit de mani`ere exponentielle au taux moyen γ<sub>κ</sub>. L’implication de chaque harmonique du r´esonateur `a la relaxation depuis le taux Purcell multimode `a l’´Eq. (3.63) laisse l’impression que le qubit«connaˆıt» son environ-nement ´electromagn´etique avant de relaxer et d’´emettre un photon. La question de savoir comment un qubit «apprend»la pr´esence du r´esonateur se pose donc naturellement.

Il faut alors aborder le probl`eme autrement en regardant plutˆot la dynamique sur des p´eriodes de temps tr`es courtes. Lorsque le qubit est plac´e dans une ligne `a transmission infinie, ce dernier relaxe vers son ´etat fondamental en ´emettant une onde plane se pro-pageant `a la vitesse de groupe v = 1/√

L⁰C⁰ de part et d’autre de la ligne `a la fr´equence ω<sub>a</sub>. Apr`es un temps t, la probabilit´e que le qubit soit encore dans l’´etat excit´e suit une d´ecroissance exponentielle P₁(τ) = e^−γt. Pendant ce laps de temps, le front de l’onde s’est d´eplac´e d’une distance tv et continuera `a le faire sans relˆache vers l’infini.

La situation est toute autre lorsque les conditions fronti`eres de la ligne `a transmission sont chang´ees [83,84]. On consid`ere maintenant la situation o`u le qubit est plac´e `a une distance x = d de l’extr´emit´e d’une ligne `a transmission semi-infinie, un espace

uni-§3.6. Effets de r´etroaction des miroirs sur les qubits 91 dimensionnel avec une condition fronti`ere parfaitement r´efl´echissante telle un miroir<sup>4</sup> plac´e en x = 0 comme illustr´e `a la Fig. 3.9. Apr`es un temps τ = d/v 1/γ, l’onde

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emise par le qubit atteint l’extr´emit´e, est r´efl´echie et interf`ere avec l’onde qui continue d’ˆetre ´emise. Si le qubit est plac´e `a une distance commensurable avec la longueur d’onde λ= 2πv/ω_adu signal ´emis, c’est-`a-dire sid =mλ/4avecm ∈N, l’onde r´efl´echie accumule une phase de φ=mπ enx=d par rapport `a l’onde ´emise. Par interf´erence constructive ou destructive, une onde stationnaire entre le qubit et le miroir s’installe. Le qubit agit alors essentiellement comme un miroir semi-r´efl´echissant, formant un interf´erom`etre de Fabry-P´erot.

Le miroir de la ligne `a transmission procure une r´etroaction sur le qubit en changeant l’amplitude des fluctuations du vide agissant `a son endroit. De ce fait, il alt`ere le processus de relaxation du qubit vers un taux effectif <sub>e</sub>γ pour les temps t≥2τ. Lorsquem est pair, l’onde ´emise et l’onde r´efl´echie sont en phase pour x ≥ d et s’additionnent de mani`ere constructive. Le qubit ´etant plac´e `a un ventre du mode stationnaire, la relaxation est amplifi´ee par un effet d’´emission stimul´ee et γ > γ. Par contre si_e m est impair, l’onde

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emise et l’onde r´efl´echie sont en anti-phase et interf`erent de mani`ere destructive pour x≥d. La relaxation n’est plus permise dans la ligne alors que l’interaction entre le qubit et son environnement dissipatif en x > d est fortement inhib´ee produisant γe = 0. Dans la situation o`u le miroir de la ligne serait imparfait, le taux d’´emission spontan´ee serait alors limit´e par la transmission de ce dernier.

De cette fa¸con, il y a donc un d´elai t = 2τ avant que le qubit soit affect´e par l’ex-tr´emit´e de la ligne `a transmission et «connaisse» son environnement. Dans les circuits supraconducteurs, o`u v ∼ c/2 et d ∼ 1 cm avec c la vitesse de la lumi`ere dans le vide, on trouve 2τ ∼ 0.067 ns. Ce d´elai est tr`es court en comparaison au taux de relaxation 1/γ 100 ns typiquement retrouv´e pour les qubits supraconducteurs. La r´etroaction des conditions fronti`eres de l’environnement sur le qubit se fait donc de mani`ere quasi-instantan´ee. Pour les ´echelles de temps t τ, la dynamique de relaxation du qubit est une exponentielle d´ecroissante suivant le taux de relaxation effectif P1(t) ≈ e^−eγt [84].

C’est ainsi que le qubit semble «connaitre » son environnement ´electromagn´etique a priori et que la formulation quantique multimode du taux Purcell `a l’´Eq. (3.63) d´ecrit

4. En passant d’un milieu `a imp´edance faible vers le vide (`a imp´edance ´elev´ee), la r´eflexion l’extr´emit´e d’une ligne `a transmission (ou d’un r´esonateur) est dite molle et l’onde r´efl´echie est identique `a l’onde incidente. Pour un miroir plac´e dans le vide, les milieux de propagations sont invers´es de sorte que la r´eflexion implique un d´ephasage deπde l’onde r´efl´echie par rapport `a l’onde incidente. L’analogie entre l’extr´emit´e de la ligne `a transmission et un miroir doit donc ˆetre prise au sens large.

ad´equatement le processus d’´emission spontan´ee dans un r´esonateur.

Cet effet de r´etroaction d’un miroir sur un atome a ´et´e mesur´e exp´erimentalement en laboratoire. En d´epla¸cant un miroir mobile devant un atome dans un pi`ege `a ions [85,86], le groupe de Rainer Blatt de l’Universit´e de Innsbr¨uck a d´etect´e une modulation de l’in-tensit´e de la lumi`ere ´emise par l’atome en fonction de la position du miroir. Ces r´esultats sont coh´erents avec la th´eorie qui implique un changement de l’amplitude des fluctuations du vide sur le qubit et montrent que le syst`eme miroir-atome est un interf´erom`etre de Fabry-P´erot.

Par une forte suppression de la relaxation de l’atome dans le vide, ces auteurs sug-g`erent d’utiliser le montage miroir-atome comme m´emoire avec un long temps de vie pour du calcul quantique. L’efficacit´e du montage est toutefois limit´ee par la qualit´e des len-tilles utilis´es pour collecter et focaliser le rayonnement de l’atome. Dans ces exp´eriences, seulement ∼1% du rayonnement ´emis revient sur l’atome via le miroir. La limite sup´ e-rieure du montage de 50% ne peut cependant ˆetre atteinte qu’avec une lentille parfaite couvrant la moiti´e de l’angle solide de l’atome.