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la
première partie
0.1 1 20 40 1 h up t t7 t−3 E1 E2 E3 S100 S50 up
Figure 5.16. Epaisseur du film interstitiel normalisée par le rayon, et vitesse de la sphère en fonction du temps pour
la situation de la figure 5.12. Les points correspondent aux résultats expérimentaux auxquels on a associé une barre d’erreur de ±3 pixels. La courbe S100 désigne l’epaisseur de film interstitiel obtenue
numéri-quement avec 100 points par rayon de la sphère, S50 avec 50 points, up la vitesse de la sphère obtenue
numériquement.
5.2.4
Etude de la déstabilisation de la colonne entraînée
Observations Nous considérons maintenant une situation proche de celle étudiée précédemment avec le même
couple de liquide mais avec une sphère d’acier de 14 mm de diamètre. Les nombres sans dimension associés sont Bo= 0.46, λ = 2.10−3, ζ= 0.03, Ar = 9.2, ζ∗ = 7.15. Dans les simulations correspondantes, nous avons distribué 100 points sur le diamètre de la sphère.
La figure 5.17 montre que la sphère entraîne avec elle une colonne de liquide léger. Le film compris entre la sphère et l’interface semble être drainé plus rapidement que dans le cas précédent. Sur la figure 5.17 (d), des ondes apparaissent sur la surface latérale de la colonne, dont la forme est proche de celle de la collerette observée lors du détachement d’une sphère enrobée.
Les contours de vorticité sont aussi représentés. Le sillage de la sphère vient influencer la colonne et l’on peut supposer que jusqu’à l’image 5.17 (j) il y a entraînement de liquide léger dans la colonne. La vorticité dans celle-ci est très faible car l’écoulement est quasi-uniforme. Nous pouvons noter le lien fort entre les zones de courbure importante (notamment au niveau de la collerette) et l’intensité de la vorticité. Il apparaît que la collerette met un peu plus de temps à s’établir pleinement dans les simulations numériques que pour les cas expérimentaux.
Origine de l’instabilité La figure 5.18 montre que les ondes se forment en premier lieu sur le film entourant la
sphère et remontent ensuite le long de la colonne. Ces ondes sont similaires à celle observées expérimentalement par Dietrich et al. (2011) pour de petits rapports de viscosités. Quel est le mécanisme qui déclenche cette instabilité ? Plusieurs effets peuvent être déstabilisants : la présence de liquide léger en dessous du liquide lourd peut conduire à une instabilité de Rayleigh-Taylor, le cisaillement à l’interface à une instabilité de Kelvin-Helmholtz et le contraste de viscosité à une instabilité visqueuse (Charru, 2012). Expérimentalement, cette instabilité n’apparaît que si le rapport de viscosités est suffisamment faible et que le nombre de Weber est suffisamment grand. Son origine semble donc être due au rapport de viscosité et nous revenons brièvement dans la suite sur la littérature traitant de ce sujet. Pour les cas d’impact où une sphère est lâchée au dessus d’une interface gaz/liquide, des oscillations de la colonne sont aussi observées. Il semble que leur origine soit alors acoustique (Grumstrup et al., 2007) ou capillaire (Aristoff et Bush, 2009).
Figure 5.18. Apparition de l’instabilité dans la situation de la figure 5.17. L’intervalle de temps entre deux images est
de 0.6
taux de croissance de cette instabilité est proportionnel au nombre de Reynolds dans le fluide 2 (Charru, 2012), ce qui explique que nous ne l’observions pas pour de plus petits nombres d’Archimède, comme dans le cas huile de silicone H47V50 / eau (même si l’on peut apercevoir l’apparition de petit bourrelets à la surface de la colonne pour les situations moins inertielles).
Il faut cependant prendre ces conclusions avec précaution, car les situations expérimentales sont complexes, et il est possible que plusieurs mécanismes se cumulent. Par ailleurs dans le cas d’un jet liquide cisaillé par du gaz, il semble que le mécanisme de l’instabilité soit toujours source de controverse (instabilité visqueuse ou non visqueuse), comme en témoignent les récents travaux de Matas (2015). Enfin même si ce phénomène n’a pas été observé par Bonhomme et al. (2012), malgré l’importante gamme de configurations étudiées, il semble qu’une collerette puisse aussi se développer lors du passage d’une bulle à travers une interface liquide-liquide (Dietrich et al., 2011). La condition à la limite devenant une condition de cisaillement nul, il serait intéressant
d’évaluer son impact sur l’apparition de l’instabilité.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 5 10 15 20 up z− S E1 E2 E3 (a) 0 2 4 6 8 10 12 14 0 5 10 15 20 Ve z− (b) 0.4 0.450.5 0.550.6 0.650.7 0.750.8 0 5 10 15 20 F hy dr o z− Fh (c)
Figure 5.19. De gauche à droite : évolution de la vitesse de la sphère, du volume entraîné, et de la force hydrodynamique
exercée sur la sphère dans la situation de la figure 5.17
Evolution de quelques grandeurs au cours de la traversée La figure 5.19 montre l’évolution de la vitesse,
du volume entraîné et de la force hydrodynamique au cours de la traversée. La vitesse augmente tout au long de la traversée, et l’on peut se demander quel impact a l’interface sur le mouvement de la sphère. Il apparaît que la force hydrodynamique diminue grandement juste après que la sphère a passé la position z− = 0, puis réaugmente. Cette augmentation est probablement due à l’effet conjoint de la force de flottabilité, de la force visqueuse due à la colonne qui s’étire et de la force de traînée due au fluide inférieur. Cette dernière est sans doute prépondérante au vu des résultats obtenus dans le cas précédent. Le volume entraîné augmente tout au long de la simulation, ce qui signifie que les effets de flottabilité n’ont pas encore commencé à drainer la colonne.
5.2.5
Entraînement d’une colonne cylindrique de liquide
Observations Nous considérons la situation où une sphère de Teflon de 10 mm chute au travers d’une interface
huile de silicone 47V50/ glycérine (79%) - eau (21%). Les nombres sans dimension associés à cette configuration sont : Bo= 1.8854, λ = 1.2, ζ = 0.26, Ar = 23.1, ζ∗= 1.25. 50 points par rayon de sphère sont distribués dans la simulation.
La figure 5.20 (b) montre que l’interface est peu déformée avant l’arrivée de la sphère. Cela est imputable à deux phénomènes : le régime étudié est inertiel, et il y a un important contraste de densité entre les deux
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
1
-1 0
(g) (h) (i) (j) (k) (l)
Figure 5.20. Passage d’une sphère de Teflon de 10 mm de diamètre à travers d’une interface huile de silicone 47V50 /
glycérine (79%) - eau (21%). Le pas de temps entre deux images est de 5. En haut : séquence expérimentale, en bas : prédictions numériques.
fluides. La sphère entraîne avec elle une colonne quasiment cylindrique, qui s’amincit rapidement. Cette forme détone par rapport aux deux cas étudiés précédemment. Le nombre de Bond est plus important, mais c’est surtout le contraste de densité ζ qui est 10 fois plus grand, et explique cette forme cylindrique qui minimise le volume entraîné. Elle n’est d’ailleurs pas sans rappeler les formes de colonnes obtenues par Camassa et al. (2010) dans le cas de fluides miscibles. La présence de contours positifs de vorticité dans la colonne témoigne d’un mouvement ascendant du fluide intérieur qui crée une couche de cisaillement en entraînant le fluide extérieur. Ce flux souligne les effets importants de flottabilité qui vont drainer la colonne. Sur la figure 5.20 (f) la partie haute de la colonne remonte légèrement au-dessus de la position initiale de l’interface. L’onde créée par ce phénomène est une onde gravitaire puisque sa longueur d’onde (≈ 2 cm) est bien plus grande que la longueur capillaire (≈ 4 mm).
Phénomène d’évitement du pincement Contrairement aux deux cas étudiés précédemment, la colonne pince
près de sa base et non juste au-dessus de la sphère. On voit sur la figure 5.20 (k) que la colonne est près de pincer, mais se réouvre, sur la figure 5.20 (l). Stone et al. (1986) ont identifié le mécanisme de pincement qui apparaît quand une goutte relaxe après extension dans un autre liquide. Une fine zone apparaît à l’extrémité de la goutte, qui est ensuite drainée sous l’effet du gradient de pression capillaire. Plus récemment Hoepffner et Paré (2013) ont montré qu’un phénomène d’évitement de la rupture pouvait se produire pour un filament liquide en chute libre dans l’air. La réouverture de la zone la plus fine se fait dans ce cas par le détachement d’un anneau tourbillonnaire du jet vers le col, créant par là même une perte de charge. Cette chute de pression crée un flux de liquide, et le col réépaissit. Ici la situation est différente : il ne s’agit pas de l’extrémité d’un filament, mais de la zone de raccord entre une colonne cylindrique et une interface quasiment plane.
La remontée de l’interface visible sur les figures 5.21 (a) et 5.21 (b), provient de la continuité des vitesses tangentielles à l’interface : le fluide léger emporte du fluide lourd, qui entraîne l’interface vers le haut. Cela crée une région d’étranglement par laquelle le fluide peut s’échapper. La force capillaire, pour éviter que la courbure ne devienne singulière, tend à faire remonter toute l’interface comme le montre la figure 5.21 (c). Cet effet de la tension interfaciale amincit encore plus le col. Mais à cet instant, alors que l’on pourrait croire au pincement, un
PSfrag
0.5 -0.5 0
(a) (b) (c) (d) (e)
Figure 5.21. Evitement de l’étranglement dans la situation de la figure 5.20. L’intervalle de temps entre deux images
est de 2.5.
flux descendant apparaît (figure 5.21 (d)). En effet, la force de flottabilité est proportionnelle au volume déplacé au-dessus de l’interface liquide et favorise la création de ce flux descendant. Toutefois, un flux ascendant subsiste comme le montrent les contours positifs de vorticité sur la séquence de la figure 5.21. Puisque tout le fluide ne peut sortir de la colonne à cause du flux descendant, la colonne gonfle et prend une forme de goutte (figure 5.21 (d)). La figure 5.21 (e) montre que l’interface redescend tandis que le col s’ouvre, de manière à laisser passer le
flux ascendant. 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -5 0 5 10 15 20 up z− S E1 E2 E3 (a) 0 2 4 6 8 10 -5 0 5 10 15 20 Ve z− (b) 0.4 0.450.5 0.550.6 0.650.7 0.750.8 -5 0 5 10 15 20 F hy dr o z− Fh (c)
Figure 5.22. De gauche à droite : évolution de la vitesse de la sphère, du volume entraîné, et de la force hydrodynamique
exercée sur la sphère dans la situation de la figure 5.20.
Evolution de quelques grandeurs au cours de la traversée Les figures 5.22 montrent que la vitesse de la
sphère augmente de manière importante avant son arrivée à l’interface puis décroit rapidement après qu’elle a passé l’altitude z = 0. L’extremum de la vitesse est associé à un pic de la force hydrodynamique qui a lieu lorsque la sphère atteint l’interface non-perturbée. La force décroit ensuite avant de tendre vers une constante. Cela indique à priori que les effets cumulés de la force de flottabilité et de la capillarité n’ont pas un rôle determinant dans son évolution. Le volume entraîné croît jusqu’à ce que la sphère atteigne une profondeur de 8 rayons, puis décroit à cause de la force de flottabilité. On peut noter de légères différences entre le volume intégré numériquement et celui obtenu expérimentalement. Ceci est dû au fait que l’évaluation numérique prend en compte le volume généré par l’onde à la base de la colonne, qui peut être important quand on s’éloigne de l’axe de symétrie.
5.2.6
Rebond de la sphère à l’interface
Nous étudions ici la chute d’une sphère de polyacetal de 7mm de diamètre au travers d’une interface huile de silicone 47V5 / glycérine (79%) - eau (21%). Les paramètres sans dimension associés à ce cas sont Ar= 86, Bo = 1.1, ζ = 0.3 ζ∗ = 0.5 λ = 12.9. Il est important de rappeler à ce stade que ce cas correspond à une configuration de traversée, dans une région de l’espace des paramètres où les conditions nécessaire à la flottaison sont satisfaites (carré vide de la figure 5.10)3. Cette configuration étant très inertielle, nous avons opté pour un maillage de 100 points par rayon de sphère de manière à capturer correctement la couche limite dans le fluide 1.
La figure 5.23 montre l’évolution de l’écoulement au cours du temps. La sphère arrive à l’interface, la traverse puis remonte jusqu’à ce que la colonne pince. Elle chute ensuite, enrobée d’un film de liquide léger. L’intérêt principal de ce cas est le fait que la vitesse de la sphère change de signe après la traversée de l’interface. Ce type de comportement a déja été observé par Abaid et al. (2004), qui étudiaient la chute d’une sphère au travers
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
1
-1 0
(g) (h) (i) (j) (k) (l)
Figure 5.23. Passage d’une sphère de polyacetal de 7 mm de diamètre au travers d’une interface huile de silicone
47V5/ glycérine (79%) - eau (21%). Le pas de temps entre deux images est de 2.2. En haut : séquence expérimentale, en bas : prédictions numériques.
d’un fluide stratifié en densité. Ce changement de signe serait principalement dû aux effets de flottabilité. Nous essayons dans la suite d’en comprendre le mécanisme.
La sphère arrive à l’interface et entraîne avec elle du liquide léger. Dans les premiers stades (figure 5.23 (a)-(c)) la forme de la colonne n’est pas contrôlée par l’équation de Young-Laplace, qui donne la forme du ménisque dans des configurations statiques. La figure 5.23 (h) montre que dès l’arrivée de la sphère à l’interface, des contours de vorticité positifs apparaissent de chaque coté de celle-ci. Cette vorticité positive provient de la force de flottabilité qui entraîne dans un mouvement ascendant à la fois du liquide léger et du liquide lourd. Le sillage de la sphère se dissipe ensuite petit à petit pour laisser apparaître d’autres contours de vorticité positive. Sur la figure 5.23 (j) on voit que la vorticité est positive dans le fluide du dessous, en-dessous de la sphère et au niveau de l’interface. L’utilisation de la formule 5.6 donne quelques éléments de compréhension. Pour la partir basse, la vitesse de la sphère est ascendante et l’on a ∂un/∂s > 0. Puisque la courbure est positive ainsi que la vitesse
tangentielle, cela signifie que us< (1/Rp)∂un/∂s. Pour la partie haute, la courbure est négative et la vitesse
tangentielle positive à cause du mouvement ascendant du fluide. Ceci signifie donc que ∂un/∂s > 0, ce qui est
notable car cela montre que la vitesse de pincement de la colonne est supérieure à la vitesse de remontée de sa base. Cela est confirmé par la figure 5.23 (k), où l’interface est près de pincer tandis que sa partie supérieure n’est que peu surélevée. Le pincement se fait ensuite, une fois que le drainage de la colonne est terminé. Ce drainage dans les derniers instants semble plus être piloté par les effets capillaires que par ceux de flottabilité, puisque le rayon de courbure est très faible. Pourquoi y a t’il pincement ? Pour ce nombre de Bond, la profondeur maximale d’immersion de la sphère dans des configurations statiques est d’environ un rayon. Au-delà de cette profondeur, il n’existe plus de position statique stable de la colonne et celle-ci n’étant plus étirée, pince.
Évolution de quelques grandeurs au cours de la traversée La vitesse de la sphère commence à décroître à
environ un rayon de sphère au-dessus de l’interface, ce qui correspond à une forte augmentation de la force hydrodynamique (figure 5.24). A cette distance les contributions capillaires et de flottabilité ne jouent pas de rôle. Cette augmentation peut s’interpréter en prenant l’exemple d’une particule arrivant perpendiculairement à un plan. Quand la particule est proche du plan, la force hydrodynamique diverge (Leal, 2007). Dans notre cas, le fluide du dessous, beaucoup plus visqueux, s’oppose à la déformation et induit cette forte augmentation de la force qui décroit ensuite de manière importante. Durant cette décroissance les forces capillaire et d’Archimède croissent ce qui atteste de leurs faibles effets sur la dynamique du système. Toutefois leurs décroissances donnent la pente de la décroissance de la force hydrodynamique quand la sphère remonte. Notons par ailleurs que tout au long de la traversée, la force capillaire est plus importante que les différentes contributions de la force d’Archimède. De manière à évaluer l’impact du mince film de liquide entraîné par la sphère sur sa vitesse terminale, nous avons calculé la vitesse donnée par la traînée d’Ossen. En effet, le nombre de Reynolds est faible (≃ 4). Avec CD=Re12(1 +38Re) (Batchelor, 1967) nous obtenons :
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -4 -2 0 2 4 6 up z− E1 E2 E3 Oseen S (a) 0 1 2 3 4 5 -4 -2 0 2 4 6 Ve z− S S−Rp (b) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -4 -2 0 2 4 6 Fo rc e hy dr od yn am iq ue z− fsim ftot fcal fcyl fγ (c)
Figure 5.24. A gauche : vitesse normalisée de la sphère en fonction de sa position dans la situation de la figure 5.23. La
courbe notée Oseen correspond à la vitesse donnée par la traînée d’Oseen. Au milieu : volume entraîné par la sphère. La courbe notée S−Rp correspond au volume calculé en faisant débuter l’intégration un rayon
en-dessous de la position initiale de l’interface. A droite : force hydrodynamique exercée sur la sphère. Les courbes avec symbole correspondent à différentes contributions à la force statique totale.
up= 4 3 ⎛ ⎝− 1 Ar2 + 1 Ar2 √ 1 +Ar22 3 ⎞ ⎠ (5.7)
où Ar2 désigne le nombre d’Archimède dans le de fluide 2. L’accord entre nos résultats et la vitesse donnée par la traînée d’Oseen est bon, mais cela ne permet pas de conclure sur l’impact du film sur la traînée.
Le volume entraîné par la sphère augmente puis diminue rapidement durant la phase de remontée. L’accord entre la simulation et les expériences n’est pas très bon, car dans la simulation le volume entraîné prend en compte les déformations de l’interface loin de la sphère, dues notamment à des ondes. L’accord est bien meilleur avec le volume obtenu en débutant l’intégration un rayon en-dessous de l’interface.
1 0.1 1 Rm in /Rp (tp−t)/tγ E1 E2 E2 ((tp−t)/tγ)2/3
Figure 5.25. Evolution de l’épaisseur de la partie la plus mince de la colonne en fonction du temps de pincement,
normalisé par le temps capillaire tγ=
√
ρ1R3p/γ pour la situation de la figure 5.23.
Nous avons constaté que quand la sphère commence à remonter, i.e. quand l’étirement de la colonne s’arrête, la colonne pince très rapidement. La figure 5.25 montre l’évolution de l’épaisseur du col avant pincement. Cette épaisseur suit une loin en puissance 2/3, qui est caractéristique de la solution auto-similaire du problème d’une contraction capillaire pour un fluide non-visqueux (Eggers et Villermaux, 2008; Marmottant et Villermaux, 2004a). Cependant il convient de rappeler que la sphère est en mouvement et que la fréquence d’acquisition tout comme la résolution de la caméra ne nous permettent pas de conclure pleinement quant à l’accord entre cette solution théorique et nos résultats.
5.2.7
Entraînement colonnaire quasi-axisymétrique
La séquence de la figure 5.26 décrit la traversée d’une interface entre une couche supérieure constituée d’huile 47V5 (µ1=5cP) et un fluide inférieur constitué à 79% de glycérine et à 21% d’eau par une sphère de verre de
(a) 1 -1 0 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Figure 5.26. Chute d’une sphère de verre de 3.5 mm de rayon au travers de l’interface séparant une couche d’huile de
silicone 47V5 d’une couche constituée d’un mélange eau (21%)-glycérine (79%). (a)-(c)-(e)-(g) : séquence expérimentale. (b)-(d)-(f)-(h) : séquence numérique. L’intervalle de temps entre deux image est ∆t = 8.4
rayon R=3.5mm. Les paramètres sans dimension ont cette fois pour valeur : Ar = 164, Bo = 1.1, λ = 13, ζ = 0.3 et ζ∗= 1.7. La valeur importante de Ar indique que l’écoulement induit est dominé par les effets inertiels. Nous avons donc opté pour un maillage avec 100 cellules par rayon de sphère. La colonne de fluide léger entraînée par la sphère s’étire considérablement pour ensuite pincer à sa base. Cet étirement s’explique par le fait que le fluide externe est beaucoup plus visqueux que celui qui constitue la colonne. Ces observations sont conformes au scénario décrit par Stone et al. (1986) qui a montré que pour µ2/µ1≫ 1 une goutte plongée dans un écoulement extensionnel stationnaire peut s’étirer de manière très importante. L’apparition de zones de vorticité positive sur les figures 5.26 (f)-(h) témoigne d’un mouvement ascendant du fluide dans la partie supérieure de la colonne, dû principalement à la force rappel que constitue la flottabilité qui ce faisant crée une zone de cisaillement. Ce flux ascendant draine la colonne et provoque son pincement en son sommet (figure 5.26 (h)).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -10 0 10 20 30 up z− E1 E2 E3 S (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 -10 0 10 20 30 Ve z− Vtot V−Rp (b) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Fo rc e hy dr od yn am iq ue z− fsim (c)
Figure 5.27. A gauche : vitesse de la sphère en fonction de sa position par rapport à l’interface non perturbée (z = 0) dans
la situation de la figure 5.26. Au milieu : volume entraîné par la sphère. A droite : force hydrodynamique exercée sur la sphère. Les points désignent les résultats expérimentaux pour trois lâchers de la même sphère et les courbes ceux de la simulation. Dans le cas du volume entraîné, la courbe en trait plein résulte d’une intégration partant de la position initiale de l’interface (z−= 0) tandis que la courbe en trait pointillé est
obtenue par une intégration partant de la cote z−= Rp.
Évolution de quelques grandeurs au cours de la traversée La figure 5.27 montre qu’en arrivant à l’interface,
la sphère, encore légèrement en phase d’accélération, décélère progressivement avant d’atteindre une vitesse stationnaire. Cette décélération s’explique par la forte viscosité du fluide inférieur (λ = 13). En revanche, les
contributions hydrostatiques ne semblent pas jouer un rôle majeur dans l’augmentation initiale de la force (figure 5.27 (c)).
La figure 5.27 (b) montre l’évolution du volume de fluide léger entraîné par la sphère. Ce volume augmente rapidement quand celle-ci atteint l’interface, puis se stabilise à une valeur constante après le pincement de la colonne. On note un écart entre la valeur finale déterminée expérimentalement et l’évolution numérique. Cet écart provient des ondes de gravité qui se développent à l’interface et dont la contribution n’affecte pas la détermination expérimentale en raison de leur faible amplitude. Pour contourner ce phénomène, nous avons aussi évalué dans les simulations le volume entraîné situé en-dessous de la cote arbitraire z−= Rp, soit 1 rayon
de sphère en-dessous de la position initiale de l’interface. Le résultat correspondant conduit à un volume entraîné après détachement légèrement plus faible que celui prédit expérimentalement (3 fois le volume de la sphère au lieu de 4 fois).
5.2.8
Détachement quasi-statique d’une sphère
Nous considérons le cas d’une sphère de polyacétal de 7mm de rayon traversant une interface séparant une couche d’huile de silicone 47V500 (µ1 = 500cP) et un mélange aqueux constitué de 79% de glycérine et 21% d’eau. Les paramètres sans dimensions prennent les valeurs suivantes : Ar= 2.2, Bo = 3.7, λ = 0.11, ζ = 0.2 et ζ∗= 0.4. Dans les simulations numériques de ce cas nous avons utilisé deux maillages, l’un avec 100 mailles par diamètre de sphère, l’autre avec 200, de manière à valider les résultats obtenus sur le drainage du film.
(a) (b) (c) (d)
0.1
-0.1 0
(e) (f) (g) (h)
Figure 5.28. Détachement quasi-statique d’une sphère de polyacetal de 7mm de rayon. (a)-(d) : séquence expérimentale
sur laquelle on a superposé (en pointillés) la forme de l’interface obtenue en résolvant numériquement l’équation de Young-Laplace ; (e)-(h) : résultats de la simulation aux mêmes instants, sur lesquels on a superposé les contours de la vorticité azimutale (variant entre −0.1√gζ∗/R
pet +0.1
√
gζ∗/R
p).
Dans ce cas, il faut environ 30 s à la sphère pour se détacher de l’interface. Cette configuration à l’évolution très lente peut être décrite par une approche quasi-statique en négligeant tous les effets dynamiques. Les figures 5.28(a)-(d) montrent que le profil d’interface obtenu à partir de l’équation de Young-Laplace concorde bien avec la solution expérimentale durant toute la phase où le film séparant l’interface de la sphère est mince. Ensuite, à partir d’une certaine profondeur d’immersion de la sphère, il n’existe plus de configuration stable pour le ménisque. Un pincement de l’interface se produit alors à l’arrière de la sphère et celle-ci se détache (O’Brien, 1996). La séquence 5.28(a)-(d) montre de plus que le film séparant la sphère de l’interface est drainé avant que le détachement se produise. L’épaisseur de ce film diminue à l’arrière de la sphère, au niveau du raccordement avec le ménisque extérieur, en accord avec l’étude asymptotique de Jones et Wilson (1978) ; ce phénomène est également bien reproduit par la simulation (figure 5.28 (f)).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 up z− E1 E2 E3 S (a) 0.001 0.01 0.1 0 20 40 60 80 100 up t E1 E2 E3 S (b) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Ve z Vtot (c)
Figure 5.29. A gauche : vitesse de la sphère en fonction de sa position par rapport à l’interface non perturbée (z−= 0)
dans la situation de la figure 5.28. Au milieu : vitesse de la sphère en fonction du temps. A droite : volume de fluide léger entraîné par la sphère. Les points désignent les résultats expérimentaux pour trois lâchers de la même sphère et la courbe en trait plein ceux de la simulation. Dans le cas du volume entraîné, le résultat numérique est obtenu par une intégration partant de z−= 0.
Évolution de quelques grandeurs au cours de la traversée La figure 5.29 met en évidence la très forte
décroissance de la vitesse de la sphère lorsque celle-ci arrive près de l’interface, suivie d’une période d’arrêt puis d’une phase d’accélération à la suite du détachement. Le volume de fluide léger emporté par la sphère s’établit à environ 1.2 fois son propre volume à l’issue du détachement, correspondant au film dans lequel elle reste encapsulée (figure 5.29). On observe aussi des oscillations de faible amplitude de la vitesse et du volume quand la sphère approche la position z= 0. Celles-ci ont pour période T = 1s. Si l’on suppose que les effets capillaires sont négligeables (Bo= 3.7), la pulsation d’une onde de gravité à l’interface entre deux fluides dans une configuration bidimensionnelle est ω=√(ρ2−ρ1)gk/(ρ1+ρ2) (Charru, 2012). En considérant que la longueur d’onde du phénomène est approximativement λo= 4Rp, la période des ondes de gravité est d’environ
0.4s. Sans doute serait il bénéfique de prendre en compte l’axisymétrie du problème, ainsi que les parois, pour obtenir une valeur théorique plus proche de celle mesurée. Mais la solution reste correcte en ordre de grandeur. Des différences notables entre résultats numériques et expérimentaux sont observées pour le volume entraîné avant que la sphère n’atteigne l’interface. Ces différences proviennent du fait qu’à cette faible valeur du nombre d’Archimède l’écoulement est quasiment rampant. De ce fait, les perturbations créées par la sphère décroissent en 1/r et l’entraînement du fluide léger s’effectue sur une section d’interface importante via de faibles déplacements de sa position verticale. Ces déplacements peuvent être captés numériquement mais pas expérimentalement.
0.1 100 h t t−0.65 E1 E2 E3 S50 S100
Figure 5.30. Evolution de l’épaisseur du film interstitiel dans la situation de la figure 5.28. Les points expérimentaux
sont représentés avec une incertitude de ±0.23 mm (±0.46Rp). La courbe S100désigne l’épaisseur de film
interstitiel obtenue numériquement avec 100 points par rayon de la sphère, S50avec 50 points.
La figure 5.30 montre la décroissance dans le temps de l’épaisseur du film interstitiel4. Cette décroissance se fait avec un exposant −0.65. On est donc proche des régimes de drainage quasi-statique en t−1/2mis en évidence par Hartland (1969) et Jones et Wilson (1978).
4. Pour ce cas, le point le plus haut de la sphère étant situé au-dessus de l’interface, l’épaisseur du film peut être mesurée de manière "exacte", erreur de détection du contour de la sphère et de l’interface mise à part.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 1 2 3 4 5 6 Fo rc e hy dr od yn am iq ue z− fs100 fhist fµcol fγ ftot fcal fcyl ftr fma
Figure 5.31. Force hydrodynamique exercée sur la sphère dans la situation de la figure 5.28. Les différentes contributions
sont détaillées dans la légende de la figure 5.15. Le coefficient de traînée est calculé avec la corrélation de Schiller et Naumann.
La figure 5.31 met en évidence le bon accord entre notre modèle théorique de force et la solution numérique. Cet accord n’est pas totalement surprenant, puisque dans ce cas, l’évolution est principalement statique, et ce sont les forces statiques qui sont sans nul doute les mieux décrites par notre modèle. On peut cependant noter qu’au début de la traversée, le modèle sous-estime la force hydrodynamique. La raison est tout simplement que nous ne prenons pas en compte la traînée due au fluide 1, alors que la sphère est encore bien immergée dans celui-ci. De plus, dans ces premiers instants, il semble que ce soit la contribution de la force d’Archimède, due au cylindre de fluide entraîné, qui pilote le mouvement. La force due à la calotte sphérique augmente durant l’intégralité de la traversée, tandis que la force capillaire et la force d’Archimède due au cylindre entraîné diminuent.
5.2.9
Quelques résultats supplémentaires à caractère de validation
Les deux cas que nous allons étudier dans la suite ne montrent pas des comportements très différent de ceux décrits dans la section précédente, mais l’objectif ici est d’examiner l’évolution de la force hydrodynamique ainsi que celle du film interstitiel à la lumière des modèles théoriques élaborés dans le chapitre 4.
5.2.9.1 Chute d’une sphère de polyacetal de 14mm de diamètre
Observations Nous étudions la chute d’une sphère de polyacetal de 14 mm de diamètre au travers d’une
interface huile de silicone H47V500/eau (figure 5.32). Les paramètres sans dimension associés sont Bo= 0.46, λ= 2.10−3, ζ= 0.03, Ar = 2.2, ζ∗= 0.4.
L’interface se met en mouvement bien avant que la sphère n’arrive en z− = 0, du fait du faible nombre d’Archimède. La colonne entraînée est très large à sa base, mais s’amincit de manière importante, surtout dans le dernier stade.
Evolution de quelques grandeurs La figure 5.33 (a) montre que la vitesse de la sphère décroit légérement
après avoir passé l’altitude z−= 0. Ce comportement est intéressant car il peut permettre de jauger l’influence des accélérations/déccélérations de la sphère sur le comportement du film. On peut remarquer sur la figure 5.33 (b) que l’accord entre le volume entraîné mesuré et celui obtenu numériquement n’est pas excellent aux temps longs. Cela provient de l’intégration du volume issu des résultats expérimentaux qui ne prend pas en compte
(a) (b) (c) (d) (e)
1
-1 0
(f)
(g) (h) (i) (j)
Figure 5.32. Passage d’une sphère de polyacetal de 14 mm de diamètre au travers d’une interface huile de silicone
47V500/ eau. Le pas de temps entre deux images est de 2.6. En haut : séquence expérimentale, en bas : prédictions numériques.
toute la zone haute de la colonne qui y contribue de manière importante. Ce volume décroit à partir de la position z−≃ 5Rp du fait du drainage dû à la force de flottabilité.
La figure 5.34 (a) montre l’évolution de l’épaisseur du film interstitiel au cours du temps. La répétabilité des expériences est relativement faible ainsi que l’accord avec la solution numérique. La mauvaise répétabilité vient du fait que la sphère entourée de l’interface est généralement repérée par la transformée de Hough, ce qui induit une incertitude supplémentaire sur sa position exacte. On peut cependant noter pour les résultats aussi bien experimentaux que numériques qu’une tendance se dégage : quand la sphère décélère, le film est drainé moins rapidement que quand elle accélère. Si nous reprenons le modèle d’évolution du film obtenu au chapitre 4 pour de très petits rapports de viscosités, et en supposant que la vitesse de la sphère évolue comme t5, la décroissance du film prédite évolue comme t−5/2aux temps longs, ce qui est proche des observations numériques. Cependant on peut noter qu’à la fin de la simulation, la sphère décélère sans que cela ait d’incidence sur l’évolution de l’épaisseur du film.
Nous pouvons voir que la force hydrodynamique augmente légèrement quand la sphère arrive à l’interface et la traverse (figure 5.34). Cette augmentation est due à celle de la force d’Archimède et de la force capillaire. La décroissance de la force hydrodynamique est correctement reproduite par notre modèle. Cette décroissance est l’effet direct de celle des forces d’Archimède, de la force capillaire et de la force visqueuse due à la colonne. La force d’histoire est ici totalement négligeable. Ce modèle reproduit cependant assez mal les oscillations de
0 0.5 1 1.5 2 -10 -5 0 5 10 15 20 up z− E1 E2 E3 S (a) 0 5 10 15 20 -10 -5 0 5 10 15 20 Ve z− (b)
Figure 5.33. A gauche : vitesse de la sphère en fonction de sa position par rapport à l’interface non perturbée (z−= 0)
dans la situation de la figure 5.32. A droite : volume de fluide léger entraîné par la sphère. Les points désignent les résultats expérimentaux pour trois lâchers de la même sphère et la courbe en trait plein ceux de la simulation. Dans le cas du volume entraîné, le résultat numérique est obtenu par une intégration partant de z−= 0.
la force hydrodynamique observées pour z−> 10Rp, avant que la colonne ne pince. En effet les prédictions des
fluctuations (principalement causées par les fluctuations de la force de masse ajoutée) sont en opposition de phase avec celle observées numériquement.
5.2.9.2 Chute d’une sphère de teflon de 10mm de diamètre
Nous étudions ici la chute d’une sphere au travers d’une interface huile de silicone 47V500 / glycérine - eau 79%. Les paramètres sans dimension associés à cette configuration sont Ar= 2.3, Bo = 1.9, λ = 0.12, ζ = 0.24 et ζ∗ = 1.23. Le maillage utilisé pour ce cas comprends 200 points par diamètre de sphère de manière à bien capturer l’épaisseur du film.
La figure 5.35 montre que la sphère entraîne une colonne de liquide léger qui s’amincit raidement. Cela peut s’expliquer par le taux d’étirement faible imposé par le mouvement de la sphère tandis que la différence de densité draine le film dans la colonne. Ce drainage débute très tôt, car l’on peut voir sur l’image 5.35 (i) des isocontours de vorticité positives qui tendent à faire remonter l’interface. La colonne pince juste au-dessus de la sphère et celle-ci semble emporter une goutte de liquide léger de volume assez important.
Evolution de la vitesse de la sphère et du volume entraîné La vitesse de la sphère décroit fortement après
le passage de l’interface, puis réaugmente jusqu’à atteindre quasiment une valeur stationnaire (figure 5.36). Le volume entraîné augmente jusqu’à ce que la sphère atteigne une profondeur z−= 2Rp, puis diminue rapidement.
Ce volume se stabilise à environ 2 fois celui de la sphère.
Evolution du film et de la force hydrodynamique La figure 5.37 (a) montre l’évolution de l’épaisseur du film
interstitiel en fonction du temps. On peut voir que les solutions expérimentales et numériques sont en très bon accord. Encore une fois, la décroissance de l’épaisseur du film est fortement corrélée à l’accélération de la sphère. Avec une croissance de la vitesse en t5, la décroissance du film se fait en t−5/2, en assez bon accord avec celle observée, aussi bien numériquement qu’expérimentalement. La décélération de la sphère en fin de simulation ne semble pas avoir d’impact sur la décroissance de l’épaisseur du film.
La figure 5.37 (b) montre l’évolution de la force hydrodynamique exercée sur la sphère (à laquelle on a soustrait la poussée d’Archimède ρ1Vpg). On note une nette augmentation de la force au passage de l’interface, puis une
décroissance rapide, et enfin une lente remontée, avant que la sphère atteigne finalement sa vitesse terminale. Le modèle théorique prédit qualitativement bien les variations de la force. On peut cependant noter un écart initial important entre les valeurs théoriques et numériques. Cela est sans doute dû au fait que le modèle ne prend pas en compte la traînée due au fluide 1, et à ce stade la sphère est encore à moitié immergée dans celui-ci. On note également la décroissance de la force hydrodynamique entre z−= 0 et z−= 5Rp, qui est principalement due à celle
de la force capillaire et de la force d’Archimède, liée au cylindre de fluide léger entraîné. La force croît ensuite sous l’effet combiné de l’augmentation de la force de traînée ainsi que de la poussée d’Archimède correspondant à la partie basse de la sphère déjà immergée dans le fluide lourd. Nous avons aussi calculé la force due à la colonne, mais celle-ci est très faible. Notre modèle semble surestimer d’environ 10-20% la force hydrodynamique quand la sphère a traversé l’interface. Cela provient sans doute d’une estimation approximative de la force de
0.1 1 20 40 1 h up t t5 t−3 E1 E2 E3 S100 up (a) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 5 10 15 20 Fo rc e hy dr od yn am iq ue z− fs100 fhist fµcol fγ ftot fcal fcyl ftr fma (b)
Figure 5.34. A gauche : évolution de l’épaisseur du film interstitiel dans la situation de la figure 5.32. Les points
expérimentaux sont représentés avec une incertitude de ±0.23 mm. La courbe S100 désigne l’épaisseur de
film interstitiel obtenue numériquement avec 100 points par rayon de la sphère et upla vitesse de la sphère.
A droite : force hydrodynamique exercée sur la sphère. Les différentes contributions sont détaillées dans la légende de la figure . Le coefficient de traînée est calculé avec la corrélation de Schiller et Naumann.
traînée. Notons que les forces instationnaires telles que la force de masse ajoutée et la force d’histoire, ont une influence mineure sur la force totale.
En résumé
• L’épaisseur du film décroit beaucoup plus vite dans des configurations dynamiques que dans des configurations statiques. Cette décroissance est corrélée à l’accélération de la sphère.
• Le modèle de force établi au chapitre 4 prédit les bonnes tendance d’évolution, mais des écarts quantitatifs demeurent par rapport aux résultats numériques.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
0.1 -0.1 0
(g) (h) (i) (j) (k) (l)
Figure 5.35. Chute d’une sphère de teflon de 5 mm de rayon au travers de l’interface séparant une couche d’huile de
silicone 47VHS500 d’une couche constituée d’un mélange eau (21%)-glycérine (79%). (a)-(f) : séquence expérimentale ; (g)-(l) : résultats de la simulation aux mêmes instants. L’intervalle de temps entre deux images est de 5.2. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 10 20 up z− E1 E2 E3 S (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 Ve z− S S−Rp (b)
Figure 5.36. A gauche : vitesse de la sphère en fonction de sa position par rapport à l’interface non-perturbée (z−= 0)
dans la situation de la figure 5.35. A droite : volume de fluide léger entraîné par la sphère. Les points désignent les résultats expérimentaux pour trois lâchers de la même sphère et la courbe en trait plein ceux de la simulation. Dans le cas du volume entraîné, le résultat numérique est obtenu par deux intégrations diiférentes l’une partant de z−= 0, l’autre de z−= Rp.
0.1 1 20 40 0.1 1 h up t t5 t−3 E1 E2 E3 S100 up (a) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -5 0 5 10 15 20 Fo rc e hy dr od yn am iq ue z− fsimu fhist fµcol fγ ftot fcal fcyl ftr fma (b)
Figure 5.37. A gauche : évolution de l’épaisseur du film interstitiel dans la situation de la figure 5.35. Les points
expérimentaux sont représentés avec une incertitude de ±0.23 mm. La courbe S100 désigne l’épaisseur de
film interstitiel obtenue numériquement avec 100 points par rayon de la sphère et upla vitesse de la sphère.
A droite : force hydrodynamique exercée sur la sphère. Les différentes contributions sont détaillées dans la légende de la figure . Le coefficient de traînée est calculé avec la corrélation de Schiller et Naumann.
