3.2 Situations consid´ er´ ees
3.2.2 Propri´ et´ es des mat´ eriaux
3.2.2.1 Propri´ et´ es m´ ecaniques dans le domaine lin´ eaire
etude est pr´esent´ee dans la partie 3.2.2.1. Comme justifi´e en introduction, la d´egradation
des propri´et´es m´ecaniques pour des d´eformations de cisaillement moyennes et fortes des
mat´eriaux est prise en compte dans les mod`eles. Il s’agit de la deuxi`eme ´etape, d´etaill´ee
dans la section 3.2.2.2, permettant de d´efinir les propri´et´es des mat´eriaux «d´egrad´ees»
dans les diff´erents mod`eles.
3.2.2.1 Propri´et´es m´ecaniques dans le domaine lin´eaire
Les propri´et´es m´ecaniques des mat´eriaux sont caract´eris´ees par la vitesse des ondes
de cisaillement, la vitesse des ondes de compression (ou le coefficient de Poisson) et la
masse volumique.
Digue La digue est consid´er´ee homog`ene, sans variation lat´erale ou verticale des
pro-pri´et´es m´ecaniques. Trois vitesses des ondes de cisaillement sont d´efinies dans la digue,
correspondant `a des mat´eriaux mous, «normaux» et raides :
3.2 Situations consid´er´ees
• V
d= 300 m{s ;
• V
d= 500 m{s.
La masse volumique des mat´eriaux est de l’ordre de 2000 kg{m
3mais est l´eg`erement
adapt´ee `a la vitesse des ondes de cisaillement selon la relation : ρ
d“1880`0.4V
d. Elle
prend ainsi les valeurs de 1960 kg{m
3, 2000 kg{m
3et 2080 kg{m
3suivant le niveau de
compaction de la digue, c’est-`a-dire de rigidit´e. La vitesse des ondes de compression est
donn´ee parV
Pd“3V
d(soit un coefficient de Poisson environ ´egal `a 0.44).
Couche de sol La vitesse des ondes de cisaillement dans la couche de sol est bas´ee sur
les trois gradients d’augmentation de la vitesse avec la profondeur pr´esent´es sur la figure
3.4. Ceux-ci d´ecrivent l’augmentation de la vitesse avec la profondeur en champ libre,
i.e. hors zone d’influence de la digue. Ils sont d´efinis par la relation suivante, utilis´ee
notamment par Stambouli et al. (2018) :
V
Spzq “ V
a` pV
b´V
aqc
z´z
az
b´z
a(3.1)
o`uV
Sd´esigne la vitesse des ondes de cisaillement `a une profondeurz sous la surface de la
couche de sol,V
aetV
bsont respectivement la vitesse des ondes de cisaillement au niveau
des profondeurs z
aetz
b, avec z
a= 0 m etz
b= -1000 m. La vitesse `a une profondeur de
-1000 m est en r´ealit´e une valeur fictive supposant que le rocher n’est pas atteint avant.
Chaque profil de vitesse pr´esent´e sur la figure 3.4 est cal´e sur une valeur de la vitesse
moyenne des ondes de cisaillement sur les trente premiers m`etres. Trois valeurs distinctes
de V
S30sont ainsi consid´er´ees : 125 m{s, 250 m{s et 500 m{s. Les vitesses V
aet V
bsont choisies de mani`ere `a obtenir ces trois valeurs de vitesse moyenne des ondes de
cisaillement sur les trente premiers m`etres de couche de sol. Celles-ci sont synth´etis´ees
dans le tableau 3.2.
V
S30associ´ee au gradient de vitesse (m{s) 125 250 500
V
a`a z
a“0m de profondeur (m{s) 80 160 434
V
b`az
b“ ´1000m de profondeur (m{s) 480 950 1000
Table 3.2 – Param`etres des diff´erents profils de vitesse des ondes de cisaillement dans
la couche de sol.
L’effet du confinement suppl´ementaire apport´e par la digue sur les propri´et´es de la couche
de sol est pris en compte `a partir de la solution propos´ee par (Flamant, 1892), g´en´
erale-ment appel´ee solution Flamant-Boussinesq, d´ecrite sur la figure 3.5. Sur cette figure :
• prepr´esente le chargement lin´eaire impos´e au sol. Dans le cas pr´esent, il s’agit du
poids lin´eaire de la digue ;
• B est la largeur sur laquelle le chargement lin´eaire est appliqu´e. Elle est estim´ee
en assimilant la digue `a un rectangle de largeur B et de mˆeme hauteur (H
d), en
conservant son aire totale ;
Figure3.4 – Gradients d’´evolution de la vitesse des ondes de cisaillement dans la couche
de sol en fonction de V
S30.
• x
0et z
0sont les coordonn´ees (respectivement horizontale et verticale) d’un point
de la couche de sol ;
• Θ, Θ
1et Θ
2sont les angles permettant de caract´eriser la position du point par
rapport au chargement. Ceux-ci peuvent ˆetre reli´es simplement `ax
0,z
0et B.
Selon (Flamant, 1892), les suppl´ements de contraintes horizontale ∆σ
xx, verticale ∆σ
zzet totales ∆σ
totli´ees `a la pr´esence du chargement p au niveau du point de coordonn´ees
(x
0,z
0) sont donn´ees par les relations :
∆σ
xx“ p
πppΘ
1´Θ
2q `sin Θ
1cos Θ
1´sin Θ
2cos Θ
2q(3.2)
∆σ
zz“ p
πppΘ
1´Θ
2q ´sin Θ
1cos Θ
1`sin Θ
2cos Θ
2q(3.3)
∆σ
tot“ p
πpΘ
1´Θ
2q “p
πΘ (3.4)
avec dans le cas pr´esent :
p“ρ
dgH
d(3.5)
3.2 Situations consid´er´ees
x
z
p
px
0, z
0q
Θ
Θ
1Θ
2´
B2 B2Figure 3.5 – Illustration de la solution Flamant-Boussinesq pour le calcul du
confine-ment en chaque point de la couche de sol.
Pour traduire cet incr´ement de contrainte en une augmentation de la vitesse de
cisaille-ment, les gradients pr´esent´es sur la figure 3.4 sont utilis´es. En effet, ceux-ci donnent la
vitesse des ondes de cisaillement en un point de profondeurz
0en fonction de la contrainte
de confinement apport´ee par la colonne de sol au-dessus de ce point, soit par une charge
p
c´egale `aρ
cg|z
0|. En int´egrant le suppl´ement de contrainte li´e `a la pr´esence de la digue
∆
z0,x0, la contrainte totale devient :
σ
tot“ρ
cgp|z
0|`ρ
dρ
cH
dπ Θq (3.7)
Ce qui revient `a consid´erer un incr´ement de profondeur ∆
z0,x0dans le calcul du gradient
donn´e par :
∆
z0,x0“ ρ
dρ
cH
dπ Θ (3.8)
Cette valeur d´ependant de l’angle Θ, et donc dex
0, elle introduit une variation lat´erale
de la vitesse. Appliquer cette relation pour quelques valeurs particuli`eres de Θ peut
permettre de mieux comprendre l’effet du confinement apport´e par la digue sur la vitesse :
• pour ΘÝÑ0
˝, soit le cas d’un point tr`es ´eloign´e de la digue ou situ´e `a la surface,
l’incr´ement de profondeur est nul, il n’y a aucun effet de la digue ;
• pour Θ“π, soit le cas du point situ´e `a l’interface digue/couche de sol, l’incr´ement
de profondeur est maximal, il correspond `a un incr´ement de profondeur
ρdρc
H
d.
123
La figure 3.6 illustre les valeurs de vitesses de cisaillement pour quelques cas particuliers.
Alors que la vitesse des ondes de cisaillement dans la couche de sol est variable dans
les deux directions (verticale et horizontale), cette derni`ere est caract´eris´ee `a partir du
gradient de r´ef´erence en champ libre sur laquelle elle est bas´ee. Plus particuli`erement,
la notation Vp
c, pouvant prendre les valeurs de 125 m{s, 250 m{s et 500 m{s, d´esigne la
valeur de V
S30sur laquelle le gradient de vitesse en champ libre est fond´e. Il convient de
remarquer que la valeur prise par Vp
cne correspond pas syst´ematiquement `a la vitesse
moyenne sur les trente premiers m`etres de la couche de sol. En effet, :
• l’´epaisseur des couches de sol choisies ´etant limit´ee, lorsque la profondeur atteint
la profondeur maximale de la couche, la vitesse des ondes de cisaillement devient
´
egale `a celle choisie dans le rocher (et ne suit donc plus le gradient de vitesse), ainsi
V
S30ąVp
cpourH
c“3m et H
c“10m ;
• le confinement apport´e par la digue entraine une augmentation de la vitesse des
ondes de cisaillement dans la couche de sol, ainsi V
S30ą Vp
cpour des abscisses
suffisamment proches de l’axe de la digue.
.
La v´eritable valeur de V
S30en champ libre (sans effet du confinement apport´e par la
digue) et la classe de sol (Eurocode 8, 2004) correspondante est pr´esent´ee pour chaque
valeur de H
cet de Vp
cdans le tableau 3.3. A titre indicatif, le coefficient d’amplification
S du spectre de r´eponse r´eglementaire (voir sous partie 1.3.2.1 et tableau 1.6) associ´e `a
ces classes de sol est rappel´e dans ce mˆeme tableau.
La figure 3.6 permet de constater l’effet relativement faible du confinement apport´e par
la digue sur la vitesse des ondes de cisaillement dans la couche de sol. A une profondeur
donn´ee, la vitesse est l´eg`erement plus importante dans la zone d’influence de la digue
(en particulier juste sous la digue) qu’`a distance de celle-ci. Elle est en partie li´ee `a la
g´eom´etrie de la digue, en particulier `a sa hauteur et son emprise `a sa base. Pour une
meilleure visualisation de l’impact de la digue sur la vitesse des ondes de cisaillement dans
la couche de sol, la figure 3.7 repr´esente l’incr´ement de V
Spar rapport `a une situation
sans digue. Cet incr´ement est calcul´e, dans la couche de sol, de la mani`ere suivante (il
est par d´efinition nul dans la digue, o`u le confinement n’est pas pris en compte) :
∆
VS“ V
SpH
dq ´V
SpH
d“0mq
V
SpH
d“0mq (3.9)
o`u ∆
VSest l’incr´ement de V
Sli´e au confinement apport´e par une digue de hauteur H
d,
V
SpH
dqest la vitesse des ondes de cisaillement en un point des mod`eles en pr´esence de
l’effet d’une digue de hauteurH
detV
SpH
d“0mqest la vitesse des ondes de cisaillement
« hors zone» d’influence de la digue (ou tout simplement sans consid´erer l’effet du
confinement apport´e par la digue).
L’effet du confinement apport´e de la digue est significatif surtout pour les couches de sol
les plus molles (Vp
c“125 m{s), les digues les plus hautes (H
d“20 m) et `a proximit´e de
l’interface entre la digue et la couche de sol.
3.2 Situations consid´er´ees
(a)H
d= 4 m etVp
c= 125 m{s. (b) H
d= 20 m etVp
c= 125 m{s.
(c) H
d= 4 m etVp
c= 500 m{s. (d) H
d= 20 m etVp
c= 500 m{s.
Figure 3.6 – Illustration de quelques valeurs de vitesses des ondes de cisaillement dans
les mod`eles, pour V
d= 300 m{s,H
c>30 m et (a) H
d= 4 m etVp
c= 125 m{s ; (b)H
d=
20 m et Vp
c= 125 m{s ; (c) H
d= 4 m etVp
c= 500 m{s ; (d) H
d= 20 m et Vp
c= 500 m{s.
Finalement, en tout point de la couche de sol, la vitesse des ondes de compression est
donn´ee par V
Pc“3V
c, o`uV
cd´esigne la vitesse des ondes de cisaillement en un point de
la couche de sol. La masse volumique ob´eit `a la mˆeme d´ependance `a la vitesse des ondes
de cisaillement que dans la digue. Elle est ainsi bas´ee sur une valeur de 2000 kg{m
3et
est donn´ee en chaque point par la relation : ρ
c“ 1880`0.4 V
c. Elle varie donc entre
1910 kg{m
3, pour les sols mous en surface, et 2200 kg{m
3, pour les sols les plus raides et
profonds.
Rocher Le rocher est suppos´e homog`ene purement ´elastique avec une vitesse des ondes
de cisaillement de 800 m{s, une vitesse des ondes de compression de 2500 m{s et une
masse volumique de 2300 kg{m
3.
H
c(m) Vp
c(m{s) V
S30(m{s) Classe de sol S
a
gď3.0m{s
2a
gą3.0m{s
2
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Stabilité des digues sous chargement sismique : vers une nouvelle génération de méthodes simplifiées
(Page 159-165)