ait travers´e enti`erement le plan zm. In fine, le profil d’att´enuation total
I(x) v´erifie I(x) = 1 n
Pn
k=1Ik(x). Celui-ci est donc maximal pour x = 0 et
d´ecroˆıt lorsqu’on s’´eloigne de cette position, ce qui explique le fait que le profil d’h´ematocrite ne soit pas plat, lorsque R = 1. Pour le cas R = 2, nous pouvons appliquer le mˆeme raisonnement. Du fait de sa forme allong´ee, le profil total doit ˆetre quasiment plat, ce qui est en accord avec l’hypoth`ese que nous avons faite. Nous verrons dans le chapitre suivant comment l’aplatissement du profil d’h´ematocrite a une influence sur la s´eparation de phase.
D’apr`es le raisonnement que nous venons de suivre, nous pouvons voir le profil d’h´ematocrite dans une section droite comme ´etant la projection orthogonale sur cette section de l’ensemble des formes prises par les globules rouges en ´ecoulement. Projection pour laquelle chaque point de la section droite (x, y) est affect´e d’un coefficient, n´ecessairement ´egal `a Ht(x, y), qui par ailleurs d´epend du rapport entre le temps pass´e par le
point (x, y) `a “ˆetre” dans la phase globule sur la dur´ee totale de l’´ecoulement. Dans la suite, nous nous int´eressons au profil de vitesse des globules rouges. Nous cherchons `a ´etendre la param´etrisation des profils d’h´emato- crite amorc´ee par Sophie Roman en y incluant en particulier, comme nous l’avons fait pour δ et H0, une d´ependance `a ¯Ht.
2.
Profil de vitesse des globules rouges
L’ensemble des profils de vitesse mesur´es par dual-slit dans ce travail confirment les r´esultats de Roman et al. (2016). A ces profils, il est possible d’ajuster l’´equation ci-dessous :
VmaxGR (x) = V0 1 − B x 2 (W/2)2 (4.35) o`u V0 et B sont respectivement la vitesse maximale au centre du canal
et coefficient d’aplatissement du profil de vitesse. Confirmant les r´esultats de S. Roman, nos travaux montrent eux aussi l’existence de deux r´egimes, caract´eris´es par B = 0 (profil plat) si R > 1 et B > 0 si R < 1.
A partir du profil de vitesse maximale, on d´eduit le profil de vitesse, qui a la forme suivante (Roman 2012) :
VGR(x, y) = V01 − Bx 2 (W/2)2 1 − By 2 (W/2)2 (4.36) L’optimisation du syst`eme d’injection ainsi que la meilleure qualit´e d’image ont permis de stabiliser les ´ecoulements, et ce, mˆeme `a fort h´e- matocrite et aussi d’avoir une mesure plus pr´ecise de cet h´ematocrite, par
98 CHAPITRE 4. CANAUX DROITS
rapport `a l’´etude exp´erimentale de Sophie Roman. Ainsi, `a partir de l’en- semble de nos mesures exp´erimentales de profils de vitesse maximale des globules rouges par dual-slit, on pr´esente sur la Figure 4.11 l’´evolution du param`etre B en fonction de ¯Ht pour R = 0.5. L’influence de V0 n’a pas ´et´e
´etudi´ee, puisque, pour les raisons techniques d’impl´ementation de la dual-slit, ce param`etre est toujours, au maximum, de l’ordre du quelques millim`etre par seconde. Toutefois, il est quand mˆeme possible de dire que, dans la gamme consid´er´ee (de ∼ 300 µm.s−1 `a ∼ 3 mm.s−1), V0 ne semble pas avoir
d’influence sur B.
On ajuste aux points exp´erimentaux la fonction fB suivante o`u λ, µ et ν
sont trois param`etres libres : fB(x) = x λ −µ−1 1 +x λ −µ−ν−1 (4.37) Cette fonction est une densit´e de probabilit´e, connue comme ´etant la loi de Burr (1942). Un ajustement de l’´equation ci-dessus aux donn´ees au sens des moindres carr´es, donne comme valeurs aux param`etres λ = 0.169, µ = 1.685 et ν = 0.798. Nous obtenons donc :
B( ¯Ht) = H¯t 0.169 −2.685 1 + ¯ Ht 0.169 −1.685−1.798 (4.38)
Figure 4.11 – ´Evolution du coefficient d’aplatissement du profil de vitesse des globules rouges en fonction de ¯Ht pour R = 0.5 (points bleus) et R = 1 (point rouges). L’incertitude sur les mesures du param`etre est de plus ou moins 0.05. La courbe bleue continue repr´esente l’´Equation (4.38).
La tendance suivie par les points exp´erimentaux mise en ´evidence pour le cas R = 0.5 n’a, `a notre connaissance, jamais ´et´e report´ee. Nous justifions
2.. PROFIL DE VITESSE DES GLOBULES ROUGES 99
notre choix de la fonction fB, pour d´ecrire nos points exp´erimentaux, sur
la base des consid´erations suivantes. Supposons que l’h´ematocrite de tube tende vers z´ero : la suspension se r´eduit alors `a un unique globule rouge qui s’´ecoule dans un canal tr`es long. En r´egime ´etabli, le globule rouge ne se d´eforme pas. Le profil de vitesse maximale (celui qui est mesur´e par dual- slit ) est alors r´ealis´e sur l’int´egralit´e du globule. Mais, puisque le globule ne se d´eforme pas, le profil r´esultant de cette mesure doit ˆetre plat et ´egal `a la vitesse du centre de masse du globule. Ainsi, la valeur de B tend vers z´ero.
Ensuite, lorsque l’h´ematocrite augmente, les globules occupent une sur- face de la section droite de plus en plus importante, et sont donc soumis aux gradients de vitesses du fluide suspendant dans celle-ci. Lorsque l’h´e- matocrite devient plus important (sup´erieur `a 0.053, d’apr`es la Figure 4.11, courbe et points bleus), les interactions entre globules tendent `a aplatir le profil de vitesse. Notons de nouveau la similitude entre fort confinement col- lectif et fort confinement g´eom´etrique, ainsi que nous l’avons exhib´ee pour le param`etre BH.
Enfin, ajuster aux points exp´erimentaux une courbe exponentielle d´ecroissante fournit une valeur moyenne des r´esidus l´eg`erement plus grande que celle que nous avons en utilisant la fonction fB (0.2588 contre 0.1474).
La connaissance `a la fois de la forme du profil de vitesse des globules rouges et du profil d’h´ematocrite nous permet de mesurer le d´ebit de globules rouges dans un canal de section carr´ee, en r´egime ´etabli. Nous ne sommes pas en mesure de mesurer le profil de vitesse du fluide suspendant, aussi sommes nous oblig´es de d´eduire le d´ebit de ce dernier au moyen d’hypoth`eses faites sur son profil de vitesse. Apr`es avoir montr´e comment nous obtenons les d´ebits de globules rouges, de fluide suspendant et de sang, nous validerons dans la section suivante les expressions obtenues en comparant l’intensit´e de l’effet F˚ahraeus d´eduite de nos corr´elations empiriques et hypoth`eses, `a celle pr´edite par la loi de Pries et al. (1990), adapt´ee pour des globules rouges humains (Roman et al., 2016), voir ´
Equation (2.11), Chapitre Introduction. Dans l’encadr´e ci-dessous, nous r´esumons les grandeurs li´ees `a la param´etrisation des profils de vitesse des globules rouges, et leur expression.
100 CHAPITRE 4. CANAUX DROITS
Param´etrisation des profils de vitesse des globules rouges : VGR(x, y) = V01 − 4B x W 2 1 − 4B y W 2 (4.39) • R = 0.5 B( ¯Ht) = H¯t 0.169 −2.685 1 + ¯ Ht 0.169 −1.685−1.798 (4.40) • R > 1 B( ¯Ht) = 0 (4.41)