L’effet F˚ ahraeus

Dans sa c´el`ebre ´etude The suspension stability of the blood, Robin F˚ahraeus compare la fraction volumique des globule rouges d’un ´echantillon de sang pr´elev´e chez un volontaire sain, donc initialement `a h´ematocrite syst´emique d’environ ∼ 45%, avec celui mesur´e dans des tubes en verre de diff´erents diam`etres dans lesquels s’´ecoule ce mˆeme ´echantillon. Pour des tubes de diam`etres sup´erieurs `a ∼ 450 µm, l’h´ematocrite de tube est ´egal ou tr`es proche de la valeur de l’h´ematocrite syst´emique (voir Figure 2.9). Pour des tubes dont le diam`etre est inf´erieur `a ∼ 250 µm, l’h´ematocrite de tube est d’autant plus faible que le diam`etre de ce dernier est petit. Cette observation s’´etend jusqu’au plus petit diam`etre de tube consid´er´e par F˚ahraeus, `a savoir 50 µm.

Le r´esultat observ´e par Robin F˚ahraeus s’explique par la migration subie

Figure 2.9 – Tableau compilant les r´esultats des exp´eriences de F˚ahraeus sur l’h´e- modilution observ´ee par r´eduction du diam`etre du tube dans lequel s’´ecoule du sang. ¯Ht(colonne “Erythrocytes”) d´ecroˆıt avec le diam`etre du tube, et est tr`es inf´e- rieur `a la valeur syst´emique pour les deux plus petits diam`etres ´etudi´es. La vitesse moyenne relative des globules rouges par rapport `a celle du plasma croit en mˆeme temps que le diam`etre du tube d´ecroit. Cette vitesse est significativement sup´erieure `

a celle du plasma pour les deux plus petits diam`etres. D’apr`es F˚ahraeus (1929).

par les globules rouges du fait du gradient de vitesse radiale du fluide suspendant. En cons´equence, les cellules occupent principalement le centre de la section, o`u, depuis les travaux de Poiseuille, on sait que la vitesse du fluide suspendant est la plus ´elev´ee. Plus le diam`etre du tube est petit, plus un globule occupe, en proportion, une surface de la section importante.

4.. ´ECOULEMENT DE GLOBULES ROUGES DANS UN VAISSEAU 27

Puisqu’il s’agit ici du centre de la section, plus le diam`etre du tube se r´eduit, plus les globules rouges s’´ecoulent, en moyenne, plus rapidement que le sang (voir derni`ere colonne de la Figure 2.9) :

¯ V_GR ¯ Vsang

> 1 (2.9)

o`u ¯V_GR et ¯V_sang sont les vitesses moyennes des globules rouges et du sang respectivement. Or, les d´ebits de globules rouges et de sang, QGR

et Qsang, peuvent s’´ecrire : QGR ≈ ¯VGRH¯tS et Qsang= ¯VsangS, o`u ¯Ht est

l’h´ematocrite de tube moyen de la suspension en ´ecoulement et S est la surface de la section droite du tube.

On peut donc ´ecrire : ¯ VGR ¯ V_sang = ¯ VGRH¯tS ¯ V_sangH¯_tS = QGR Q_sangH¯_t > 1. La quantit´e QGR Q_sang est appel´ee h´ematocrite de d´ebit et est not´ee HD. On obtient donc la

formulation usuelle de ce qui est appel´e de nos jours l’effet F˚ahraeus : ¯

Ht

H_D < 1 (2.10)

Pr`es de quarante ans apr`es sa d´ecouverte, Barbee et Cokelet (1971) ´etendent les travaux de Robin F˚ahraeus sur l’effet ´eponyme et ´etudient l’in- fluence du diam`etre, jusqu’`a des valeurs de 29 microns, de l’h´ematocrite de d´ebit et du pseudo-taux de cisaillement. Ce dernier param`etre, pour des valeurs comprises entre 0.296 et 212 s−1 ne pr´esente pas d’influence remar- quable. La Figure 2.10 montre que, `a h´ematocrite de r´eservoir (i.e. l’h´ema- tocrite du r´eservoir servant `a alimenter le tube d’int´erˆet), appel´e HF fix´e, la

tendance observ´ee par F˚ahraeus se prolonge jusqu’au tube de plus petit dia- m`etre ´etudi´e (29 µm). Ils montrent aussi que l’h´ematocrite de r´eservoir est ´egal `a l’h´ematocrite de d´ebit, donc que HD= HF. Plus important encore,

Barbee et Cokelet (1971) mettent en ´evidence que cet effet est d’autant plus marqu´e que l’h´ematocrite de r´eservoir est faible, ce qui se traduit par HR =

¯ Ht

H_D est d’autant plus petit que HF est faible.

En r´esum´e, dans leur ´etude, Barbee et Cokelet (1971) montrent que l’effet F˚ahraeus est d’autant plus prononc´e que le diam`etre du tube est petit et que l’h´ematocrite de d´ebit de la suspension dans ce tube d’int´erˆet est faible. Ils g´en´eralisent ainsi l’observation faite par F˚ahraeus avec un h´ematocrite de r´eservoir initialement ´egal `a l’h´ematocrite syst´emique `a une plus large gamme de valeurs.

Yen et Fung (1977) montrent une inversion de l’effet F˚ahraeus, c’est-`a-dire, une valeur HR =

¯ H_t HD

se rapprochant de l’unit´e lorsque le diam`etre diminue, au lieu de s’en ´eloigner, d`es lors que le rapport entre le diam`etre de la particule et celui de la section du tube avoisine ou d´epasse l’unit´e. Pour ce

28 CHAPITRE 2. MICRO- ´ECOULEMENTS SANGUINS

Figure 2.10 – ´Evolution du ratio HR= ¯ Ht HD

en fonction de HF= HD. D’apr`es Barbee et Cokelet (1971).

faire, pour simuler le sang, ils utilisent des particules mod`eles, consistant en des “plaquettes” de g´elatine suspendues dans du silicone. Cependant, comme le soulignent Albrecht et al. (1979), il est difficile d’extrapoler leurs r´esultats `a des ´ecoulements sanguins, compte tenu du fait que les effets de la diff´erence de d´eformabilit´e entre les particules mod`eles et les globules rouges ne sont pas connus. C’est pourquoi, les derniers se sont int´eress´es `a l’effet F˚ahraeus dans des capillaires en verre de diam`etre inf´erieur `a 11 µm, descendant jusqu’`a 3.3 µm, en faisant s’y ´ecouler une suspension de globules rouges. Ils montrent que l’inversion de l’effet F˚ahraeus s’enclenche pour des diam`etres de tube compris entre 10 et 20 µm, et est d’autant plus prononc´ee que le diam`etre se r´eduit. En r´esum´e, l’intensit´e de l’effet F˚ahraeus est d’autant plus ´elev´ee que le diam`etre du capillaire est petit mais tout en restant sup´erieur `a une certaine valeur.

Plus tard, Pries et al. (1990) ont propos´e une expression de l’effet F˚ahraeus, incluant aussi l’inversion, au moyen de donn´ees r´epertori´ees dans la litt´erature, et relient le rapport entre h´ematocrite de tube et h´ematocrite de d´ebit au moyen de la relation param´etrique :

¯ H_t

H_D = HD+ (1 − HD)(1 + 1.7 exp(−0.451D) − 0.6 exp(−0.011D)) (2.11) o`u D est le diam`etre du tube en microns.

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globules rouges vers le centre des petits vaisseaux sanguins influen¸cant la largeur de la couche d’exclusion plasmatique. Cette derni`ere joue aussi un rˆole sur la viscosit´e des suspensions de globules rouges en ´ecoulement.