Le mod` ele semi-empirique appliqu´ e aux tra-

L’´etude de Shen et al. (2016) consiste en l’´etude d’´ecoulements bi- dimensionnels de globules mod´elis´es par la m´ethode Lattice Boltzmann. Chaque globule consiste en une membrane, simul´ee par 60 nœuds, encapsu- lant un fluide Newtonien dont la viscosit´e est une ou dix fois celle du fluide suspendant. Les ´ecoulements se font dans la g´eom´etrie que nous avons pr´e- sent´ee dans le Chapitre Introduction (Section 6.1, Figure 2.17). Les canaux de cette g´eom´etrie ont tous la mˆeme section de largeur W = 20 µm.

L’objectif de leur ´etude est d’´etudier la cons´equence qu’a la structuration de l’´ecoulement (i.e. l’organisation des globules rouges) dans la branche m`ere sur la s´eparation de phase. Un r´esultat important est que, selon l’organisation des globules rouges, une inversion de l’effet Zweifach-Fung est observ´ee. Une telle inversion, ´equivalente `a une inversion de l’effet de s´eparation de phase, se traduit de la mani`ere suivante : pour une valeur de FQ1<sub>sang</sub>> 0.5, le ratio H1<sub>D</sub>/He<sub>D</sub> est inf´erieur `a 1. Pour une bifurcation sym´etrique, en r´egime ´etabli, cette situation repr´esente un cas exception- nel. D’une mani`ere g´en´erale, l’effet Zweifach-Fung, qui traduit l’effet de s´eparation de phase, est v´erifi´e : pour FQ1_sang> 0.5, on a n´ecessairement H1_D/He_D> 1.

Les diff´erentes structurations pr´esent´ees sont des cons´equences du ratio de viscosit´e entre le fluide interne et le fluide externe. Les auteurs intro- duisent le param`etre λ comme ´etant le rapport entre la viscosit´e ηin de la

solution d’h´emoglobine encapsul´ee dans le globule, et ηout la viscosit´e du

fluide suspendant :

λ = ηin ηout

(5.9) Les r´esultats pour λ = 1 et λ = 10 sont obtenus en ajustant ηout.

Les simulations conduites par les auteurs permettent d’obtenir un profil d’h´ematocrite et une courbe de s´eparation de phase `a une bifurcation sym´e- trique. Les profils d’h´ematocrite obtenus dans ces deux cas sont pr´esent´es sur la Figure 5.13, pour un mˆeme h´ematocrite de tube de 5%. Notons que ce profil pr´esente une l´eg`ere asym´etrie. Cette asym´etrie, qui n’est a priori pas physique est probablement un artefact de simulation (profil calcul´e sur un trop petit nombre de globules par exemple, ou influence de la condition `

a la limite). On note une tr`es nette structuration de l’´ecoulement en deux files quand λ = 10 (cf Figure 5.13, haut), qui conduit `a l’inversion de l’effet de s´eparation de phase.

132 CHAPITRE 5. BIFURCATIONS

Nous sommes en mesure de retrouver l’inversion de l’effet de s´eparation de phase grˆace aux profils d’h´ematocrite simul´es par Shen et al. (2016), via l’emploi du mod`ele semi-empirique. L’´ecoulement ´etant bidimensionnel, nous ´ecrivons le profil de vitesse du fluide suspendant comme ´etant :

V_FS(x) = V₀1 −4x

2

W2



(5.10) Les profils de vitesse des globules rouges n’´etant pas renseign´es dans l’article de Shen et al. (2016), nous appliquons le mod`ele en prenant B = 0 puis B = 1 et mettons en ´evidence que ce param`etre n’a pas d’influence notable sur les r´esultats. Ceux pr´esent´es dans la Figure 5.13 ont ´et´e obtenus pour B = 1. Le profil d’h´ematocrite lui est r´ecup´er´e manuellement au moyen d’un web digitizer2. Les r´esultats sont pr´esent´es de la mani`ere suivante : le ratio H

i D

He D

, calcul´e `a partir des d´ebits de sang et de globules rouges dans les branches filles et la branche m`ere, est trac´e en fonction de FQi

sang. Le mod`ele

semi-empirique permet de capturer l’effet de s´eparation de phase classique (pour λ = 1) et son inversion (pour λ = 10), en ´etant qualitativement en accord avec les points issus de la simulation num´erique (voir Figure 5.13, milieu). L’inversion de l’effet de s´eparation de phase est provoqu´ee par la structuration de l’´ecoulement en deux files, qui elle ´emerge des interactions hydrodynamiques entre le globule et son environnement, dans le cas 2D. L’explication de cette inversion au moyen du mod`ele semi-empirique est la mˆeme que celle avanc´ee par les auteurs : lorsque la ligne s´eparatrice de fluide est au niveau du creux du profil d’h´ematocrite, la branche fille 1 re¸coit du fluide suspendant en exc`es par rapport aux globules rouges. Cet exc`es a comme cons´equence de r´eduire la valeur de l’h´ematocrite dans cette branche, `

a une valeur inf´erieure `a celle de la branche m`ere. Le mod`ele nous permet aussi d’obtenir une courbe de s´eparation de phase qui ne peut plus ˆetre d´ecrite par une courbe sigmo¨ıde, ce qui est une signature de l’inversion de l’effet de s´eparation de phase (voir Figure 5.13 bas).

2.4.2 Le mod`ele semi-empirique appliqu´e aux travaux de Sher- wood et al. (2014a)

Le dispositif exp´erimental utilis´e dans cette ´etude consiste en deux bifurcations en s´erie, distantes de 250 µm, une branche fille de la bifurcation amont ´etant la branche m`ere de la bifurcation aval. Nous appelons cette derni`ere “bifurcation ´etudi´ee”. Tous les canaux ont la mˆeme section, qui est telle que R = 0.2 (W × W = 50µm2).

Dans cette ´etude, les auteurs s’int´eressent `a la question de l’effet de la pr´esence d’une bifurcation divergente situ´ee en amont de celle ´etudi´ee, sur

2.. MOD `ELE SEMI-EMPIRIQUE 133

l’intensit´e de la s´eparation de phase dans cette derni`ere. La branche m`ere de la bifurcation aval est une branche fille de la bifurcation amont. Cette ´etude a donc pour but d’´etudier, dans un cas simple, l’influence qu’ont des bifurcations successives sur la distribution des globules dans des g´eom´etries plus complexes que la simple bifurcation, un point que l’on abordera dans le dernier chapitre de ce manuscrit, consacr´e aux r´eseaux. Les auteurs fournissent une courbe de s´eparation de phase au niveau de la bifurcation la plus en aval, celle ´etudi´ee. Toutefois, la forme du profil d’h´ematocrite, dans la branche m`ere de cette bifurcation, ayant conduit `a ce r´esultat de s´eparation de phase n’est pas pr´ecis´ee par les auteurs, et il en est de mˆeme pour le profil de vitesse des globules rouges.

Les trois profils d’h´ematocrite pr´esent´es sur la Figure 5.14(d) (r´ecup´er´es eux aussi manuellement par un web digitizer ) ont ´et´e obtenus exp´erimenta- lement par les auteurs dans la branche m`ere de la bifurcation ´etudi´ee, pour plusieurs valeurs de d´ebits fractionnaires de sang dans cette branche. C’est pourquoi les points exp´erimentaux de s´eparation de phase sont pr´esent´es de mani`ere identiques sur les Figures 5.14(a)-(c). Seul change le profil d’h´ema- tocrite utilis´e dans le mod`ele semi-empirique. Puisque nous ne sommes pas capable de d´eduire la forme des profils d’h´ematocrite en tout point (x, y) de la section, nous consid´ererons un ´ecoulement bidimensionnel, ainsi que nous l’avons fait pour les travaux de Shen et al. (2016) : nous d´ecrivons les profils d’h´ematocrite, de vitesse des globules rouges et de fluide suspendant uniquement selon la direction (Ox).

Ensuite, dans les trois cas pr´esent´es sur les Figures 5.14(a)-(c), nous avons suppos´e que le coefficient d’aplatissement du profil de vitesse des globules rouges vaut B = 0.65 : la valeur non nulle de l’h´ematocrite `a la paroi sugg`ere une vitesse de glissement non nulle des globules rouges `a la paroi, Vg, que l’on peut relier `a leur vitesse maximale, V0 au moyen de la

relation Vg= V0(1 − B) (voir ´Equation (4.35), chapitre pr´ec´edent). Vg et

V₀ sont estim´es `a partir d’une mesure manuelle effectu´ee sur la Figure 2(b) dans Sherwood et al. (2014a).

Nous appliquons `a pr´esent le mod`ele semi-empirique aux profils d’h´ema- tocrite mesur´es par les auteurs. Notre mod`ele, contrairement `a la pr´ediction de la loi de Pries, permet de retrouver la forme particuli`ere qu’adoptent leurs points exp´erimentaux. Du fait de l’asym´etrie du profil d’h´ematocrite dans la branche fille issue de la branche d’entr´ee, les courbes de s´eparation de phase d´ecrivant la distribution des d´ebits de globules rouges dans chacune d’elles ne sont plus superpos´ees et sym´etriques par rapport au points (0.5, 0.5). De plus, le mod`ele semi-empirique capture l’exc`es de globules rouges re¸cu par la branche situ´ee du cˆot´e vers lequel est disym´etris´e le profil d’h´emato- crite, et capture donc bien l’effet de l’asym´etrie du profil d’h´ematocrite sur

134 CHAPITRE 5. BIFURCATIONS

la s´eparation de phase. Toutefois, aux faibles valeurs de FQi_sang (inf´erieures `

a ∼ 30%), le mod`ele sous-estime l’intensit´e de la s´eparation de phase (par conservation de la masse, cette observation se retrouve aux fortes valeurs de FQi<sub>sang</sub> de l’autre branche). Le meilleur accord entre les r´esultats exp´eri- mentaux et ceux du mod`ele sont ceux de la Figure 5.14(c). Cet accord est obtenu pour le profil rouge de la Figure 5.14(d).

Nous concluons ce chapitre en discutant l’ensemble de nos r´esultats et des implications li´ees `a l’utilisation de notre mod`ele semi-empirique pour d´ecrire la s´eparation de phase.

2.. MOD `ELE SEMI-EMPIRIQUE 135

Figure 5.13 – En haut : profils d’h´ematocrite obtenus par Shen et al. (2016) pour les deux valeurs du param`etre λ, d’apr`es Shen et al. (2016). Au milieu : H1_D/He_D

en fonction de FQsang : r´esultats num´eriques de Shen et al. pour les cas λ = 10 (point rouges) et λ = 1 (points bleus), et mˆemes r´esultats obtenus avec le mod`ele semi-empirique (points reli´es rouges : λ = 10, points reli´es bleus : λ = 1). La ligne noire correspond `a H1

D/H

e

D= 1. En bas : courbe de s´eparation de phase obtenue pour le cas λ = 10 via le mod`ele semi-empirique. Le fait qu’il y ait deux courbes vient de la l´eg`ere asym´etrie pr´esent´ee par le profil d’h´ematocrite.

136 CHAPITRE 5. BIFURCATIONS

Figure 5.14 – Figures (a)-(c) : points exp´erimentaux de s´eparations de phases obtenus par Sherwood et al. (2014a), les cercles noirs correspondent `a une branche fille de la seconde bifurcation, et les carr´es blancs `a l’autre branche fille de la mˆeme bifurcation. Les courbes color´ees donnent les r´esultats du mod`ele semi-empirique, obtenus `a partir des profils profils d’h´ematocrite de mˆeme couleur pr´esent´es sur la Figure (d). La courbe en trait noir continu est la pr´ediction de la loi de Pries.

3.. CONCLUSION 137

3.

Conclusion

Nous avons pr´esent´e les r´esultats de s´eparation de phase, obtenus dans des bifurcations sym´etriques et asym´etriques. Au moyen du param`etre e_Pries, dans la continuit´e des r´esultats de S. Roman, nous avons montr´e que la loi de Pries d´ecrit d’autant mieux nos points de s´eparation de phase que le confinement collectif est faible (voir Figure 5.6(b)). Pour les forts confinements collectifs et g´eom´etriques (i.e forts confinements effectifs), la loi de Pries sur-estime l’intensit´e de la s´eparation de phase. Ce r´esultat est en accord avec ceux de Roman et al. (2016), reproduits sur la Figure 5.9. Enfin, le cas n´ecessitant la correction la plus importante de la loi de Pries est celui du confinement g´eom´etrique le plus fort (voir les losanges rouges Figure 5.6(b), par rapport aux autres points).

Premi`erement, nous avons propos´e un mod`ele semi-empirique qui repose `

a la fois sur une vision continue de la phase globule rouge mais aussi sur l’existence suppos´ee d’une ligne s´eparatrice de fluide. Le mod`ele propos´e a pour objectif de mettre en ´evidence les situations de confinements collectif et g´eom´etrique pour lesquels la s´eparation de phase est dict´ee principale- ment par l’organisation spatiale des globules rouges dans la section droite sans avoir `a recourir `a la description discr`ete des corpuscules. Sur la Figure 5.10(a) nous avons mis en ´evidence que ce mod`ele est d’autant plus juste que le confinement collectif est important et/ou que le confinement g´eom´e- trique est fort. Pour rappel, `a partir de ces deux notions de confinement, nous avons d´efini dans le chapitre pr´ec´edent (Section 1.5) un confinement effectif, dont les effets se font ressentir sur le coefficient d’aplatissement du profil d’h´ematocrite BH. Plus le confinement effectif est important, i.e. plus

le profil d’h´ematocrite est plat, en accord avec Balogh et Bagchi (2018), meilleure est la pr´ecision du mod`ele semi-empirique pour pr´edire l’intensit´e de la s´eparation de phase. En pratique, le mod`ele est particuli`erement adapt´e aux confinements g´eom´etriques R = 0.5 avec HD> 0.1 et R = 2 pour tout

h´ematocrite (voir Figure 5.10, points bleus et rouges). La pr´ediction de la s´eparation de phase dans le cas de confinement g´eom´etrique interm´ediaire R = 1, afin d’ˆetre la plus juste possible n´ecessite de prendre en compte la taille non nulle des globules rouges. A cette fin, nous nous sommes appuy´es sur la forme prise par les globules rouges aux deux confinements g´eom´e- triques les plus forts, et avons compar´e les deux situations (voir Section 2.2, et l’explication rattach´ee `a la Figure 5.11). Nous avons sugg´er´e une explica- tion simple li´ee `a la possibilit´e ou non des globules rouges d’avoir une jupe : le confinement g´eom´etrique R = 1 permet l’´emergence d’une jupe qui oblige `a consid´erer la vision corpusculaire, lorsque le confinement g´eom´etrique R = 2 aplatit cette jupe et permet une description de la s´eparation de phase au moyen du mod`ele semi-empirique. Cette explication nous a donc permis de formuler une hypoth`ese expliquant l’inversion de l’intensit´e de s´eparation de

138 CHAPITRE 5. BIFURCATIONS

la s´eparation de phase aux tr`es forts confinements (voir Figure 5.3 et Sec- tion 1.3.2). L’´ecrasement de la jupe aux tr`es forts confinements va de pair avec l’impossibilit´e pour les globules rouges de se structurer en zipper, voir les travaux de Gaehtgens et al. (1980) (reproduits sur la Figure 4.5 (haut) du chapitre pr´ec´edent). Aussi, nous sugg´erons que le mod`ele semi-empirique permettrait de d´eduire compl`etement l’intensit´e de la s´eparation de phase aux confinements R > 2.

Deuxi`emement, `a l’aide du mod`ele semi-empirique, nous pouvons par ailleurs d´egager, en r´egime ´etabli, l’influence relative qu’ont les profils d’h´e- matocrite, de vitesse des globules rouges et du fluide suspendant sur l’effet de s´eparation de phase. Comme nous ne nous int´eressons qu’au r´egime ´etabli, pour discuter de l’influence relative des profils, nous ne consid´ererons que des formes de profils d’h´ematocrite et de vitesse des globules rouges “r´ealis- tes”, i.e. similaire `a celles que nous mesurons, donc au moins sym´etriques par rapport aux plans (Oxz) et (Oxy).

Notons tout d’abord qu’il n’y aurait pas de s´eparation de phase, si le profil d’h´ematocrite ´etait parfaitement plat (sans couche d’exclusion plas- matique), et les profils de vitesse des globules rouges et de fuide suspendant strictement identiques. Comme le profil vitesse des globules rouges est tou- jours diff´erent de celui du fluide suspendant, l’intensit´e de la s´eparation de phase ne peut jamais ˆetre strictement nulle.

La contribution de la courbure du profil de vitesse des globules rouges est n´egligeable, pour les h´ematocrites et confinements consid´er´es. Le d´ecalage entre la vitesse maximale que nous avons d´eduit de notre ´etude sur l’inversion de l’effet F˚ahraeus (chapitre pr´ec´edent, Section 3.3) contri- bue `a augmenter l’intensit´e de la s´eparation de phase, mais de mani`ere n´egligeable. Pour un profil d’h´ematocrite fix´e, la s´eparation de phase est d’autant moins prononc´ee que le profil de vitesse des globules rouges est plat. Le profil qui influence le plus la s´eparation de phase est le profil d’h´ematocrite. La s´eparation de phase est d’autant moins prononc´ee que le profil d’h´ematocrite est plat. Enfin, `a confinements g´eom´etrique et collectif fix´e, la s´eparation de phase est d’autant plus prononc´ee que la couche d’exclusion plasmatique est ´epaisse.

Troisi`emement, ce mod`ele semi-empirique peut ˆetre g´en´eralis´e aux N- furcations. Nous d´eveloppons ceci en Annexe C.

Dans cette annexe, de la mˆeme mani`ere que dans le pr´esent chapitre, les r´esultats du mod`ele semi-empirique permettent de param´etriser une loi de Pries g´en´eralis´ee, qui peut ensuite ˆetre utilis´ee pour simuler la r´epartition des globules rouges dans des r´eseaux `a mailles carr´ees, comportant en entr´ee une trifurcation. Nous utiliserons une loi de Pries g´en´eralis´ee au chapitre suivant.

Dans le dernier chapitre, nous nous int´eressons en effet aux r´eseaux 2D mod`eles. Notre objectif sera de comprendre la structuration de l’´ecoulement

3.. CONCLUSION 139

`

Chapitre 6

Perfusion de r´eseaux 2D

mod`eles : exp´eriences et

simulations

Ce cinqui`eme et dernier chapitre est d´edi´e `a la compr´ehension de la per- fusion, i.e. la distribution de l’h´ematocrite dans des r´eseaux mod`eles 2D `a maille ´el´ementaire hexagonale. Rappelons que ces r´eseaux, d´ej`a pr´esent´es dans le Chapitre Mat´eriels et M´ethodes, comportent 88 canaux identiques, de longueur 50 microns. Nous disposons de deux types de r´eseaux, corres- pondant `a 2 confinements g´eom´etriques diff´erents : R = 1 et R = 2.

Nos r´esultats exp´erimentaux, distribution de l’h´ematocrite de tube moyen et de la vitesse moyenne des globules rouges, seront compar´es `a ceux issus d’un mod`ele analytique, qui prend en compte la rh´eologie aty- pique de la micro-circulation (effet de s´eparation de phase, effets F˚ahraeus et F˚ahraeus-Lindqvist). La r´esolution num´erique de ce mod`ele permet d’ob- tenir notamment la distribution de l’h´ematocrite et des d´ebits de sang et de globules rouges au sein du r´eseau, desquels sont d´eduites leur vitesse moyenne.

Nous d´ebutons ce chapitre en pr´esentant bri`evement ce mod`ele, intro- duit initialement par Pries et al. (1990). Le code permettant de r´esoudre l’´ecoulement sanguin a ´et´e ´ecrit par Maxime Berg, doctorant dans le cadre de l’ERC BrainMicroFlow.

Nous comparons la distribution d’h´ematocrite pr´edite par ce mod`ele `a celle que nous avons obtenue exp´erimentalement pour le cas R = 2. En par- ticulier, nous ´etudierons l’influence de la forme de la loi de s´eparation de phase introduite dans le mod`ele sur cette comparaison.

Ensuite, nous ´etudierons le cas des r´eseaux avec R = 1. L`a encore, le mod`ele num´erique et les r´esultats exp´erimentaux seront compar´es. Une dif- f´erence majeure par rapport au cas R = 2 est que nous observons des profils d’h´ematocrite asym´etriques, dont la forme ´evolue le long du canal suite `a une