Formulation du mod` ele : approche continue et notion

Le mod`ele que nous proposons repose sur une vision continue des micro- ´ecoulements sanguins. En effet, il ne fait intervenir que les profils de vitesse et d’h´ematocrite. Introduire de tels profils “masque” la nature discr`ete des globules et la vision continue permet `a un globule de se “scinder en deux”. Bien entendu, une telle approche paraˆıt d’autant plus critiquable que le confinement g´eom´etrique (quantifi´e par la valeur de R dans notre travail) est important (Obrist et al. 2010, Lei et al. 2013).

Nous pr´esentons ci-apr`es ce mod`ele, et le justifierons a posteriori. En adoptant une vision continue, nous nous appuyons sur les ´etudes de Fen- ton et al. (1985) et Enden et Popel (1994), effectu´ees dans ce mˆeme cadre conceptuel. Plus sp´ecifiquement, Fenton et al. (1985) montrent que leurs donn´ees de s´eparation de phase obtenues dans des bifurcation 20 − 20 − 20, 50 − 50 − 50 et 100 − 100 − 100, o`u les canaux sont des tubes en verre de section circulaire, peuvent ˆetre tr`es bien d´ecrites par un mod`ele bas´e sur la seule connaissance de la structuration de l’´ecoulement dans une section droite du tube d’entr´ee. Parce qu’aucun profil n’est mesur´e dans leur ´etude, il leur est n´ecessaire de postuler une forme pour les profils d’h´ematocrite et de vitesse de globules rouges et de fluide suspendant. Le profil d’h´ematocrite est suppos´e ˆetre uniforme dans la section droite sauf dans la couche d’exclu- sion plasmatique o`u l’h´ematocrite est nul. Le profil de vitesse se d´eduit d’une mod´elisation du sang `a deux fluides Newtoniens de viscosit´es diff´erentes. Le premier correspond `a la couche d’exclusion plasmatique, le deuxi`eme, plus visqueux, au cœur central riche en globules. Dans nos g´eom´etries, un tel mod`ele peut donc ˆetre enrichi par la connaissance pr´ecise de la forme des profils d’h´ematocrite et de vitesse des globules rouges que nous proposons.

La notion de ligne s´eparatrice de l’´ecoulement est introduite : il s’agit d’une d´elimitation fictive qui “s´epare” la section droite du tube d’entr´ee en deux r´egions, d´efinissant alors deux tubes de courant dans le canal d’entr´ee, qui vont alimenter l’une ou l’autre branche fille de la bifurcation.

Nous d´ecrivons maintenant le mod`ele semi-empirique, bas´e sur les ´etudes de Fenton et al. (1985), Pries et al. (1989), Enden et Popel (1994), en utilisant les notations employ´ees dans ce manuscrit, et l’appliquons `a nos ´ecoulements en bifurcations, afin de voir quelles sont ses pr´edictions concernant l’effet de s´eparation de phase.

Consid´erons une bifurcation quelconque, dans laquelle l’´ecoulement se fait en r´egime de Stokes. Supposons que, suffisamment loin en aval pour

2.. MOD `ELE SEMI-EMPIRIQUE 121

que l’´ecoulement soit ´etabli, deux r´egions S1 et S2 de la section de la

branche d’entr´ee, qui alimentent respectivement les branches 1 et 2 puissent ˆetre d´etermin´ees. Du fait de la conservation de la masse, l’union de S1 et

S₂ correspond `a la totalit´e de la section de la branche d’entr´ee, et leur intersection correspond `a la ligne s´eparatrice de fluide.

Si on suppose cette ligne s´eparatrice connue pour les ´ecoulements consi- d´er´es, alors il est possible de d´eterminer les d´ebits de globules rouges et de sang dans les deux branches filles i en ´ecrivant :

Qi_GR=

Z Z

Si

He_tVe_GRdS (5.5)

o`u He_t et Ve_GR sont respectivement le profil d’h´ematocrite et de vitesse des globules rouges dans le canal d’entr´ee.

De mˆeme, il vient pour le d´ebit de fluide suspendant dans la branche i : Qi_FS=

Z Z

Si

(1 − He_t)Ve_FSdS (5.6)

o`u Ve

FS est le profil de vitesse du fluide suspendant dans le canal d’entr´ee.

Pour une section carr´ee de cˆot´e W, le profil de vitesse d’un fluide newtonien a l’expression suivante, d’apr`es Hu et al. (2012) :

V_FS(x, y) = π V0 2.0963Λ 2(π 4 96 − +∞ P k=0 tanh((2k+1)π₂ ) (2k + 1)5π 2 ) (5.7) o`u Λ =+∞P k=0 ( 1 (2k + 1)3 − cosh((2k + 1)πx W ) (2k + 1)3_cosh((2k + 1)π 2 ) )sin((2k + 1)π( y W+ 1 2)) Dans l’ ´Equation (5.7) ci-dessus, V0 est la vitesse maximale du fluide sus-

pendant.

Le d´ebit de sang total dans la branche fille i, Qi_sang est donn´e par :

Qi_sang= Qi_GR+ Qi_FS (5.8) Pour chaque position de la ligne s´eparatrice, nous pouvons donc d´eterminer les valeurs des fractions de d´ebit de sang et de globules rouges de la branche m`ere, respectivement FQi_sang et FQi_GR, qui vont alimenter la branche fille i. Afin de parcourir l’ensemble des valeurs possibles de FQi_sang et FQi_GR, il suffit de faire varier la position de la ligne s´eparatrice dans la section.

122 CHAPITRE 5. BIFURCATIONS

L’´etape suivante consiste `a d´eterminer les formes prises par la ligne s´epa- ratrice, qui d´ependent de la g´eom´etrie de la bifurcation. L’hypoth`ese centrale que nous formulons ici est que ces formes peuvent ˆetre assimil´ees aux formes des lignes s´eparatrices d´etermin´ees pour un fluide Newtonien en r´egime de Stokes. Dans ce cas, pour une bifurcation sym´etrique o`u les canaux sont carr´es et pour un fluide Newtonien en r´egime de Stokes, la ligne s´eparatrice de fluide est un segment parall`ele `a (Oy) de longueur W (Hitt et Macken, 2004). Dans cette derni`ere ´etude, les auteurs ´etudient la forme prise par la ligne de “convergence” des fluides, pour le cas d’une bifurcation convergente. Par r´eversibilit´e des ´ecoulements de Stokes, nous d´eduisons la forme de la ligne s´eparatrice dans nos bifurcations divergentes. Dans ce cas, S1 et S2

sont deux rectangles, de longueur W et de largeur variable (voir Figure 5.7 pour un exemple). Pour le cas d’une bifurcation asym´etrique, la forme de la ligne s´eparatrice de fluide d´epend de la position1 _{et de la taille de la section} de la branche fille de plus petite section, ainsi que du rapport entre le d´ebit dans la branche fille consid´er´ee et celui dans la branche m`ere. Anne-Virginie Salsac nous a aimablement fourni la forme de ces lignes s´eparatrices, dans une g´eom´etrie identique `a celle que nous consid´erons exp´erimentalement et pour plusieurs valeurs de partition des d´ebits, Q∗. La m´ethode d’obtention des lignes est report´ee dans Wang et. al (2016) et Wang et al. (2018). Ces lignes sont repr´esent´ees sur la Figure 5.7.

Finalement, pour que le mod`ele soit consistant, nous recalculons FQsang

`

a partir de la forme des lignes s´eparatrices et des ´Equations (5.1), (5.5), (5.6) et (5.8).

Dans la suite, nous comparons les pr´edictions du mod`ele pr´esent´e ci- dessus `a nos donn´ees exp´erimentales, pour des bifurcations sym´etriques puis asym´etriques, et aussi `a des donn´ees issues de la litt´erature. Nous utiliserons d´esormais l’expression “mod`ele semi-empirique” de s´eparation de phase pour qualifier ce mod`ele. En effet, il repose certes sur une description simple de l’´ecoulement au niveau de la bifurcation (ainsi que sur des r´esultats num´e- riques de simulations d’´ecoulements de Stokes) mais son utilisation requiert, comme donn´ees d’entr´ee, la forme des profils d’h´ematocrite et de vitesse des globules rouges dans la branche d’entr´ee qui est obtenue exp´erimentalement.

2.2 Application du mod`ele semi-empirique de s´eparation de