M´ ethode d’obtention des donn´ ees

Afin d’obtenir les courbes usuelles de repr´esentation de la s´eparation de phase, comme nous l’avons vu dans le Chapitre Introduction (Figure 2.16, Section 6.1), il nous faut obtenir les fractions de d´ebits de sang et de globules rouges de la branche d’entr´ee qui alimentent les branches filles (i), aussi appel´es d´ebits fractionnaires, not´ees respectivement FQi_sang et FQi_GR, et d´efinies comme :            FQi_sang = Q i sang Qe sang FQi_GR = Q i GR Qe GR (5.1)

A cette fin, au moyen du contrˆoleur de pression, la pression d’entr´ee ´etant fix´ee, nous imposons en sortie des branches filles des pressions plus ou moins importantes afin de faire varier les d´ebits dans ces branches et ainsi obtenir des valeurs du d´ebit fractionnaire FQi_sang dans toute la gamme de valeurs possibles. Nous attendons environ 5 min entre le moment o`u les pressions en sortie de bifurcation sont impos´ees et le moment o`u nous r´ealisons l’enregistrement de la s´equence d’images, afin de nous assurer que l’´ecoulement est bien stabilis´e. L’obtention des d´ebits fractionnaires passe par la mesure des d´ebits de globules rouges et de sang dans au moins deux des trois branches qui composent la bifurcation : — Si R 6 1, nous mesurons les profils d’h´ematocrite et de vitesse des globules rouges dans les trois branches afin de d´eterminer Qi_GR au

1.. S ´EPARATION DE PHASE : R ´ESULTATS EXP ´ERIMENTAUX 109

moyen de l’ ´Equation (4.42) (chapitre pr´ec´edent, Section 3.1). Qi_FS est d´etermin´e via la mesure de ¯Hi_t et Vi₀ et l’ ´Equation (4.43) (chapitre pr´ec´edent).

— Pour R = 2, il n’est pas possible de mesurer de profils d’h´emato- crite. Nous d´eterminons donc les d´ebits de globules rouges dans les branches filles au moyen de l’ ´Equation (3.10) (Chapitre Mat´eriels et M´ethodes). Notons que pour ce cas, la mesure de vitesse a ´et´e effectu´ee “ manuellement”. Cette mani`ere de d´eterminer les d´ebits de globules rouges et de sang a ´et´e appliqu´ee d`es lors qu’au moins une branche d’une bifurcation consid´er´ee a une section droite de 5 × 5 µm2. Par ailleurs, nous englobons l’ensemble des incertitudes de mesure dans l’´ecart apparent `a la conservation des d´ebits. Nous affectons `a cet ´ecart, que nous appelons ∆FQΣ le rˆole de quantifier l’erreur commise sur FQΣ, o`u Σ

fait r´ef´erence au sang ou aux globules rouges, que nous appelons ∆FQΣ.

L’´ecart, ∆FQΣ est donc donn´e par la formule (Roman et al. 2016) :

∆FQ_Σ = 1 2|1 − Q1_Σ+ Q2_Σ Qe Σ | (5.2) le facteur 1

2 traduit l’hypoth`ese d’une contribution ´egale des deux branches filles `a l’incertitude totale. Ainsi, du fait de la fa¸con que nous avons d’obtenir nos r´esultats de s´eparation de phase dans les bifurcations contenant un canal R = 2, nous for¸cons Q

1 Σ+ Q2Σ

Qe Σ

= 1, et donc ∆FQ_Σ = 0. Enfin, en pratique, parce que l’incertitude sur la mesure des d´ebits de sang est en g´en´eral d’un ordre de grandeur similaire `a celle sur la mesure des d´ebits de globules rouges, nous ne reportons sur nos courbes de s´eparation de phase exp´erimentales que les erreurs commises sur les d´ebits de globules rouges.

Avant de pr´esenter nos donn´ees, il nous faut mentionner une cons´e- quence inh´erente `a notre m´ethode d’obtention des points exp´erimentaux. Nous l’avons dit, afin de parcourir toute la gamme possible des valeurs de FQi<sub>sang</sub>, nous imposons en sortie des branches filles une pression plus ou moins ´elev´ee afin de r´eduire le d´ebit dans la branche souhait´ee. Toutefois, ceci impacte la vitesse des globules rouges dans la branche m`ere, qui varie typiquement d’un facteur 2, alors que l’h´ematocrite de d´ebit reste constant durant l’acquisition des donn´ees (qui prend typiquement une heure).

Nous pr´esentons dans les deux sections suivantes une s´election des r´e- sultats de s´eparation de phase nous permettant d’illustrer les aspects de la s´eparation de phase que nous souhaitons aborder. Ces r´esultats sont organi-

110 CHAPITRE 5. BIFURCATIONS

s´es comme suit. Nous nous int´eressons d’abord aux bifurcations asym´etriques telles que W2= We et W1= W

e

2 , puis aux bifurcations sym´etriques. Pour les bifurcations asym´etriques, nous nous int´eressons, dans l’ordre suivant, `a l’influence, sur l’intensit´e de la s´eparation de phase :

— de l’angle entre les branches filles, — du confinement dans la branche m`ere.

L’influence de l’h´ematocrite dans la branche m`ere fera l’objet d’un traite- ment `a part, apr`es avoir pr´esent´e le mod`ele semi-empirique.

Ensuite, dans les bifurcations sym´etriques, nous nous int´eressons `a l’in- fluence sur la s´eparation de phase de :

— l’angle entre les branches filles, pour R = 0.5, R = 1 et R = 2, — la vitesse des globules rouges dans la branche m`ere, pour R = 1, — le confinement g´eom´etrique, `a h´ematocrite constant,

— l’influence de l’h´ematocrite pour R = 1.

De la mˆeme mani`ere que pour les bifurcations asym´etriques, nous traiterons l’influence de l’h´ematocrite pour R = 0.5 apr`es avoir introduit le mod`ele semi-empirique de s´eparation de phase.

Nos r´esultats seront g´en´eralement compar´es `a la loi de s´eparation de phase de Pries et al. (1989), obtenue en utilisant les param`etres A, B et X0

adapt´es aux globules rouges humains. Les valeurs de ces trois param`etres sont d´etermin´ees `a partir des expressions que nous donnons dans le Chapitre Introduction ( ´Equations (2.14) et (2.15), Section 5), et qui ne d´ependent que des dimensions des sections des branches et de l’h´ematocrite de d´ebit de la branche d’entr´ee. Sauf explicit´e autrement, nous n’ajustons jamais l’expression de cette loi `a nos donn´ees, mais superposons sa pr´ediction `a nos donn´ees exp´erimentales. Dans un souci de simplicit´e, la loi de s´eparation de phase de Pries et al. (1989) sera d´esign´ee dans la suite comme la loi de Pries. Ensuite, lorsque nous qualifierons cette loi d’ajust´ee, alors ses coefficients auront ´et´e d´etermin´es par un ajustement aux donn´ees au sens des moindres carr´es. Enfin, qualifi´ee de corrig´ee, les coefficients de la loi auront ´et´e d´etermin´es grˆace au mod`ele semi-empirique que nous avons d´evelopp´e.

Afin de quantifier la pr´ecision d’un mod`ele M pour d´ecrire nos points exp´erimentaux, nous d´efinissons un param`etre eM, tel que :

e_M= 1 N N X k=1 (FQexp_GR k− M(FQ exp sang_k))2 (5.3)

1.. S ´EPARATION DE PHASE : R ´ESULTATS EXP ´ERIMENTAUX 111

o`u N est le nombre de points exp´erimentaux, un point ayant comme coordonn´ees (FQexp_sang

k, FQ

exp

GRk) d´etermin´ees exp´erimentalement. Ensuite

M(FQexp_sang

k) est la fraction de d´ebit de globule rouge d´etermin´ee par

un mod`ele M de s´eparation de phase, ici la loi de Pries ou le mod`ele semi-empirique (MSE). Ainsi, plus eM est ´eloign´e de 0, moins bonne est la

comparaison entre la pr´ediction du mod`ele M et les donn´ees exp´erimentales. Nous introduisons aussi un param`etre, que nous appelons eI, qui quantifie

l’´ecart `a la droite identit´e, d´efini comme :

eI= 1 N N X k=1 (FQGRk− FQsangk) 2 _(5.4)

L’Annexe B r´epertorie les valeurs des param`etres eM et eI associ´es aux

cas exp´erimentaux ´etudi´es.

Enfin, parce que la loi de Pries utilise dans son expression l’h´ematocrite de d´ebit, nos r´esultats exp´erimentaux seront pr´esent´es dans ce chapitre en fonction de cette quantit´e, obtenue `a partir de ¯Ht en utilisant notre formu-

lation de l’effet F˚ahraeus (´Equation (4.46), chapitre pr´ec´edent, Section 3.2). Notons que convertir l’h´ematocrite de tube en h´ematocrite de d´ebit avec la loi de Pries et al. (1990) de l’effet F˚ahraeus ne modifie pas les r´esultats de s´eparation de phase.