Inversion de l’effet F˚ ahraeus due au confinement g´ eo-

Lorsque le profil de vitesse des globules rouges est plat (i.e. si B = 0), nous pouvons simplifier l’ ´Equation (4.46) sous la forme (voir aussi ´Equations (3.8)-(3.10) du Chapitre Mat´eriels et M´ethodes) :

HD= ¯ Ht ¯ H_t+1 − ¯Ht 2.0963 (4.48)

3.. D ´EBITS 103

Figure 4.13 – Agrandissement de la figure pr´ec´edente, pour mettre en ´evidence l’effet de l’aplatissement du profil de vitesse sur l’effet F˚ahraeus, pour le cas W = 20. Les points exp´erimentaux sont issus de Roman et al., (2016). Un ajustement au sens des moindres carr´es d’un polynˆome de degr´e deux aux donn´ees (non repr´esent´e sur la figure) donne une description des points R = 0.5 par une courbe de forme concave, quand cette courbe a une forme convexe pour le cas R = 1.

Cette ´equation est valable pour les confinements g´eom´etriques R = 1 et R = 2. Elle implique donc que l’intensit´e de l’effet F˚ahraeus est ind´ependante du confinement g´eom´etrique. Or, ceci est en contradiction avec l’inversion de l’effet F˚ahraeus observ´ee pour des canaux de diam`etres inf´erieurs `a 5 microns par Albrecht et al. (1979). Pour lever cette incoh´erence, nous nous appuyons sur une ´etude exp´erimentale r´ecente portant sur l’´ecoulement de cellules canc´ereuses du cancer du sein r´ealis´ee par Morley et al. (2017). Ces derniers montrent que, `a diam`etre de tube fix´e, plus une cellule est grosse, donc plus le confinement g´eom´etrique est important, plus sa vitesse maximale est inf´erieure `a celle du fluide suspendant. Si on note λVle rapport

entre la vitesse du fluide suspendant et celle de la cellule, soit dans notre cas V0FS/V0GR, alors l’expression (34) est obtenue dans le cas λV= 1. Pour

induire une d´ependance de l’effet F˚ahraeus au confinement g´eom´etrique, nous introduisons ce param`etre dans l’ ´Equation (4.48), ce qui donne :

HD= ¯ Ht ¯ H_t+ λ_V1 − ¯Ht 2.0963 (4.49)

Laisser le param`etre λV libre nous permet de minimiser l’´ecart (au

104 CHAPITRE 4. CANAUX DROITS

l’ ´Equation (4.49). Le r´esultat de cette minimisation fait que nos courbes et celles de Pries et al. (1990) sont quasiment superpos´ees pour λV ≈ 1.3

(voir Figure 4.14). Si de la mˆeme mani`ere nous introduisons le param`etre λV pour les deux autres confinements, il vient, pour R = 1, λV ≈ 1.17 et

pour R = 0.5, λV ≈ 1.11. Ces r´esultats sugg`erent donc que, en supposant

que λV soit ind´ependant de ¯Ht, plus le confinement g´eom´etrique est faible,

plus la vitesse maximale des globules rouges est proche de celle du fluide suspendant. Cette observation est en accord avec celle de Morley et al. (2017). De plus, cette ´evolution est en accord avec les r´esultats de Sugii et al. (2005) que nous avons report´es sur la Figure 2.6 du chapitre Introduction (voir Section 3.1.1 de ce chapitre pour l’explication) et qui montrent que dans un cylindre v´erifiant R = 0.1, on a λV≈ 1. Cette derni`ere ´etude

sugg`ere aussi que, `a ¯H_t fix´e, plus le confinement g´eom´etrique est faible, plus B est grand. Nos r´esultats sont coh´erents avec cette observation. Ainsi, prendre en compte l’existence d’une possible diff´erence de vitesse entre fluide suspendant et globules permettrait d’expliquer l’inversion de l’effet F˚ahraeus.

Figure 4.14 – Effet de la diff´erence entre la vitesse maximale des globules rouges et celle du fluide suspendant, sur l’intensit´e de l’effet F˚ahraeus.

4.. CONCLUSION 105

4.

Conclusion

Les r´esultats pr´esent´es dans ce chapitre ont ´et´e obtenus en adoptant une vision continue de l’´ecoulement sanguin dans des canaux droits en r´egime ´etabli. En particulier, nous avons propos´e une description semi-empirique des profils d’h´ematocrite, qui est fonction des dimensions de la section droite du canal et de la taille de la couche d’exclusion plasmatique, δ. Pour des confinements sup´erieurs `a 0.5, nous avons montr´e, que la d´ecroissance de ce param`etre avec l’h´ematocrite de tube moyen est d’autant plus rapide que le confinement g´eom´etrique est faible. Lorsque δ = 0, nous avons introduit la notion d’h´ematocrite non nul `a la paroi, H0 et avons inclus ce param`etre

dans la description des profils d’h´ematocrite, lorsque R = 0.5. Au moyen des expressions de ces param`etres, nous avons pu montrer que, pour tous les confinements, le profil d’h´ematocrite est de plus en plus plat `a mesure que l’h´ematocrite augmente. Par contre, pour un h´ematocrite fix´e, l’apla- tissement du profil, que nous avons appel´e BH, n’´evolue pas de mani`ere

monotone avec le confinement : en effet, quelque soit ¯H_t> 0.05, BH est

maximal pour le confinement interm´ediaire, R = 1 (voir Figure 4.8). Nous avons interpr´et´e ce r´esultat en terme de forme prise par le globule, du fait du confinement g´eom´etrique. Outre le profil d’h´ematocrite, nous nous sommes int´eress´es au profil de vitesse des globules rouges, et avons prolong´e l’´etude de Sophie Roman. En particulier, nous avons montr´e que, pour R = 0.5, le coefficient d’aplatissement du profil de vitesse des globules rouges n’´evolue pas de mani`ere monotone avec le confinement collectif. Enfin, nous avons montr´e que supposer que la vitesse maximale des globules rouges est plus faible que celle du fluide suspendant permet de retrouver l’inversion de l’effet F˚ahraeus observ´ee aux tr`es forts confinements g´eom´etriques.

D’une mani`ere g´en´erale, nos r´esultats sugg`erent que, un ´ecoulement san- guin, en r´egime ´etabli dans une section carr´ee, peut ˆetre compl`etement d´ecrit par la simple donn´ee de V0 et ¯Ht. L’effet F˚ahraeus, quant `a lui, peut ˆetre

d´etermin´e uniquement par la connaissance de ¯H_t, toujours en r´egime ´etabli et pour W connu. L’´Equation (4.46) confirme de plus que la forme du pro- fil de vitesse des globules rouges ainsi que la forme du profil d’h´ematocrite influencent l’effet F˚ahraeus.

En pratique, l’impl´ementation de la dual-slit s’en voit simplifi´ee : il n’est plus n´ecessaire de faire une mesure dans toute la largeur du canal. Alli´ee `a la mesure de ¯H_t, seule une mesure en son centre est n´ecessaire, pour d´eterminer V0.

Dans le chapitre suivant, nous complexifierons la g´eom´etrie dans laquelle nous ferons s’´ecouler les suspensions de globules rouges. Les g´eom´etries consi- d´er´ees seront des bifurcations divergentes. Ce type de g´eom´etrie permet d’ores et d´ej`a de proposer une validation, dans l’esprit de celle r´ealis´ee dans Roman et al. (2016), pour cette simplification pratique. A cette fin, nous

106 CHAPITRE 4. CANAUX DROITS

quantifions l’´ecart `a la conservation du d´ebit de globules rouges, EGR_CM, d´efini comme : EGR_CM= |1 − Q 1 GR+ Q2GR Qe GR | (4.50)

ainsi que l’´ecart `a la conservation du d´ebit de sang, d´efini comme Esang_CM :

Esang_CM = |1 − Q 1 sang+ Q2sang Qe sang | (4.51) Nous obtenons EGR CM= 0.0962 ± 0.0665 et E sang CM = 0.0968 ± 0.0847. Bien

qu’ayant une distribution large autour de la valeur moyenne d’´ecart `a la conservation des d´ebits, dans les deux cas, cette valeur moyenne est suffisam- ment faible pour nous permettre d’affirmer que nous disposons d’un autre crit`ere pour valider les descriptions semi-empirique de nos profils d’h´emato- crite et de vitesse des globules rouges, mais aussi d’affirmer que les mesures seules de V0 et ¯Ht sont suffisantes pour d´eterminer les d´ebits de sang et de

globules rouges, sans accroˆıtre les erreurs de mesures r´ealis´ees en utilisant la dual-slit “usuelle” (Roman et al., 2016).

Dans de telles g´eom´etries, nous chercherons `a y comprendre la structu- ration de l’´ecoulement, i.e. la distribution des d´ebits dans les branches filles de la bifurcation. En particulier, nous nous servirons de la param´etrisation semi-empirique des profils de vitesse des globules rouges et d’h´ematocrite pour expliquer, au moins en partie, la physique du ph´enom`ene de s´epara- tion de phase.

Chapitre 5

S´eparation de phase

Dans ce chapitre nous pr´esentons les r´esultats exp´erimentaux obtenus concernant le ph´enom`ene de s´eparation de phase. Pour toutes ces exp´e- riences, nous sommes en r´egime ´etabli dans la branche m`ere, c’est-`a-dire que le profil d’h´ematocrite y est converg´e et n’y varie pas le long de (Oz), ce qui peut se v´erifier par deux mesures distantes de quelques centaines de microns. Apr`es avoir explicit´e la m´ethode d’obtention des donn´ees, nos r´e- sultats sont expos´es pour des bifurcations asym´etriques puis sym´etriques et compar´es `a la loi de Pries et al. (1989). En nous basant sur les r´esultats du chapitre pr´ec´edent, nous pr´esentons en Section 2 un mod`ele de s´eparation de phase, semi-empirique, bas´e sur une vision continue des ´ecoulements san- guins, en utilisant le concept de ligne s´eparatrice de fluide, et discutons de sa capacit´e `a reproduire nos r´esultats pour le confinement g´eom´etrique le plus faible, mais aussi, de mani`ere plus surprenante, pour le confinement le plus important. Enfin, nous appliquons ce mod`ele `a des donn´ees issues de la litt´erature, ce qui met en lumi`ere certaines limites de la loi de s´eparation de phase de Pries et al. (1989), en particulier lorsque le profil d’h´emato- crite n’est pas ´etabli dans la branche m`ere. Notons que, contrairement `a ces derniers, qui pr´esentent des donn´ees de s´eparations de phase corrig´ees pour tenir compte des ´ecarts apparents `a la conservation de la masse, inh´erents aux mesures exp´erimentales, les donn´ees que nous fournissons sont brutes, i.e. ne pr´esentent aucune forme de correction, ainsi que nous l’avons fait dans Roman et al. (2016).

1.

S´eparation de phase : r´esultats exp´erimentaux

Parmi toutes les exp´erimentations de s´eparation de phase que nous avons conduites, nous r´esumons dans la table fournie en Annexe B, 23 exp´erimen- tations exploitables, obtenues pour des bifurcations sym´etriques. Nous qua- lifions une exp´erimentation d’exploitable si, pour chaque branche fille, nous avons pu balayer au moins quatre valeurs du d´ebit fractionnaire de sang

108 CHAPITRE 5. BIFURCATIONS

total pendant la dur´ee de l’exp´erience.

Parmi les difficult´es exp´erimentales nous ayant empˆech´e de r´ealiser des exp´erimentations exploitables, citons les deux plus fr´equentes. La premi`ere est le bouchage d’un des trois canaux par une impuret´e ou des globules rouges ayant adh´er´e aux parois. Ces ´ev´enements sont caract´eristiques des exp´erimentations dans les bifurcations comportant au moins une branche `a R = 2, plus rarement `a R = 1. La deuxi`eme difficult´e est la fuite, qui ´emerge au niveau du canal d’alimentation. Cette fuite est due, le plus souvent, `a la manipulation faite au moment de relier, au moyen de la tubulure, le r´eservoir externe `a la puce micro-fluidique. Mal r´ealis´ee, cette manipulation conduit au d´ecollement du pav´e de PDMS de la lamelle de verre, et touche indiff´eremment toutes les bifurcations.

Ci-dessous, nous d´ecrivons la m´ethode que nous employons pour d´eduire les d´ebits fractionnaires de sang total et de globules rouges de nos donn´ees exp´erimentales.