Les distributions polynomiales de Wigner-Ville

t^′

,

f^′

ψ(t−t^′, f−f^′)W Vs(t^′, f^′)dt^′df^′ (II.48) La m´ethode de r´eallocation r´e-agence dans le plan temps-fr´equence les valeurs calcul´ees par la repr´esentation temps-fr´equence initiale et si deux valeurs sont calcul´ees au mˆeme endroit, elles sont somm´ees.

Le r´esultat de cette m´ethode est appliqu´e `a la distribution pseudo Wigner-Ville liss´ee d´ecrite dans la section pr´ec´edente<sup>16</sup>. Pour le signal simul´e dans une configuration clas-sique, la repr´esentation (Figure II.20) souligne la facilit´e d’interpr´etation qu’elle apporte par rapport `a la repr´esentation initiale (Figure II.19(b)). Non seulement les termes

d’in-0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

temps (en s)

fr´equence(Hz)

Repr´esentation temps-fr´equence d’un signal simul´e par r´eallocation

Fig.II.20 – Repr´esentation pseudo-Wigner-Ville liss´e par la m´ethode de r´eallocation pour le signal simul´e

terf´erences ont disparu mais la r´esolution est fortement am´elior´ee. Cette repr´esentation laisse esp´erer une bonne estimation de la fr´equence instantan´ee.

II.5.3.4 Les distributions polynomiales de Wigner-Ville

Comparativement `a l’analyse faite pour l’estimation de la fr´equence instantan´ee pour une modulation lin´eaire de la fr´equence dans la section II.5.3.2, Barkat et Boashash montrent qu’il existe des distributions temps-fr´equence plus adapt´ees `a des signaux `a phase polynomiale [Barkat sept. 1999(2)]. L’expression d’une phase polynomiale de degr´e p est d´ecrite par : φ(t) = .p

0a_itⁱ, a_i ∈ R. Ces distributions sont regroup´ees dans une classe appel´ee classe des distributions polynomiales de Wigner-Ville (PWV). Comme la distribution de Wigner-Ville (qui appartient `a cette famille), elles peuvent ˆetre consid´er´ees comme la transform´ee de Fourier d’un noyau K<sub>s,q</sub>(t,τ), o`u K_s,q suit une formulation

16Nous noterons cette repr´esentationSP W V^∗par la suite.

g´en´erale [Boashash 1994] : K_s,q =

q/2

3

k=0

s(t+c_kτ)^bks^∗(t+c_−kτ)^−b−k,b_k, q ∈N etc_k∈R (II.49) Ainsi, la distribution polynomiale de Wigner-VilleP W V_s,q(t, f) peut se d´ecrire avec :

P W V_s,q(t, f) = ,

τ

K_s,q(t,τ)e^−2πτdτ (II.50) L’estimateur de fr´equence instantan´ee utilis´e pour la distribution Polynomiale de Wigner-Ville est de la forme :

f˜_instq(t,τ) = 1 2πτ

q/2

/

k=−q/2

b_kφ(t−c_kτ) (II.51) L’indice q d´enote l’ordre de la polynomiale de Wigner-Ville : Les PWV d’ordre q sont adapt´ees pour des signaux `a phase polynomiale d’ordrep≤q. Si la phase (ou la fr´equence instantan´ee) d’une composante φ_bi(t) du signal re¸cu ne s’exprime pas sous la forme d’un polynˆome, elle peut ´eventuellement s’en rapprocher sur une portion du signal. Cette

´eventualit´e doit nous permettre d’estimer la fr´equence instantan´ee sur cette portion.

Nous choisissons de tester l’efficacit´e des PWV sur nos signaux pour deux exemples, d’ordres 4 (P W V_s,4) et 6 (P W V_s,6). L’implantation des fonctions K_s,q implique des exi-gences sur les coefficients b_k et c_k [Boashash 1994]. De mˆeme, les valeurs non syst´ema-tiquement enti`eres des c_k n´ecessitent des interpolations du signal initial (ou un signal

´echantillonn´e tr`es finement). Voici les deux exemples de noyaux d’ordre 4 et 6 propos´es par Barkat et Boashash [Barkat sept. 1999(1)] que nous allons utiliser :

K_s,4(t,τ) = (

s(t+ 0.675τ)s^∗(t−0.675τ))2

s(t+ 0.85τ)s^∗(t−0.85τ) (II.52) K_s,6(t,τ) = s(t+ 0.62τ)s^∗(t−0.62τ)s(t+ 0.75τ)s^∗(t−0.75τ)s(t+ 0.87τ)s^∗(t−0.87τ) (II.53) Par la suite, pour simplifier les notations, nous noterons ces repr´esentations, PWV4 et PWV6. En fait, il est pr´ef´erable de calculer la transform´ee de Fourier d’une version dilat´ee du noyau avec un facteur d’´echelle judicieusement choisi pour implanter ces fonctions plutˆot qu’une interpolation trop importante du signal [Boashash 1994]. Par exemple pour implanter la PWV dont le noyau est donn´e par l’expression (II.52), le signal est interpol´e par un facteur 5 et c’est une version dilat´ee du noyau d’un facteur d’´echelle de 0.85 (τ^′ = 0.85τ) qui est utilis´e pour la transform´ee de Fourier. Par cons´equent, le spectre obtenu est une version compress´ee en fr´equence :

P W V_s,4(t, f) =T F_τ′→_0.85^f

4(s(t+ 0.794τ^′)s^∗(t−0.794τ^′))²s(t+ 1.0τ^′)s^∗(t−1.0τ^′)5 (II.54) De la mˆeme fa¸con, pour implanter la PWV d’ordre 6, le signal est interpol´e d’un facteur 4 et le noyau est dilat´e d’un facteur d’´echelle de 0.5.

Pour illustrer les qualit´es des polynomiales de Wigner-Ville dans le cas de fr´equence instantan´ee suivant une loi polynomiale, nous avons synth´etis´e un signal dont l’expression de la fr´equence est la suivante : f_inst(t) = −0.38t² + 0.15t+ 0.38. Les repr´esentations de ce signal `a partir de la distribution de Wigner-Ville et des deux polynomiales de Wigner-Ville que nous venons de d´ecrire apparaissent sur les Figures II.21(a), II.21(b) et II.21(c). Ces repr´esentations mettent clairement en ´evidence l’int´erˆet d’une PWV dans

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

100 200 300 400 500 600 700 800 900

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Polynomiale de Wigner-Ville d’ordre 4

(b) Polynomiale de Wigner-Ville

Polynomiale de Wigner-Ville d’ordre 6

(c) Polynomiale de Wigner-Ville d’ordre 6

Fig. II.21 – Repr´esentation de Polynomiales de Wigner-Ville pour le signal dont la fr´e-quence instantan´ee suit une loi polynomiale

le cas de fr´equence instantan´ee de loi polynomiale. Les interf´erences pr´esentes sur la simple repr´esentation de Wigner-Ville ont disparu ou sont fortement att´enu´ees sur les deux autres.

Dans notre probl`eme, les lois des fr´equences instantan´ees ne suivent pas un polynˆome.

Les Figures II.22(a) et II.22(b) illustrent les repr´esentations obtenues pour notre exemple de signal simul´e et pour les deux PWV choisies. Les deux figures d´evoilent de fa¸con beaucoup plus diffuse les courbes de fr´equences instantan´ees attendues. La repr´esentation

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0 100 200 300 400 500

temps (en s)

fr´equence(Hz)

Polynomiale de Wigner-Ville d’ordre 4 du signal simul´e

(a) Polynomiale de Wigner-Ville d’ordre 4

0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0 100 200 300 400 500

temps (en s)

fr´equence(Hz)

Polynomiale de Wigner-Ville d’ordre 6 du signal simul´e

(b) Polynomiale de Wigner-Ville d’ordre 6

Fig.II.22 – Repr´esentation de Polynomiales de Wigner-Ville pour le signal simul´e

semble plus bruit´ee que dans le cas de la distribution de Wigner-Ville. Ceci sugg`ere que l’utilisation d’une polynomiale de Wigner-Ville pour extraire des informations de fr´equence instantan´ee est probablement moins favorable que la distribution de Wigner-Ville.