2.3 Effet de la modulation en ´ emission de champ
2.3.2 Emission d’une population r´ eelle non uniforme
2.3.2.2 Effet de la distribution de g´ eom´ etrie sur la modulation
On s’int´eresse d´esormais `a l’effet de la dispersion en hauteur sur la modulation du courant ´emis par une cathode enti`ere. Dans un premier temps, nous observons quali- tativement le comportement en modulation d’une cathode `a population non uniforme d’´emetteurs, avant d’en proposer une mod´elisation plus formalis´ee.
Simulation de la modulation d’une cathode non uniforme
Le rayon d’´electrode dans ce paragraphe est fix´e `a 5 µm. Nous consid´erons les distri- butions h0=2, 5 et 15 µm pour σ/h0=0, 10 et 20%. Plusieurs hauteurs moyennes sont
consid´er´ees afin d’´etudier si l’effet de la dispersion varie selon la valeur de ˜h (comme le laisse supposer la courbe de Γ(˜h)). La figure 2.22 illustre ainsi les courbes I-V mo- dul´ees pour ces types de distributions. Les distributions uniformes (σ/h0 = 0, courbes
continues) servent de r´ef´erence. Les courbes I-V `a Vbias=0V sont en noir, et les courbes
avec polarisation Vbias=±40V sont respectivement en rouge et bleu pour les polarit´es
n´egatives et positives. La distribution de hauteur de la population des ´emetteurs modifie la modulation de l’´emission de mani`ere significative, `a la fois selon h0 et selon σ.
Tout d’abord, on se concentre sur les courbes de r´ef´erence (trait continu), pour lesquelles le facteur d’amplification de la cathode βcath est le mˆeme que celui de son ´emetteur
moyen βCN T0. On v´erifie que le d´ecalage des courbes avec la polarisation est plus fort pour les h0 faibles, comme pr´evu par le mod`ele ´electrostatique et la courbe de Γ(˜h)
(Figure2.11) : `a R fix´e, les nanotubes les plus courts sont les plus modul´es.
Analysons maintenant la modulation `a une mˆeme hauteur moyenne pour diff´erents ´
ecart-types relatifs σ/h0. Ind´ependamment de la polarisation, plus la dispersion est
grande, plus le courant total de la cathode est important `a un champ donn´e (courbe mixte>pointill´es>continue). Cette augmentation du courant avec la dispersion s’ex- plique simplement en s’appuyant sur les r´esultats pr´ec´edents. Nous avons montr´e que la majorit´e du courant (`a un champ fixe) ´etait due aux plus grands nanotubes (Fi- gure 2.19). C’est encore le cas ici avec la polarisation. Le facteur d’amplification de la cathode βcath s’´eloigne du cas id´eal βCN T0 de l’´emetteur moyen pour tendre vers (ou d´epasser) le facteur d’amplification de la famille la plus ´emettrice βCN Tmax. Mˆeme sous
Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 66
Figure 2.22: Influence de la distribution en hauteur sur la modulation de l’´emission pour trois hauteurs moyennes 2, 5 et 15 µm : uniforme (courbe continue), σ/h0=10%
(pointill´es), σ/h0=20% (courbe mixte). La modulation se fait en appliquant Vbias=-40V
(rouge), 0V (noir) et 40V (bleu).
la polarisation, la dispersion se traduit par l’augmentation de la hauteur des ´emetteurs effectifs donc du βcath g´eom´etrique. Ce comportement est mis en ´evidence Figure 2.23
en tra¸cant le champ de fonctionnement `a 1 mA en fonction de la dispersion relative des cathodes. Quelle que soit la polarisation et la distribution de hauteur, le champ de fonctionnement est toujours d´ecroissant avec la dispersion, donc le courant ´emis `a un champ donn´e augmente toujours avec la dispersion.
De plus, la hauteur moyenne des ´emetteurs semblent avoir un fort impact sur la mo- dulation selon le r´egime de polarisation (Figure 2.23). En particulier, en amplification, contrairement au comportement classique de l’effet de pointe o`u l’amplification est plus forte pour les grands nanotubes, on observe ici un champ de fonctionnement pour ˜h0 1
sup´erieur `a celui pour ˜h0 ≤ 1 quelle que soit la dispersion. Pour ˜h0=1, il devient sup´erieur
`
a celui de ˜h0=0,4 pour une dispersion sup´erieure `a 20%, ce qui confirme une fois de plus
que la dispersion est assimilable `a une augmentation de la hauteur des ´emetteurs ef- fectifs. Pourtant, ce comportement est coh´erent avec le mod`ele de modulation de Γ. Pour illustrer l’impact de la dispersion sur la modulation, on trace le d´ecalage de champ
Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 67
Figure 2.23: Champ de fonctionnement `a 1 mA selon la dispersion relative de hauteur, pour les polarisations a) Vbias=-40V, b) 0V et c) +40V, et pour diff´erentes hauteurs
moyennes h0.
`
a 1 mA par rapport au champ de fonctionnement nominal `a 1 mA en fonction de la polarisation (Figure 2.24).
Figure 2.24: D´ecalage du champ de fonctionnement `a 1mA par rapport au champ nominal (Vbias=0V) en fonction de la polarisation pour diff´erentes populations.
Les courbes obtenues sont regroup´ees par faisceau pour chacune des hauteurs moyennes. Trois constats s’imposent, tous explicables par l’´evolution de la courbe de Γ(˜h) :
1. Les faisceaux de courbes des plus petits nanotubes ont une pente plus impor- tante que les grands, indiquant une plus grande modulation. Ceci est dˆu `a l’allure croissante de Γ avec h `a R fix´e : plus Γ est petit, plus la modulation est grande. 2. Au sein d’un mˆeme faisceau, la dispersion la plus grande (carr´es) a la pente la plus
faible, indiquant une plus faible modulation par rapport `a la r´ef´erence (cercles). Ceci est dˆu au fait que la dispersion peut se traduire par une augmentation de la hauteur moyenne effective. On se rapporte donc au constat pr´ec´edent.
3. La dispersion a peu d’effet sur les petits nanotubes ˜h0 1. Ce dernier constat
s’explique par le plateau de la courbe de Γ pour ˜h0 1. Ainsi, dans cette zone,
la dispersion de hauteur ne se traduit pas par une variation de Γ, donc tous les nanotubes sont modul´es de la mˆeme mani`ere.
Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 68
En r´esum´e, la modulation de l’´emission d’une cathode enti`ere non uniforme est soumise `
a deux ph´enom`enes en comp´etition :
– d’une part, la modulation des plus gros ´emetteurs est r´eduite, donc pour une polarisation `a un champ donn´e, ils ont toujours tendance `a augmenter le courant par rapport au cas de r´ef´erence d’une population uniforme ;
– d’autre part, mˆeme si l’effet de la modulation est faible sur ces grands ´emetteurs, la variation engendr´ee sur le fort courant ´emis reste significative, d’o`u l’existence de modulation.
La dispersion ayant tendance `a augmenter le βcathet donc `a diminuer le champ de fonc-
tionnement, elle reste efficace en amplification malgr´e une modulation plus faible. Au contraire, en ´ecrantage, il faut diminuer le champ des plus forts ´emetteurs qui malheu- reusement sont les moins sensibles `a la modulation ´electrostatique. La dispersion est donc d´efavorable en r´egime d’´ecrantage.
Mod`ele math´ematique du facteur d’amplification effectif
Toutes ces remarques se basent sur des appr´eciations qualitatives des courbes trac´ees. Nous proposons ici d’aller plus loin dans le raisonnement, et d’essayer de trouver une explication plus g´en´erale et quantitative des comportements observ´es. Pour cela, nous ´
etudions l’´evolution du facteur d’amplification effectif βef f d’un nanotube quelconque de longueur h = h0(1 + δ) dans une population de hauteur moyenne h0, d´efini comme
βef f = Eapex/Emacro= β0F (δ) (2.32)
avec β0 le facteur d’amplification g´eom´etrique de l’´emetteur moyen, et F (δ) qui s’´ecrit
d’apr`es l’´equation (2.24) comme
F (δ) = (1 + δ) " 1 − 1 Γ ˜ h0(1 + δ) Vbias REmacro # (2.33)
A la diff´erence du facteur d’amplification g´eom´etrique classique, βef f prend en compte
l’impact de la polarisation sur l’amplification (ou la diminution) du champ d’apex. On souhaite ´ecrire la distribution des F (δ) d’apr`es la fonction de distribution de la hauteur des nanotubes. La fonction F ´etant bijective autour de 0, il est possible de faire un d´eveloppement limit´e en 0 :
F (δ) = F (0) + δdF
dδ|δ=0 (2.34)
Supposons une distribution gaussienne des hauteurs des tubes G(h0, σ). La loi normale
est stable par lin´earit´e donc la variable δ suit la loi normale G(0, σ/h0). Finalement,
Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 69
F (δ) s’´elargit avec F0(0), qui s’´ecrit, dans le cas d’une g´eom´etrie circulaire, comme dF dδ|δ=0= F 0 (0) = 1 − Vbias REmacro 1 Γ3( ˜h 0) (2.35)
Par suite, la distribution des βef f s’´elargit en r´egime d’amplification (Vbias < 0) et
elle s’affine en r´egime d’´ecrantage (puisque Γ ≥ 1 et Vbias
REmacroΓ ≤ 1 par d´efinition du Vbias,Of f).
On ´etudie les d´ecalages en champ d’une cathode enti`ere `a un courant donn´e, c’est-`a- dire `a un champ d’apex donn´e. Pour comparer l’effet de la dispersion de taille sur la modulation selon le r´egime de fonctionnement (amplification ou ´ecrantage), on raisonne donc `a champ d’extraction effectif constant. Il s’agira donc d’adapter le champ ext´erieur Emacro et la tension de polarisation Vbias pour obtenir le champ d’extraction souhait´e.
Eextract(˜h) = Emacro−
Vbias
RΓ(˜h) = cste (2.36)
Imposer un champ d’extraction constant implique de choisir le type d’´emetteur h1 qui
verra un champ constant quel que soit le r´egime de polarisation, alors que les autres verront des variations. En appelant E0 le champ d’extraction de l’´emetteur moyen de
hauteur h0, on peut ´ecrire le champ d’extraction d’un ´emetteur quelconque h1= h0(1 +
δ1) comme
E1= Eextract( ˜h1) = E0(1 + δ1) (2.37)
Pour repr´esenter au mieux la cathode, on pourrait ˆetre tent´e de prendre h1= hmax (la
famille qui contribue le plus au courant total) mais ce choix n’est pas forc´ement pertinent d’apr`es les remarques pr´ec´edentes sur la hauteur ´equivalente `a une cathode uniforme. Pour l’´etude qui nous int´eresse, le choix particulier de h1 n’a pas d’importance.
On d´efinit le potentiel de r´ef´erence constant (correspondant `a E1) comme V1= Γ(˜h1)RE1
et on pose vb= Vbias/V1. Le champ ext´erieur s’´ecrit alors
Emacro= E1(1 + vb) (2.38)
Cette d´efinition du vb permet de reconnaˆıtre les trois r´egimes de fonctionnement :
– si vb= 0 : l’´emission se fait dans le r´egime standard sans polarisation, Vbias = 0V ;
– si 0 < vb : l’´emission se fait en r´egime d’´ecrantage, Emacro> E0 et donc Vbias> 0 ;
– si -1< vb <04 : l’´emission se fait en r´egime d’amplification, Emacro < E0 et donc
Vbias < 0
4. On remarquera que le cas vb = −1 correspond au cas limite o`u le champ appliqu´e Emacro est
nul. Le champ d’apex est donc uniquement dˆu `a la polarisationVbias. A l’inverse, il n’y a pas de limite
sup´erieure de vbpuisque le champ d’extraction effectif est diff´erent de 0. La polarisation Vbiasn’atteindra
Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 70
On peut r´e´ecrire Eq. (2.35) comme Eq. (2.39) et F(0) comme Eq. (2.40).
F0(0) = 1 − Γ( ˜h1) Γ( ˜h0)3 vb 1 + vb (2.39) F (0) = 1 − Γ( ˜h1) Γ( ˜h0) vb 1 + vb (2.40) On peut maintenant tracer la distribution des F (δ)5 pour diff´erents r´egimes de fonc- tionnement vb (Figure2.25). Les distributions de F simul´ees se superposent au mod`ele
Figure 2.25: Distribution de F selon le r´egime de fonctionnement, en d´efinissant vb
avec h1 = h0. Les nombres dans les gaussiennes indiquent leur centre, identique pour
les courbes simul´ees (ronds) et analytiques (trait continu).
analytique propos´e dans les trois r´egimes de polarisation, c’est-`a-dire `a une gaussienne de centre F (0) et d’´ecart type F0(0)σh0 (quel que soit h1 choisi). Les distributions
mettent en ´evidence la diff´erence d’homog´en´eit´e de la modulation sur une cathode `a population non uniforme selon la polarisation. En r´egime nominal vb = 0, la dispersion
du facteur d’amplification correspond `a la dispersion g´eom´etrique des ´emetteurs. En ´
ecrantage (vb > 0), la distribution du facteur d’amplification effectif est l´eg`erement plus
´
etroite qu’en r´egime nominal, alors qu’elle est tr`es ´elargie en amplification (vb < 0).
En terme de modulation uniquement, la dispersion a donc plus de cons´equences en r´egime d’amplification, pour lequel elle marginalise la modulation. En comparaison , le r´egime d’´ecrantage tend `a associer le mˆeme facteur d’amplification effectif `a tous les ´
emetteurs quelle que soit leur hauteur, et il permet donc de tendre vers la modulation d’une cathode uniforme. Cependant, il faut garder en m´emoire qu’en terme de champ de fonctionnement, la dispersion est moins favorable en ´ecrantage qu’en amplification. De plus, on remarquera que F0(0) d´epend de la hauteur moyenne r´eduite ˜h0 (Figure
2.26).. Plus pr´ecis´ement, la distribution de F des grands nanotubes ˜h0 ≥ 1 a une lar-
geur environ constante quel que soit le r´egime de fonctionnement. Concernant les petits nanotubes ˜h0 1, la largeur de la distribution de F est peu affect´ee par la force du
r´egime d’´ecrantage, durant lequel elle ne diminue que l´eg`erement. En revanche, la dis- tribution s’´elargit tr`es fortement avec la force du r´egime d’amplification (divergence en
Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 71
Figure 2.26: Evolution de F0(0) selon vb, pour plusieurs ˜h0.
vb = −1). Pour avoir une distribution plus resserr´ee des F quel que soit le mode de
fonctionnement, il serait donc pr´ef´erable de travailler avec de grands nanotubes. Finalement, le r´egime d’´ecrantage semble uniformiser l’effet de pointe des ´emetteurs alors que le r´egime d’amplification augmente les in´egalit´es de contribution en courant selon les familles de nanotubes. La distribution en taille des ´emetteurs devraient donc ˆetre moins critique sur l’effet de modulation en ´ecrantage qu’en amplification. Cependant, en moyenne, la dispersion g´eom´etrique augmente le ph´enom`ene d’amplification relati- vement plus que l’´ecrantage. Ces deux comportements entrent donc en comp´etition, et il est difficile de conclure sur un r´egime plus favorable que l’autre `a partir de la seule distribution de F . On s’int´eresse alors au courant de la cathode G(5µm, 0.5µm).
Figure 2.27: a) Distribution du courant et b) courant cumul´e d’une population gaussienne de nanotubes G(5µm, 0.5µm) selon le r´egime de fonctionnement : vb=-0.5
(rouge), vb=0 (noir) et vb=0.5 (bleu). En vert sont trac´ees la distribution de hauteur
des nanotubes a) et la longueur du dernier nanotube ´emetteur dans le courant cumul´e b).
Afin de voir l’effet du r´egime de modulation, on impose toujours un champ d’apex constant sur la famille de plus grande contribution au courant hmax=5.6µm (on v´erifie
que les courbes de courant se croisent en hmax Figure 2.27.a). La distribution des
courants par famille de nanotubes confirme le d´ecalage du facteur d’amplification g´eom´etrique de la cathode vers les plus grands nanotubes quel que soit le r´egime de fonctionnement. D’autre part, l’approche par courant cumul´e (Figure2.27.b) permet de
Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 72
comprendre le plus faible impact de la distribution sur la modulation en amplification qu’en ´ecrantage (Figure2.23). En effet, le courant cumul´e sur une population dispers´ee de nanotubes, en r´egime d’amplification, se rapproche de la droite d’une population de nanotubes identiques. Le comportement global de la cathode dispers´ee en amplification se rapproche donc du comportement d’une cathode `a population unique.
En conclusion, l’effet de la distribution de hauteur sur la modulation s’apparente `a celui sur l’´emission standard sans polarisation. A courant fix´e, on observe un ´ecart n´egligeable entre l’impact de la distribution sur la modulation selon le r´egime de fonctionnement (´ecrantage, standard, amplification). Au premier ordre, il suffira donc de corriger le facteur d’amplification `a 0V des courbes exp´erimentales des cathodes r´eelles pour les comparer `a la th´eorie.