Effet de la distribution de g´ eom´ etrie sur le courant d’´ emission

Pour chacune des populations de nanotubes ´etudi´ees, on s’int´eresse `a l’effet de la distri- bution en longueur sur le courant sous un champ appliqu´e de 15 V/µm. La figure 2.18

pr´esente trois courbes : le nombre de nanotubes appartenant `a une famille d´efinie par sa longueur (vert), le courant ´emis par un unique nanotube en fonction de sa longueur (bleu clair), et le courant ´emis par chaque famille de nanotubes qui r´esulte du produit du courant ´emis par un nanotube de longueur h par le nombre de nanotubes de longueur h dans la population (bleu fonc´e=bleu clair×vert).

Comme attendu `a rayon d’apex constant, le courant ´emis par un nanotube augmente avec sa hauteur (bleu clair). Pour une population quasi-uniforme (σ=0.005µm), le cou- rant est quasi-identique pour chaque individu. Plus la dispersion sur les hauteurs aug- mente, plus l’´ecart entre les plus petits nanotubes et les plus grands devient significatif. On tient compte maintenant du nombre de nanotubes dans chaque famille. Pour une population quasi-uniforme, chaque famille de la population contribue au courant de la cathode proportionnellement `a son nombre d’individus (la courbe de distribution de courant se superpose `a la courbe de distribution de hauteur). En revanche, pour une population tr`es dispers´ee, on observe un d´ecalage de la courbe de distribution des cou- rants par rapport `a la distribution des hauteurs vers les plus grandes longueurs. Ainsi, les familles de plus grandes longueurs contribuent majoritairement au courant, quand bien mˆeme leur nombre d’individus est faible.

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 63

Figure 2.18: Distribution du courant ´emis par chaque famille de nanotubes en fonction de sa longueur (bleu fonc´e), d´efinie comme le produit du nombre de nanotubes `a cette longueur dans la population (vert) et du courant ´emis par un nanotube en fonction de

sa longueur (bleu clair).

On peut rapporter cette contribution de courant par famille au courant total de la cathode. On trace alors la courbe de courant cumul´e ´emis par les nanotubes rang´es par longueur croissante (Figure 2.19).

Figure 2.19: Courant cumul´e ´emis par les nanotubes rang´es par longueur croissante pour h0= 5µm et σ = 0.005µm, 0.5µm et 1µm.

Pour une population quasi-uniforme, la courbe de courant cumul´e est lin´eaire avec le nombre de tubes qui ´emettent. Autrement dit, tous les nanotubes ´emettent la mˆeme quantit´e de courant, en accord avec la figure2.18(bleu clair). Pour une population plus dispers´ee (σ=0.5 et 1 µm), la courbe de courant cumul´e montre que ce sont les nanotubes les plus grands qui participent `a la majorit´e du courant. En particulier, 80% du courant est ´emis par les 27% et 11% plus grands nanotubes de la population, pour σ/h0=10%

et 20% respectivement3. Autrement dit, pour une cathode classique d’´ecart-type 10%, seulement le quart des ´emetteurs sont responsables de 80% du courant total.

Finalement, la distribution de hauteur des nanotubes d’une cathode a pour effet d’aug- menter le facteur d’amplification g´eom´etrique de la cathode par rapport au facteur de

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 64

l’´emetteur moyen. Pour une certaine gamme de courant (par exemple de 100 µA `a 1 mA), on peut repr´esenter une cathode `a population gaussienne de hauteur par une cathode ´

equivalente `a population uniforme (Figure 2.20).

Figure 2.20: Population uniforme d’´emetteurs ´equivalente `a une distribution gaus- sienne de hauteur moyenne 5 µm et d’´ecart-type relatif 5, 10 et 20%.

Pour une hauteur moyenne de 5 µm, une cathode d’une faible dispersion de 5% est environ ´equivalente `a une cathode uniforme dont la hauteur a ´et´e augment´ee de 3σ soit 15%. Pour une dispersion de 10%, la hauteur moyenne de la cathode uniforme ´

equivalente augmente de 6σ soit 60% et elle augmente de 18σ soit 450% pour une dispersion relative de 20%. Ainsi, une petite augmentation de la dispersion se traduit par une forte augmentation de la hauteur des ´emetteurs effectifs. Plus pr´ecis´ement, on observe une augmentation exponentielle de la hauteur ´equivalente heqavec la dispersion,

d’autant plus forte que la hauteur moyenne initiale h0 est grande (Figure2.21).

Figure 2.21: Evolution exponentielle de la hauteur ´equivalente avec la dispersion pour plusieurs h0.

On aurait eu envie d’identifier cette nouvelle hauteur caract´eristique heq `a la hauteur

de la famille qui contribue le plus au courant (voir les courbes bleu clair Figure 2.18). Cependant, cette hypoth`ese est fausse dans le cas des fortes dispersions (puisque la hauteur ´equivalente de 23 µm n’appartient pas `a la population initiale de la cathode), et elle reste non pertinente pour les faibles dispersions. On ne peut donc pas ´etablir de r`egle quantitative g´en´erale sur la hauteur moyenne ´equivalente d’une cathode non uniforme.

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 65

On peut tout de mˆeme conclure en soulignant que la dispersion de hauteur marginalise l’´emission au profit des quelques plus grands nanotubes, dont le facteur d’amplification est plus ´elev´e que les nombreux autres ´emetteurs plus petits. Or, on rappelle que les simulations pr´ec´edentes ne prennent pas en compte le courant maximal que peut d´elivrer un nanotube. En pratique, la dispersion est donc fortement d´efavorable en terme de robustesse (dur´ee de vie) de la cathode. En effet, les plus grands nanotubes sont plus sollicit´es que les petits en d´elivrant la majeure partie du courant total demand´e. Ils atteindront donc rapidement leur courant de destruction. Le cas id´eal serait d’avoir une population de g´eom´etrie unique pour r´epartir ´equitablement la contribution en courant sur tous les nanotubes.