Cas de l’isolation volumique ou structure de grille enterr´ ee

On s’int´eresse d’abord au cas d’une isolation purement volumique pour une g´eom´etrie d’´electrode en bande. L’´epaisseur e de la couche isolante est vari´ee telle que 0, 1 ≤ e/R ≤ 10, et sa permittivit´e di´electrique εrprend les valeurs 1, 4, 8 repr´esentatives

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 73

Figure 2.29: a) Influence de l’´epaisseur e de l’isolant et de sa permittivit´e di´electrique ε sur le facteur de modulation Γ. b) Facteur de modulation Γ en fonction du rapport

´

equivalent hauteur sur rayon d’´electrode pour tenir compte de l’´epaisseur d’isolant.

La Figure 2.29.a illustre la modification du facteur de modulation Γ avec l’isolant, par rapport au cas th´eorique de r´ef´erence sans ´epaisseur (courbe noire). Elle fait apparaˆıtre trois faisceaux de courbes distincts correspondant chacun `a une ´epaisseur. La variation du Γ au sein d’un mˆeme faisceau n’est quant `a elle que peu significative. En d’autres termes, la nature mˆeme de l’isolant (caract´eris´ee par sa permittivit´e di´electrique), n’a que tr`es peu d’influence compar´ee `a celle de son ´epaisseur. L’impact de l’isolation serait plutˆot ressenti comme un allongement fictif du nanotube dˆu `a l’´eloignement de l’apex par rapport `a l’´electrode polaris´ee. Il est possible de corriger le mod`ele en introduisant un param`etre α pour modifier la hauteur effective du nanotube hef f = h + αe (Figure

2.29.b). Pour des ´epaisseurs e/R entre 0.1 et 1, on peut raisonnablement corriger le mod`ele avec α = 1. Pour une ´epaisseur plus grande (e/R ≥10), l’allongement fictif du nanotube sature. La hauteur effective ne prend pas en compte la totalit´e de l’´epaisseur suppl´ementaire mais seulement une fraction α = 0, 3. Au final, pour avoir la meilleure modulation `a h et R fix´es, il sera pr´ef´erable de favoriser une couche d’isolant la plus mince possible au premier ordre, quelle que soit sa constante di´electrique.

D’un autre point de vue, avoir une grande ´epaisseur permet d’augmenter la tension de claquage ´electrique du syst`eme. Afin de trouver un compromis entre tension de claquage et modulation, la Figure 2.30 pr´esente la perte de contrˆole qu’entraˆıne une ´epaisseur non nulle par rapport au cas id´eal sans ´epaisseur Γ0. On ´evalue ainsi un facteur de

modulation 30% plus important dans la zone de saturation avec une couche de silice de 1 µm d’´epaisseur, alors qu’il est de 10% pour une ´epaisseur de 200 nm.

Finalement, la perte encourue sur le facteur de modulation doit ˆetre compar´ee au gain sur la tension de claquage lorsqu’on augmente l’´epaisseur. En particulier, une silice thermique peut tenir des tensions de l’ordre de 100 V sur 100 nm, il n’est donc pas n´ecessaire de d´eposer une couche tr`es ´epaisse pour obtenir une bonne robustesse au claquage, et 200 nm de silice semble ˆetre un bon compromis. Cela ´etant dit, en pratique, nous utiliserons des substrats avec une ´epaisseur de silice de 1µm (Chapitre 3).

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 74

Figure 2.30: Influence de l’´epaisseur d’une couche de silice sur la modulation.

2.4.1.2 Cas de l’isolation mixte ou structure `a micro-via

L’isolation mixte se retrouve notamment dans la structure d’´electrodes circulaires avec micro-via. Dans ce design sp´ecifique o`u les ´electrodes polaris´ees sont proches les unes des autres et s´epar´ees par du vide, la largeur de l’isolation Λ est un param`etre au moins aussi important que l’´epaisseur de l’isolant en termes de robustesse ´electrique, puisque les champs surfaciques d´evelopp´es entre les bords de la couronne peuvent rapidement devenir colossaux et entraˆıner des claquages impromptus. Afin d’´etudier ce ph´enom`ene mettant en œuvre trois param`etres (l’´epaisseur d’isolant e, le rayon d’´electrode R et la largeur de l’isolation Λ), on choisit de se concentrer sur le cas particulier utilis´e pour les dispositifs r´eels en fixant e = 1µm, et on prend ´egalement R = 1µm (l’influence de l’´epaisseur d’isolant `a ce rapport e/R = 1 n’est pas n´egligeable d’apr`es la partie pr´ec´edente2.4.1.1). On fait alors varier la largeur de la couronne d’isolation Λ.

Figure 2.31: Comparaison du champ ´electrique dans la couronne d’isolation selon la largeur d’isolation dans une configuration micro-via pour e = 1µm, R = 1µm, Vbias= −200V et Emacro = 20V /µm. La direction des fl`eches indique la direction du

vecteur champ ´electrique et leur ´epaisseur indique sa norme (en V/m).

Pour une faible largeur d’isolation de 500 nm, le champ ´electrique dans la couronne est important et orthogonal aux flancs de couronne, indiquant une forte sollicitation de la structure et un risque de claquage ´elev´e. A l’oppos´e, dans le cas d’une largeur de 3 µm, le champ est principalement vertical tout le long de l’isolation, ce qui diminue les risques de claquage. En effet, le substrat (`a z=-1µm sur la figure2.31), port´e au mˆeme potentiel

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 75

que l’´electrode centrale, engendre un champ volumique finalement plus important que le champ produit par les deux ´electrodes surfaciques, et l’on peut consid´erer l’isolation comme volumique dans ce cas.

Figure 2.32: Potentiel normalis´e `a la surface de l’isolant dans la zone de transition pour une structure type micro-via, avec e = 0, 5µm (`a gauche) et e = 1µm (`a droite),

et pour R = 1µm, Vbias= −200V et Emacro= 20V /µm.

Par ailleurs, pour des largeurs d’isolation Λ > 1µm (courbes verte, orange et rouge sur la Figure2.32), la distribution de potentiel `a la surface de l’isolant ´evolue lentement sur la quasi totalit´e de la largeur Λ. On peut difficilement appliquer le mod`ele de transition lin´eaire d´evelopp´e pr´ec´edemment (Eq. (2.21)). En revanche, tout se passe comme si le potentiel d’´electrode Vbias ´etait virtuellement prolong´e au-del`a de l’´electrode sur un

rayon ´equivalent Req, avant de chuter brutalement vers le potentiel de grille, ici fix´e `a

0 V. Il est donc tout de mˆeme possible de rendre compte de ce cas en utilisant un mod`ele ´

equivalent de jonction abrupte de potentiel avec un rayon Req= R + Λ. On notera qu’`a

une ´epaisseur donn´ee, l’´evolution du potentiel ne d´epend pas de la taille de l’´electrode R mais uniquement de la taille de l’isolation Λ. La Figure 2.33 illustre ainsi la bonne ad´equation des simulations avec le mod`ele corrig´e par rayon ´equivalent.

Par la suite toutes les structures `a micro-via seront donc ramen´ees `a un mod`ele de jonction abrupte avec un rayon ´equivalent.