Effet de charge dans l’isolant

Un mat´eriau isolant, s’il conduit peu le courant, peut se charger ou accumuler des charges. Or, les cathodes `a grille, ´etudi´ees ici, poss`edent une surface non n´egligeable d’isolant `a proximit´e des ´electrodes de contrˆole (tout particuli`erement les structures `

a grille enterr´ee). Dans ce paragraphe, on s’int´eresse `a l’influence ´electrostatique d’une accumulation de charges dans l’isolant sur les propri´et´es de modulation de nos cathodes.

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 76

Figure 2.33: Courbe de Γ dans une configuration micro-via pour diff´erentes largeurs de transition Λ. Les points de simulation sont trac´es selon h/Req avec le rayon ´equivalent

Req = R + Λ et compar´es au mod`ele de jonction abrupte (ligne noire) ; pour e = 1µm,

R = 1µm, Vbias= −200V et Emacro= 20V /µm.

On part du principe que l’isolant est charg´e en surface, sans s’int´eresser `a la cause de cette charge. Pour connaˆıtre les causes potentielles de cette accumulation de charges, leurs cons´equences et les solutions pour l’´eviter, on pourra lire l’annexe B.

Dans un syst`eme plan de type m´etal/di´electrique/vide/m´etal (Figure2.34.a), on impose une densit´e de charges surfaciques σ `a l’interface di´electrique/vide. Dans toute cette partie, nous pla¸cons le substrat `a une tension variable Vsubet l’´electrode des nanotubes

est fix´ee `a VCN T = 0V .

Figure 2.34: Etude de la charge dans l’isolant : a) sch´ema simplifi´e, b) cas d’une cathode `a grille enterr´ee.

On calcule le potentiel flottant `a cette interface, Vi. D’apr`es la relation de continuit´e de

la composante normale du d´eplacement ´electrique `a l’interface, on a

ε0Eext− ε0εrEdiel= σ (2.41)

avec

 



Eext= −(Va− Vi)/H, le champ ´electrique ext´erieur dans le vide

Ediel= −(Vi–Vsub)/e, le champ ´electrique dans le di´electrique

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 77

Le potentiel `a l’interface s’´ecrit donc Vi= eH e + εrH  σ ε0 +Va H + εrVsub e  (2.43) En consid´erant l’´epaisseur de l’isolant faible devant la distance anode-isolant H, on peut r´e´ecrire le potentiel `a l’interface comme Eq. (2.44), en faisant apparaˆıtre la contribution ∆Vi de la densit´e de charge par rapport au cas sans charge Vi0.

V≈Vsub+ e εrH Va | {z } V0 i + σ ε0 eH e + εrH | {z } ∆Vi (2.44)

Nous avons simul´e cette simple structure (Figure 2.34.a) pour diff´erents param`etres d’isolant (e et εr) pour des tensions donn´ees d’anode Va= 1000V et de substrat Vsub=

400V , `a H = 100µm (Figure 2.35).

Figure 2.35: Influence de a) εr et de b) e d’un isolant sur le potentiel `a l’interface

di´electrique/vide charg´ee. Vsub=400V, Va=1000V, H=100µm et σ > 0.

Cette configuration correspond au cas pratique exp´erimental (avec H ≈ 250µm, Va <

3500V et |Vsub| ≥ 50V ). Dans cette gamme de valeurs, on peut consid´erer l’influence de

l’anode n´egligeable par rapport au substrat. Ainsi, quels que soit les param`etres e et εr

test´es, les r´esultats de simulation montrent un Vi constant (≈ Vsub) jusqu’`a une valeur

critique de la densit´e de charges `a partir de laquelle il augmente lin´eairement. Il faut noter qu’une charge positive entraˆıne une augmentation du potentiel d’interface alors qu’une charge n´egative provoque sa diminution (de pente oppos´ee).

En d´efinissant la capacit´e surfacique du syst`eme `a l’interface comme Cs= ε0  1 H + εr e  , (2.45)

on peut ´ecrire ∆Vi = σ/Cs d’apr`es Eq. (2.44). L’accumulation de charges en surface de

l’isolant se traduit donc par une diff´erence de potentiel `a l’interface qui d´epend principa- lement des caract´eristiques εr et e de l’isolant. En standardisant la densit´e de charge σ

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 78

caract´eristiques de l’isolant. Ainsi, le d´ecrochement de la courbe de potentiel apparaˆıt pour la valeur critique de σc= Vsub× Cs (Figure2.36).

Figure 2.36: Potentiel normalis´e `a l’interface selon la diff´erence de potentiel normalis´ee induite par une densit´e surfacique de charges a) positive et b) n´egative.

Cas sp´ecifique des cathodes `a grille enterr´ee

Les structures `a micro-via n’exposent que peu de surface d’oxyde, et nous nous sommes donc concentr´es sur les structures `a grille enterr´ee (Figure 2.34.b). Ainsi, nous avons regard´e l’´evolution du potentiel sur l’axe z de l’´electrode de contrˆole (en bande) en fonction de la densit´e de charge surfacique impos´ee `a l’interface oxyde/vide (σ > 0).

Figure 2.37: Influence de l’accumulation de charge (σ > 0) dans l’isolant sur la modulation. L’´electrode de surface est fix´ee `a 0 V, alors que l’´electrode en face arri`ere est fix´ee `a Vbias=0 ou -400V. Param`etres par d´efaut : h=5µm, εr=4, e=1µm, R=1µm.

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 79

La figure 2.37 montre l’´evolution avec la densit´e surfacique de charge, du potentiel V (h) sur l’axe de l’´electrode `a la hauteur h par rapport `a ce mˆeme potentiel V0(h)

lorsqu’aucune tension de polarisation n’est appliqu´ee. Ce rapport V (h)/V0(h) est donc

une mani`ere simple de repr´esenter la modulation.

Quels que soient les param`etres modifi´es, l’´evolution de la modulation du potentiel V (h)/V0(h) se caract´erise par des niveaux de modulation de r´ef´erence (σ  σc) diff´erents

avant de chuter brutalement pour une valeur critique de densit´e de charges σc. Les

diff´erences observ´ees `a σ  σc s’expliquent par les pr´ec´edentes consid´erations sur

l’´evolution de Γ avec ˜h (Figure2.11), ˜e (Figure2.30) et εr (Figure2.29). Par ailleurs, la

valeur critique de la densit´e surfacique de pi`eges est identique quels que soient h et R, d’environ 1012 cm−2 pour ˜e=1 et εr=4, en accord avec le r´esultat du cas simplifi´e sans

´

electrode en surface (Figure2.35). De mˆeme, elle varie avec la permittivit´e di´electrique et l’´epaisseur de l’isolant comme le sugg´erait l’approche par calcul du potentiel d’interface dans le cas simplifi´e (Eq. (2.44)).

Le d´ecalage de la transition est proportionnel `a la variation de la permittivit´e di´electrique et inversement proportionnel `a celle de l’´epaisseur. En tra¸cant les mˆemes courbes, nor- malis´ees par rapport `a la modulation sans charge surfacique, sur un axe de diff´erence de potentiel relative d´efinie comme dans le cas simple (Eq. (2.43) et (2.45)), on obtient de nouveau une courbe universelle quels que soient εr et e (Figure 2.38).

Figure 2.38: Modulation normalis´ee en fonction de la diff´erence de potentiel relative induite par une charge surfacique pour diff´erents a) εr `a Vsub=-400V et b) diff´erents e

`

a Vsub=400V. Param`etres par d´efaut : H=100µm, Va=1000V, εr=4 et ˜e=1.

A noter que la courbe de perte de modulation est universelle selon les param`etres εr

et e mais elle ne l’est pas selon le signe de la polarisation du substrat par rapport au signe de la densit´e de charges. En effet, pour une charge surfacique du mˆeme signe que la polarisation du substrat, l’effet sur la modulation est simplement de la diminuer en rendant les potentiels V (h), avec et sans polarisation, ´egaux. La modulation sous contrainte de charge surfacique reste du mˆeme sens que sans charge (Figure2.36.b). En revanche, lorsque la charge accumul´ee est du signe oppos´e `a la polarisation, le potentiel d’interface finit par avoir un signe oppos´e au cas de d´epart sans charge. La polarisation par rapport `a l’´electrode de surface s’inverse et la modulation agit dans le sens contraire : un r´egime d’´ecrantage devient un r´egime d’amplification (Figure2.36.a).

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 80

En r´esum´e, le mod`ele simplifi´e du calcul de la capacit´e surfacique (Eq. (2.45)) est appli- cable dans le cas r´eel avec une ´electrode de surface. La pr´esence d’une charge surfacique provoque un changement de potentiel `a l’interface di´electrique/vide, qui se traduit par une perte de modulation sur l’axe de l’´electrode. Ainsi, on observe une perte de mo- dulation de 50% lorsque la diff´erence de potentiel induite par la charge atteint 10% de la valeur de la polarisation. Lorsque la charge accumul´ee est de signe contraire `a la polarisation, une inversion de la modulation peut se produire si la charge devient trop importante. Pour augmenter la densit´e de charge critique avant perte de modulation, il faut augmenter la capacit´e surfacique du syst`eme en augmentant la permittivit´e du di´electrique et en diminuant son ´epaisseur.