Calcul du champ local dans un syst` eme multi-´ electrodes

Plusieurs mod`eles analytiques ont ´et´e propos´es pour mod´eliser un nanotube dans une diode plane tels que le mod`ele de sph`ere flottante [113, 114], de demi-ellipso¨ıde sur un plan [113], ou encore le mod`ele d’un cylindre `a bout demi-sph´erique [113]. Ce dernier mod`ele, bien que plus r´ealiste a priori, ne donne pas des r´esultats tr`es diff´erents du mod`ele de sph`ere flottante dans la limite des dimensions qui nous int´eressent. En re- vanche il est plus laborieux `a manipuler. Aussi, l’approche choisie ici, qui est aussi la plus simple `a utiliser tout en donnant des r´esultats satisfaisants, est celle de la sph`ere flottante.

2.1.1.1 Mod`ele de la sph`ere flottante

On commence par consid´erer un espace vide avec un champ de potentiel externe quel- conque, Vext(~r), d´efini pour tout point de l’espace ~r. On y introduit une sph`ere parfaite-

ment conductrice fix´ee au potentiel Vs, et portant une charge q. Cette sph`ere de rayon

rs est plac´ee au point Ms. Lorsque la dimension de la sph`ere est tr`es inf´erieure aux

dimensions du syst`eme, cet ´emetteur id´eal ne modifie que tr`es localement le potentiel externe et l’on peut utiliser l’hypoth`ese perturbative (Figure 2.2). Ceci implique que

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 45

les variations de Vext(~r) `a la surface de la sph`ere sont n´egligeables, et que l’on peut

consid´erer Vext(Ms) comme une constante quel que soit le point Ms `a la surface de la

sph`ere. Autrement dit, on consid`ere la sph`ere comme ponctuelle au point Ms.

Figure 2.2: a) Sch´ema d’une sph`ere flottante dans une diode plane. b) Potentiel local dans la diode : sans sph`ere flottante (en rouge), avec une sph`ere flottante de rayon 25

nm (en bleu) et 1 µm (en vert).

Le champ local aux environs de la sph`ere est principalement radial, selon le vecteur sph´erique ~er, ce qui conduit `a l’´equation Eq. (2.1) avec ε0 la permittivit´e di´electrique

du vide. ~ E(~r) = q 4πε0|r − rs|2 ~ er (2.1)

L’approximation au premier ordre des potentiels nous permet de lin´eariser le potentiel au point M (~r) `a proximit´e de la sph`ere comme la somme des potentiels `a ce point M des deux sous-syst`emes (Figure 2.3), constitu´es par la sph`ere seule `a Vs et le potentiel

externe seul :

V (~r) = Vext(~r) +

q 4πε0|r − rs|

(2.2)

Figure 2.3: Approche perturbative de la sph`ere flottante avec partition en deux sous- syst`emes.

En combinant ces deux ´equations Eq. (2.1) et (2.2), et en se pla¸cant en un point quel- conque de la surface de la sph`ere −→r = −→rs, le champ `a la surface de la sph`ere s’´ecrit :

~

Es(−→rs) =

1 rs

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 46

Pour v´erifier le mod`ele de sph`ere perturbative, on simule une sph`ere flottante de rayon variable rset de potentiel variable Vsentre deux ´electrodes planaires distantes de H=50

µm et g´en´erant un champ ext´erieur constant. La sph`ere est introduite `a une hauteur h=10 µm et son potentiel Vs est vari´e entre −Vanode/2 et Vanode/2 de sorte que Vs ne

soit pas n´egligeable devant Vanode (en pratique, la tension d’anode Vanode est port´ee `a

plusieurs dizaines de kV, donc Vs Vanode). Dans cette configuration le champ ext´erieur

est homog`ene, on peut ´ecrire tr`es simplement Vext( ~rs) = hEext.

Figure 2.4: V´erification du mod`ele de sph`ere perturbative : a) sch´ema de la simulation, b) r´esultats extraits de la valeur du champ Es au sommet de la sph`ere plac´ee en

h = 10µm (mod`ele en trait plein).

La nature universelle de la courbe obtenue sur la figure 2.4 pour les diff´erentes tailles de sph`ere valide l’´equation (2.3), tant que l’hypoth`ese perturbative est respect´ee. En particulier, les simulations commencent `a diverger du mod`ele pour une taille rs≈ h/10.

Dans ce cas, la sph`ere ne peut plus ˆetre consid´er´ee comme ponctuelle : le champ au sommet en h + rs est significativement diff´erent du champ en h − rs par exemple. Or,

en ´emission de champ, on travaille usuellement avec des rapports d’aspect h/rs > 100.

En cons´equence, l’approche du calcul de champ au sommet par le mod`ele de sph`ere perturbative est v´erifi´ee, dans nos conditions d’utilisation.

La formulation du champ ´electrique `a la surface de la sph`ere par cette approche est remarquable dans la mesure o`u elle reste valable dans un syst`eme multi-´electrodes. En outre, il est facile d’exprimer Vext grˆace au principe de superposition, comme la somme

des contributions Viγi(Ms) des N ´electrodes du syst`eme, au potentiel Viavec une fonction

spatiale d’influence γi.

Vext(Ms) =

X

i∈[1;N ]

Viγi(Ms) (2.4)

2.1.1.2 Cas d’un nanotube

Pour calculer le champ `a l’apex d’un nanotube `a partir de la formule pr´ec´edente obtenue pour une sph`ere (Eq. (2.3)), il suffit d’utiliser un facteur de m´erite selon la g´eom´etrie de la pointe, d´etaill´e dans la classification d’Utsumi [29]. Ainsi, le cylindre `a bout demi- sph´erique, commun´ement accept´e pour repr´esenter la forme d’un nanotube vertical, poss`ede un facteur de m´erite de 0,7. Nous introduisons ce facteur correctif dans l’´equation

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 47

de la sph`ere Eq. (2.3) et nous projetons le champ au sommet du nanotube sur son axe z, orient´e du pied vers l’apex, tel que Vext(Ms) = Vext(h). Le champ `a l’apex d’un nanotube

de hauteur h et de rayon rapex au potentiel VCN T devient :

Eapex = − 0, 7 rapex  Vext(h) − VCN T  (2.5)

On notera que l’´emission n’a lieu qu’`a la condition Eapex < 0. Dans une g´eom´etrie

parall`ele, constitu´ee par deux ´electrodes planes s´epar´ees de la distance H, le champ ext´erieur macroscopique Eext= Emacro est uniforme, tel que l’on peut ´ecrire :

Vext(h) = hEmacro avec Emacro=

Vanode− Vcathode

H (2.6)

On retrouve alors le facteur d’amplification usuel β = 0, 7h/rapex, adopt´e dans les

pr´ec´edents travaux [34,35,115] (Eq. (1.8)). Pour plus de pr´ecision ou pour des rapports d’aspects en dehors de cette gamme, il peut ˆetre judicieux de r´e´ecrire le champ comme Eq. (2.7) et d’utiliser une expression de β plus ad´equate telle que celle d’Edgecombe et Valdr´e (Eq. (1.7)). Eapex= − β h  hEmacro− VCN T  (2.7)

La figure 2.5 repr´esente les r´esultats donn´es par ces deux formulations du champ `a l’apex, en utilisant le facteur correctif de 0,7 (rouge) ou le facteur d’amplification β d’Edgecombe (vert). Les r´esultats th´eoriques sont compar´es aux r´esultats de simulation (carr´es bleu) pour un nanotube de rayon fixe rapex=25 nm et de taille h variable dans

une diode simple, VCN T = Vref.

Figure 2.5: Champ ´electrique Eapex au sommet d’un nanotube de rapport d’aspect

h/rapex, normalis´e par le champ macroscopique dans la diode Emacro. Les r´esultats de

simulation (carr´es bleus) sont compar´es aux valeurs th´eoriques donn´ees par l’approche choisie dans ce travail (rouge) et celles donn´ees par Edgecombe (vert).

Le mod`ele simple de facteur correctif reste valide pour des rapports d’aspect h/rapex

entre 100 et 500 avec une erreur inf´erieure `a 10%. Certes, une telle erreur engendre un facteur 5 dans le courant d’´emission. Cependant, elle n’amoindrit pas l’int´erˆet de notre mod`ele puisque nous nous int´eressons aux propri´et´es de modulation de notre

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 48

structure, c’est-`a-dire aux variations relatives de courant. Pour plus de pr´ecision, le mod`ele d’Edgecombe retrace, comme attendu, les r´esultats de simulation sur toute la gamme de rapports d’aspect 10 `a 1000.

L’hypoth`ese perturbative a ´et´e v´erifi´ee pour une sph`ere. En premi`ere approximation, un facteur correctif prenant en compte la forme du nanotube a ´et´e introduit dans l’´equation, et valid´e dans la configuration sans polarisation, VCN T = Vref. On s’int´eresse ici, `a la

pertinence de ce facteur correctif, dans le cas o`u le nanotube est l’´el´ement pertubateur polaris´e. On simule donc plusieurs g´eom´etries de nanotube au potentiel VCN T, en fixant

soit sa hauteur h, soit son rayon rapex (Figure2.6).

Figure 2.6: V´erification du mod`ele perturbatif pour un nanotube de diff´erents rap- ports d’aspect h/rapex : a) `a h constant, b) `a rapex constant.

Les r´esultats obtenus dans les deux s´eries de simulation (h ou rapex constant) suivent

la mˆeme ´evolution selon le rapport d’aspect. Les courbes trac´ees sont quasiment iden- tiques quels que soient les param`etres g´eom´etriques. On v´erifie ainsi que l’approche par perturbation, valide pour une sph`ere, peut ˆetre ´etendue au cas du nanotube. On ´evalue l’erreur relative faite sur le champ `a l’apex calcul´e par cette formulation du champ par rapport `a la valeur de la simulation prise comme r´ef´erence (Figure2.7).

Figure 2.7: Erreur relative du champ au sommet d’un nanotube selon son potentiel, calcul´e a) avec le facteur correctif 0.7, et b) avec le facteur d’amplification d’Edgecombe.

L’erreur est quasiment constante d`es lors que l’on applique une polarisation oppos´ee au potentiel ext´erieur. Elle diverge quand le rapport VCN T/Vext tend vers 1 puisque le

Chapitre 2. Mod´elisation des cathodes `a grille 49

validit´e ´evoqu´ee pr´ec´edemment pour les rapports d’aspects h/rapex ≤ 50 et h/rapex ≥

500 devient critique avec la polarisation (Figure 2.7.a). En utilisant l’expression plus pr´ecise du facteur d’amplification d’Edgecombe, l’erreur relative devient ind´ependante du rapport d’aspect (Figure2.7.b). Il apparait que la polarisation du nanotube diminue le facteur d’amplification effectif du nanotube, entre 5 et 7%. Ceci peut ˆetre attribu´e `a l’effet du corps du nanotube qui n’est plus n´egligeable lorsque l’on polarise. Finalement, le mod`ele de perturbation est toujours pertinent dans le cas d’un nanotube polaris´e. Il est possible d’optimiser la pr´ecision du mod`ele en utilisant le facteur d’amplification adapt´e au rapport d’aspect du nanotube et en introduisant une correction suppl´ementaire avec la polarisation.

Pour des g´eom´etries plus complexes telles que la structure de cathode `a grille plane en- visag´ee ou la configuration d’´electrodes pointe-plan, une ´etude ´electrostatique sp´ecifique est n´ecessaire pour exprimer Vext. Par exemple, Lekner et al. ont exprim´e le poten-

tiel g´en´er´e par des conducteurs hyperbolo¨ıdes [116], Vext(~r) = γpointe(~r)Vpointe. D’apr`es

l’´equation (2.5), le champ `a l’apex d’un nanotube dans une configuration pointe-plan s’´ecrit alors : Eapex= − 0, 7 rapex  Vpointeγpointe(h) − VCN T  (2.8) Les propri´et´es d’´emission de champ de nanotubes individuels ont ´et´e mesur´ees dans cette configuration pointe-plan par Andrianiazy et al. [111]. Les r´esultats exp´erimentaux corroborent le mod`ele th´eorique propos´e. Ils d´emontrent ainsi que le mod`ele de nanotube marche ´egalement dans un cas non trivial (champ de potentiel de la pointe hyperbolo¨ıde) ce qui appuie le mod`ele de champ d’apex (avec le facteur correctif 0,7) se basant sur la composition du potentiel externe (Eq. (2.4)).