Correction de l’auto-apodisation de l’interférogramme

On a vu au paragraphe 1.1.2.3 que le champ du spectromètre réduisait le contraste du signal interférométrique. Il se produit une auto-apodisation de l’interférogramme (équation 1.89). Cette auto-apodisation est visible sur un interférogramme laser tel que celui de la figure 2.28. On observe une diminution de l’amplitude des interférences à mesure que l’on s’éloigne de la différence de marche nulle, alors que la modélisation, sans tenir compte du champ, prévoit une amplitude d’oscillation constante avec la différence de marche. Le nombre croissant d’anneaux d’égales inclinaisons avec la différence de marche brouille les interférences.

On corrige l’auto-apodisation en divisant les interférogrammes par le contraste in- terférométrique. Le contraste interférométrique se calcule à partir des séries des maxima et des minima retrouvées durant la mesure des différences de marche. La mesure laser effectuée à cette occasion présente l’avantage de faire varier l’état d’interférence à l’aide d’une source monochromatique à différence de marche fixée. On peut ainsi extraire de la mesure le maximum et le minimum de signal et en déduire le contraste interféromé- trique :

C = M− m

M + m (3.23)

Le calcul est effectué pour chaque échantillon de l’interférogramme.

La figure 3.13 illustre les variations du contraste interférométrique en fonction de la différence de marche. Il diminue à mesure que l’on s’éloigne de la différence de marche nulle. Le contraste varie d’environ 30 %, ce qui est important. On doit tenir compte du contraste dans les mesures. La variation théorique du contraste, calculé comme le sinus cardinal de l’expression 1.89, est tracée en rouge. La différence entre la théorie et la mesure est attribuée à des défauts d’alignement des miroirs. Ceux-ci produisent des inclinaison relatives entre les deux miroirs à échelettes à l’origine de « coins d’air ». Les inclinaisons contribue également à l’auto-apodisation des interférogrammes en fai- sant varier l’état interférométrique au sein des échantillons. On peut distinguer deux types de différences. Une différence globale affecte le contraste dans son ensemble, alors qu’une différence locale affecte périodiquement des portions du contraste. La différence globale est due à l’inclinaison des grandes échelettes. La différence locale est due à celle des petites échelettes qui suréchantillonnent les grandes. L’échantillonnage matriciel de l’interférogramme permet cette distinction. Remarquons que la période de la différence locale est de 24 échantillons, ce qui correspond effectivement au nombre de petites échelettes.

La variation d’ensemble du contraste résulte donc de la combinaison de l’auto- apodisation engendrée par le champ et de celle engendrée par l’inclinaison des grandes échelettes. A plus petite échelle, la variation du contraste est contrôlée par l’inclinaison des petites échelettes.

La méthode de traitement du contraste interférométrique consiste à diviser systé- matiquement toutes les mesures par le contraste. La valeur I(i) du i-ème échantillon de

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 Contraste DDM (cm) C mesuré C théorique

Fig. _{3.13 – Contraste interférométrique en fonction de la différence de marche. L’allure générale}

présente une chute avec la valeur absolue de la différence de marche. Celle-ci est due au champ de l’instrument ainsi qu’à l’inclinaison des grandes échelettes. Un motif périodique est également visible. Il illustre l’évolution de l’inclinaison des petites échelettes. On remarque que les variations sont im- portantes et qu’elles méritent, par conséquent, d’être corrigées. La courbe théorique est représentée en rouge.

l’interférogramme est divisée par le contraste interférométrique C(i) de l’échantillon :

Icor(i) =

I(i)

C(i) (3.24)

L’interférogramme traité a été préalablement corrigé du niveau d’obscurité, corrigé des gains interpixels et linéarisé.

Un autre moyen de prendre en compte l’auto-apodisation du spectromètre serait d’appliquer aux spectres a priori l’apodisation due au contraste. Sans division des in- terférogrammes par le contraste ou apodisation des spectres a priori, on ne peut pas comparer les mesures réelles aux mesures modélisées.

La prise en compte du contraste interférométrique permet, en plus de tenir compte du champ de l’instrument, de réduire l’impact des défauts d’alignement des miroirs à échelettes. En théorie, on considère que le signal interférométrique est constant sur les superpixels. Or, en raison de l’inclinaison des échelettes les unes par rapport aux autres, l’état interférométrique varie au sein même des échantillons. On peut voir cet effet sur la figure 2.26 : la couleur de certaines zones n’est pas homogène. Il en résulte une chute du contraste interférométrique, engendrée par le mélange des différents états interférométriques. On s’affranchit du brouillage des interférences, provoqué par l’orien- tation relative des échelettes, en corrigeant le contraste interférométrique. La figure 3.14 présente les résultats de l’étude de l’effet de l’inclinaison des miroirs sur le contraste in- terférométrique. On compare un interférogramme théorique sans inclinaison, en bleu, et un interférogramme simulé avec des miroirs inclinés, en rouge. Le signal est représenté pour une variation de différence de marche de quelques longueurs d’onde. L’interfé- rogramme considéré est celui d’une source monochromatique émettant à la longueur d’onde moyenne de la bande de mesure λ0. L’inclinaison engendre une diminution du

contraste interférométrique. L’amplitude des oscillations rouges est inférieure à celle des oscillations bleues. Par contre, la division par le contraste permet de retrouver le signal théorique. La différence entre l’interférogramme corrigé et l’interférogramme théorique dépend de l’état interféromètrique. Toutefois, la différence reste limitée, même pour ce cas peu favorable où le déphasage provoqué par l’inclinaison des miroirs est égal à π. Son écart-type est environ 2000 fois plus faible que le signal. En général, la variation de la phase est inférieure à π au sein d’un superpixel (voir la figure 2.26). La correction est compatible avec un rapport signal à bruit dans l’interférogramme supérieur à 3000. Le traitement par division du contraste présente l’inconvénient de modifier la sta- tistique du bruit de l’interférogramme. Le bruit n’est pas modifié de manière homogène pour tous les échantillons. En toute rigueur, il faudrait prendre en compte le profil du contraste pour le calcul de la matrice de covariance de l’interférogramme corrigé. Il est difficile de connaître précisément cette matrice pour chaque échantillon, même avant division du contraste. Pour les traitements d’inversion des mesures, nous avons émis l’hypothèse simplificatrice d’un bruit blanc homogène, en dépit du traitement du contraste. Nous verrons au chapitre 5 que cette hypothèse n’est pas la source d’erreur prédominante dans la mesure du dioxyde de carbone.

−8⋅10−4 −4⋅10−4 0⋅100 4⋅10−4 8⋅10−4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Différence DDM (µm) −1 −0.5 0 0.5 1 Interférogramme normalisé Sans inclinaison Avec inclinaison Inclinaison mais contraste corrigé

Fig._{3.14 –}Etude de l’effet de l’inclinaison des échelettes sur le contraste interférométrique. Le graphe du haut représente les interférogrammes normalisés. L’interférogramme bleu est calculé sans inclinaison, son contraste est égal à 1. L’interférogramme en rouge, ligne pleine, est calculé pour une inclinaison des miroirs faisant varier la phase de π. Le contraste est égal à 0,6. La courbe en pointillés rouges représente l’interférogramme après correction du contraste. Le graphe du bas montre la différence entre l’interférogramme corrigé et l’interférogramme théorique idéal.