Caractérisation des spectres

Les spectres sont obtenus par transformation de Fourier inverse des interférogrammes. On les caractérise également d’après leur rapport signal à bruit. On définit le rapport signal à bruit spectral ainsi que le rapport signal à bruit temporel. Un autre paramètre important de la mesure est la résolution spectrale. Elle est également évaluée.

L’objectif en termes de rapport signal à bruit sur le spectre est d’environ de 300. Un facteur de conversion approximatif du rapport signal à bruit de l’interférogramme en rapport signal à bruit du spectre a été calculé de manière théorique. Nous retiendrons

que l’on passe du rapport signal à bruit de l’interférogramme au rapport signal à bruit du spectre en appliquant un facteur de conversion de l’ordre de 1/10.

Etude spectrale des spectres : Pour le calcul du rapport signal à bruit spectral, on s’intéresse au signal dans les pieds du spectre. Le filtre passe-bande est censé couper toute l’énergie en dehors de sa bande de transmission. Le signal non nul dans les pieds est considéré comme du bruit. On en calcule l’écart-type pour évaluer l’amplitude du bruit spectral. On suppose le bruit homogène dans tout le spectres, en dehors et dans la bande de transmission du filtre. Le niveau de signal des spectres est défini comme la valeur maximale du spectre, qui coïncide au maximum de transmission du filtre pour un spectre de lampe. Le rapport signal à bruit spectral est le rapport de ce niveau et du bruit spectral.

Un spectre de lampe est représenté sur la figure 2.33. On a tracé en rouge les points du spectre qui sont exploités pour évaluer le bruit dans le spectre. Le bruit spectral est calculé entre 6327,2 cm−1 et 6343,1 cm−1 et entre 6367,1 cm−1 et 6387,4 cm−1 . −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 6320 6330 6340 6350 6360 6370 6380 6390 Pieds du spectre Nombre d’onde (cm−1) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Spectre normalisé

Fig._{2.33 –} Spectre de lampe et vue resserrée sur les pieds du spectre. Les points en rouge sont ceux utilisé pour la détermination du bruit spectral.

Pour ce spectre, le bruit spectral est égal à 2,9_{· 10}−₃

, le spectre étant normalisé. Le niveau de signal, dans la bande passante du filtre, est par définition égal à 1 pour un spectre normalisé. Le rapport signal à bruit spectral est donc égal à 345. Cette valeur est obtenue en appliquant une apodisation triangulaire à l’interférogramme. Si l’on n’apodise pas le spectre, le rapport signal à bruit spectral est voisin de 290. L’apodisation permet de filtrer le bruit haute fréquence.

De la même manière, on mesure un rapport signal à bruit spectral égal à 200 pour un spectre atmosphérique apodisé et 110 sans apodisation. La chute du rapport signal à bruit entre une mesure devant la lampe et une mesure en visée solaire est probablement due à un effet de lumière parasite qui entre dans le spectromètre ou à une instabilité de la source observée (turbulence et fluctuation de la transmission atmosphérique). Etude temporelle des spectres : Le bruit temporel est défini comme le résidu de la différence entre deux spectres mesurés successivement devant une source stable. On en calcule l’écart-type pour en évaluer l’amplitude et on en déduit le rapport signal à bruit temporel en divisant la moyenne du spectre par cette valeur. La moyenne du spectre est définie comme précédemment en ne considérant que la zone passante du filtre optique. Plus exactement, le niveau de signal est défini comme étant égal au maximum du spectre.

La figure 2.34 représente la différence temporelle mesurée entre deux spectres de lampe normalisés. L’écart-type de la différence est de l’ordre de 1,2_{· 10}−3

alors que le niveau de signal du spectre dans la bande est égal à 1. Le rapport signal à bruit temporel est par conséquent égal à environ 833, ce qui est largement supérieur au rapport signal à bruit spectral. Une partie importante du bruit mesuré pour évaluer le rapport signal à bruit spectral est en fait une erreur répétitive. Celle-ci est probablement due à l’erreur de connaissance des différences de marche. Le rapport signal à bruit temporel, calculé à partir de spectres de lampe non apodisés, est voisin de 500.

−0.004 −0.002 0 0.002 0.004 6320 6330 6340 6350 6360 6370 6380 6390 Différence Nombre d’onde (cm−1) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Spectre normalisé

Fig. _{2.34 – Spectre de lampe et différence temporelle entre deux spectres}

sphériques car on ne maîtrise pas suffisamment la source. Compte tenu de la rotation de la Terre, l’angle zénithal solaire varie d’une mesure à l’autre. La source n’est pas stable temporellement.

Le tableau 2.11 reprend les différents rapports signal à bruit qui ont été évalués. Caractérisation

Définition du critère RSB associé

considérée Stabilité spatiale de

l’interférogramme Variation aléatoire du signal interfé- rométrique inter échantillon

4100 Stabilité temporelle

de l’interférogramme Variation aléatoire du signal interfé- rométrique entre 2 interférogrammes consécutifs

4300

Stabilité spectrale du

spectre Signal aléatoire mesuré dans les ré-

gions ne recevant pas d’énergie op- tique

345

Stabilité temporelle

du spectre Signal aléatoire résultant de la diffé- rence entre deux spectres consécutifs

830

Tab. _{2.11 – Performances du spectromètre exprimées en rapport signal à bruit (RSB)}

Résolution spectrale des mesures : On évalue la résolution spectrale à l’aide de la mesure du spectre d’une source monochromatique, un laser. Au lieu d’obtenir un spectre infiniment fin, on mesure la réponse instrumentale, dont la largeur donne la résolution spectrale.

Un spectre laser mesuré, représenté à l’aide de croix, et la réponse instrumentale correspondante sont superposés sur la figure 2.35.

Pour retrouver la résolution spectrale, on optimise la réponse instrumentale théo- rique en laissant libre le paramètre de la différence de marche maximale. L’expression de la réponse instrumentale théorique est donnée au paragraphe 1.1.2.2 par l’équation 1.43. On adapte celle-ci à la mesure instrumentale réelle, pour laquelle on prend également en compte un facteur de sensibilité instrumentale k. On ajuste en fait la fonction :

fmes(σ) = k· 2δmaxsinc [2πδmax(σ− σ0− ǫ(σ0))] (2.13)

où k est un coefficient multiplicatif pour ajuster l’amplitude. La longueur d’onde de réglage du laser est σ0 et on optimise une erreur d’accordabilité du laser ǫ(σ0). Enfin,

la différence de marche maximale de mesure est également ajustée. On retrouve une différence de marche maximale de 6,23 cm. En comparaison, la différence de marche maximale mesurée lors de l’étalonnage de la matrice de différences de marche est égale à 6,27 cm. L’optimisation est donc en accord avec les paramètres instrumentaux. On ne s’attend toutefois pas à retrouver exactement la valeur de la différence de marche

−200 −100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 6355 6356 6357 6358 6359 6360 Spectre (UA) Nombre d’onde (cm−1) Données expérimentales sinc optimisé

Fig. _{2.35 – Spectre laser mesuré (croix) et fonction d’appareil correspondante (continue). Les pa-}

ramètres de la fonction d’appareil ont été ajustés en fonction du spectre mesuré. On en déduit la résolution apodisée égale à δσ = 0,161 cm−1_.

maximale. La résolution effectivement mesurée est en effet inférieure à la résolution théorique du fait de toutes sortes de sources de dégradation de celle-ci. En particulier, on peut citer l’auto-apodisation due au champ non nul du spectromètre. A titre indicatif, l’erreur d’accordabilité du laser est ǫ(σ0) = −1,2 cm−1, pour un nombre d’onde de

consigne σ0 = 6357,3 cm−1. Ce qui équivaut à une erreur de 7 pm pour une longueur

d’onde de consigne de 1573 nm.

Finalement, on évalue la résolution spectrale en reprenant les définitions données au paragraphe 1.1.2.2. La largeur à mi-hauteur de la fonction d’appareil est :

FWHM = 1,206

2 δmax ≈ 0,098 cm −₁

(2.14) La largeur à mi-hauteur est égale à FWHM = 0,098 cm−1

pour un nombre d’onde de mesure σ0 = 6357 cm−1, ce qui correspond, en longueur d’onde, à une largeur à mi-

hauteur FWHMλ = 0,024 nm autour de la longueur d’onde centrale λ0 = 1573 nm. Le

calcul théorique, à partir de la différence de marche maximale mesurée par étalonnage des différences de marche aurait donné : FWHMth´eo = 1,206/(2· 6,27) ≈ 0,096 cm−1.

On observe une différence de 2 % entre la théorie et la mesure. La résolution apodisée est égale à :

δσ = 1

δmax ≈ 0,161 cm −₁

(2.15) On rappelle que le nombre d’onde central de mesure est σ0 = 6357 cm−1. Dans le

longueur d’onde centrale de mesure λ0= 1573 nm. Enfin, la résolvance du spectromètre

est égale à :

R = σ0

δσ ≈ 39500 (2.16)

Le tableau 2.12 rassemble ces résultats.

Résolution du spectromètre

Largeur à mi-hauteur de la fonction d’appareil (FWHM) 0,098 cm−₁

0,024 nm

Résolution apodisée 0,161 cm−1

0,040 nm

Résolvance 39500

Nombre d’onde central 6357 cm−1

Longueur d’onde centrale 1573 nm

Largeur de la bande de mesure 22,5 cm−₁

5,6 nm

Méthode d’exploitation de

l’instrument

Sommaire 3.1 Modélisation instrumentale . . . 130 3.1.1 Modélisation globale . . . 130 3.1.2 Modélisation radiométrique . . . 131 3.1.3 Paramètres de mesure étalonnés . . . 132 3.2 Etalonnage radiométrique . . . 133 3.2.1 Niveau d’obscurité . . . 133 3.2.2 Gains interpixels de sensibilité . . . 136 3.2.3 Non-linéarité du détecteur . . . 139 3.3 Etalonnage des différences de marche . . . 146 3.3.1 Méthode de mesure . . . 146 3.3.2 Méthode de traitement . . . 147 3.4 Mesures spectrales . . . 150 3.4.1 Acquisition des interférogrammes . . . 151 3.4.2 Procédure globale d’acquisition . . . 151 3.5 Traitements faisant suite aux étalonnages . . . 155 3.5.1 Correction de l’auto-apodisation de l’interférogramme . . . . 156 3.5.2 Correction de la lumière parasite . . . 160 3.5.3 Correction en temps réel des gains interpixels . . . 160 3.5.4 Traitement spécifique des mesures en modulation de phase . 164 3.6 Passage au spectre . . . 165 3.6.1 Définition de la bande spectrale de calcul des spectres . . . . 165 3.6.2 Calcul du spectre par transformation de Fourier rapide . . . . 167 3.6.3 Calcul du spectre par les matrices de passage . . . 168 3.7 Spectres mesurés . . . 171 3.7.1 Etude spectrale des mesures atmosphériques . . . 171 3.7.2 Etude temporelle des mesures . . . 174

Nous nous intéresserons, dans ce chapitre, à la mise en œuvre du spectromètre par transformation de Fourier statique. Celle-ci nécessite une série d’étalonnages et de trai- tements des données en sortie d’instrument. Deux postes seront particulièrement sujets d’attention : les images d’interférogrammes et les différences de marche. L’acquisition d’images nécessite un étalonnage spatial du spectromètre. La connaissance des diffé- rences de marche est cruciale pour la mesure des interférogrammes et par suite des spectres.

Nous examinerons également, en plus des traitements d’étalonnage, les traitements de passage au spectre à partir de l’interférogramme. Ceux-ci ont été adaptés à la confi- guration instrumentale spécifique du spectromètre.

La méthode d’exploitation a été définie, en gardant à l’esprit les objectifs de per- formance du spectromètre. On cherche à effectuer des mesures avec un rapport signal à bruit sur l’interférogramme aux alentours de 3000 et un rapport signal à bruit sur le spectre voisin de 300.

3.1

Modélisation instrumentale

La modélisation instrumentale est la modélisation de la mesure entre l’entrée et la sortie de l’instrument. C’est une des composantes de la modélisation de la mesure. Nous verrons au chapitre 4 que la mesure de la concentration atmosphérique en dioxyde de carbone requiert également une modélisation atmosphérique.

La modélisation instrumentale est décomposée en une modélisation globale, qui re- prend la théorie présentée au chapitre 1, et en une modélisation radiométrique de la conversion du signal théorique en une image d’interférogramme en sortie du détecteur.

3.1.1 Modélisation globale

Le spectromètre par transformation de Fourier statique mesure la luminance spec- trale incidente contenue dans son champ de mesure. En sortie d’instrument, le détec- teur enregistre l’interférogramme dont l’expression, pour une onde monochromatique de nombre d’onde σ0, est donnée par l’équation 1.21 :

I(δ) = I0

2 · (1 + cos(2πσ0δ))

Si l’on considère un rayonnement non monochromatique, la partie modulée de l’interfé- rogramme a pour expression (équation 1.27) :

I(δ) = Z +∞

0

B(σ)

2 · cos(2πσδ) dσ

Avec B(σ) le spectre mesuré. On obtient la transformée de Fourier de celui-ci.

Deux paramètres sont cruciaux pour la mesure de spectres : la bonne acquisition du niveau du signal interférométrique I, qui est le signal radiométrique, ainsi que la

maîtrise de la différence de marche δ. On peut alors pratiquer la transformation de Fourier inverse de l’interférogramme et obtenir le spectre en entrée d’instrument.

L’instrument doit être étalonné radiométriquement et géométriquement. L’étalon- nage radiométrique assure la conversion du signal, en sortie d’instrument, en intensité interférométrique. La réponse de l’instrument est caractérisée, notamment dans la di- mension spatiale. L’étalonnage géométrique permet de mesurer la configuration précise des miroirs à échelettes et d’en déduire les différences de marche.

Nous venons d’aborder la modélisation instrumentale globale de la mesure. Elle décrit le passage d’un spectre incident à un interférogramme. Nous nous intéressons maintenant à la modélisation radiométrique, c’est-à-dire à la conversion du signal in- terférométrique en un signal numérique exprimé en comptes numériques (ou Least Si- gnificant Bits). Le compte numérique est l’unité de mesure du détecteur. La quantité d’énergie correspondant à la variation d’un compte numérique du signal en sortie d’ins- trument dépend, en particulier, de la sensibilité du détecteur et de son électronique. On n’intervient pas sur l’électronique de détection qui est celle fournie avec le détecteur du commerce que l’on utilise.

3.1.2 Modélisation radiométrique

La modélisation radiométrique du spectromètre est décomposée en trois postes. La réponse du détecteur est modélisée par la somme du signal utile et d’un niveau d’obscu- rité. La dimension spatiale est prise en compte par l’introduction d’un gain interpixel. Ensuite, on modélise la non-linéarité de la réponse du détecteur. On ne pratique pas un étalonnage radiométrique absolu du spectromètre. Le coefficient d’étalonnage ab- solu, permettant la conversion du signal délivré par le détecteur en luminance n’est pas déterminé. La mesure spectrométrique de la concentration en dioxyde de carbone repose sur la comparaison de transmissions spectrales. Elle ne nécessite pas la mesure du niveau absolu de luminance spectrale.

3.1.2.1 Niveau d’obscurité

La réponse du détecteur face à un flux lumineux nul est non nulle. Chaque pixel pré- sente un biais appelé niveau d’obscurité, et noté N O. La réponse N (i,j) d’un pixel peut être représentée comme la somme d’une fonction du flux incident F , pour le moment notée f (F ), et du niveau d’obscurité :

N (i,j) = f (F ) + N O(i,j) (3.1)

Les coordonnées du pixel au sein de la matrice du détecteur sont données par le couple (i,j).

Remarquons que, du fait de sa sensibilité spectrale autour de 1,6 µm, le détecteur n’est pas sensible au flux émis par son environnement. L’application de la loi de Planck permet de calculer les luminances émises par le laboratoire et par le Soleil. Le labo- ratoire, considéré comme un corps noir à 300 K émet une luminance spectrale égale à 1_{· 10}−6

W_{· m}−2

· sr−1

· µm−1

égale à 6000 K, émet 3_{· 10}6 _{W· m}−₂

· sr−₁

· µm−₁

. Il y a un rapport supérieur à 1012

entre la luminance solaire et celle d’un corps à 300 K. Etant donné que l’instrument observe le Soleil, il ne sera pas sensible au flux émis par le laboratoire et plus parti- culièrement par les composants optiques du spectromètre. Il faudrait, pour déterminer cette contribution, encoder les mesures sur plus de 40 bits. Contrairement au courant d’obscurité mesuré par des instruments sensibles dans l’infrarouge thermique, le niveau d’obscurité du spectromètre n’est pas affecté par l’émission de l’environnement. Son étalonnage en est simplifié.

3.1.2.2 Gains interpixels

Chaque pixel a son propre gain du fait de la non uniformité de sensibilité des pixels de la matrice du détecteur. Les inhomogénéités spatiales au sein de l’instrument peuvent également intervenir. Citons par exemple les défauts spatiaux des traitements optiques. On note G(i,j) le gain de chaque pixel. La réponse d’un pixel peut donc s’écrire :

N (i,j) = G(i,j)_{· F + NO(i,j)} (3.2)

Le temps d’intégration du détecteur est implicitement contenu dans le gain interpixel. C’est un facteur multiplicatif constant pour tous les pixels.

La modélisation du gain interpixel est nécessaire pour les spectromètres par trans- formation de Fourier statique. L’échantillonnage spatial implique de prendre en consi- dération la dimension spatiale de la mesure.

3.1.2.3 Non-linéarité du détecteur

La réponse du détecteur en fonction du flux lumineux incident n’est pas linéaire. La non-linéarité du détecteur est principalement due à son électronique. L’amplification du signal de chaque pixel n’est pas linéaire.

Au lieu d’être une fonction affine N = a_{· F + NO, la réponse de chaque pixel est} une fonction non linéaire f , plus complexe qu’une simple droite, telle que N = f (F ). La valeur f (0) correspond au niveau d’obscurité. On modélise la non-linéarité d’un pixel comme un terme additif, décrit par un polynôme PN L

i,j tel que :

N (i,j) = G(i,j)_·F + P_i,jN L(F )+ N O(i,j) (3.3) Les coefficients du polynôme sont propres au pixel considéré. On remarquera que l’on a dissocié le niveau d’obscurité, ainsi que le gain linéaire, du polynôme de non-linéarité. Par conséquent, les coefficients d’ordre 0, aN L₀ (i,j), et d’ordre 1, aN L₁ (i,j), du polynôme, sont sensés être nuls.

Dans le document Potentialités d'une mesure télédétectée du dioxyde de carbone atmosphérique par spectrométrie par transformation de Fourier statique (Page 126-135)