3.6 Passage au spectre
3.6.3 Calcul du spectre par les matrices de passage
Nous allons voir ici une méthode alternative de calcul des spectres mesurés. Celle- ci ne fait pas appel à l’algorithme de transformation de Fourier rapide. Elle s’avèrera particulièrement intéressante du fait de sa simplicité d’utilisation, notamment pour l’inversion des mesures.
L’outil matriciel est bien adapté au traitement des données issues du spectromètre par transformation de Fourier statique. Un ensemble de matrices de passage a été mis en place à cet effet. Elles permettent de passer de l’interférogramme mesuré au spectre. Ce traitement est communément appliqué dans le cadre de la mesure d’un spectre. Elles permettent également de passer des spectres a priori, calculés à l’aide du code de transfert radiatif, aux interférogrammes. Le code de transfert radiatif est décrit au chapitre 4. La matrice de passage des spectres a priori aux interférogrammes s’avèrera très utile pour la définition du modèle direct. On aborde l’inversion du modèle direct qui permet de retrouver la concentration en dioxyde de carbone au chapitre 4. L’apodisation est également traitée matriciellement.
3.6.3.1 Matrice de passage du spectre à résolution infinie à l’interféro- gramme mesuré
Les spectres a priori sont appelés spectres à résolution infinie car ils sont calculés à très haute résolution devant la résolution du spectromètre. Le pas d’échantillonnage des spectres a priori est de 5· 10−3
cm−1
, ce qui est environ 30 fois plus petit que l’élé- ment spectral résolu par le spectromètre. La matrice de passage du spectre à résolution infinie à l’interférogramme est la plus simple à calculer. Il suffit d’appliquer le modèle instrumental. A chaque différence de marche δi, l’interférogramme a pour expression, à
un facteur de normalisation près : I(δi) =
X
j
On retrouve là l’expression d’un produit matriciel entre une matrice de passage et le spectre à résolution infinie :
I(δ) = MISinf × B(σ) (3.47)
MIS
inf est la matrice de passage du spectre à résolution infinie à l’interférogramme. Elle
se calcule de la manière suivante :
MISinf = cos(2πδ× σt) (3.48)
MISinf(i,j) = cos(2πδi· σj) (3.49)
avec :
– ×, le produit matriciel.
– δ, les différences de marche de mesure sous forme d’un vecteur de dimensions (m× 1). m est le nombre d’échantillons dans l’interférogramme.
– σ les nombres d’onde du spectre à résolution infinie sous forme d’un vecteur de dimensions (n× 1). n est le nombre d’échantillons dans le spectre
La matrice de passage MIS
inf est une matrice (m× n). Du fait de la différence
de dimension entre le spectre a priori et l’interférogramme, le nombre de lignes m de la matrice de passage est très inférieur au nombre de colonnes n. Les dimensions de la matrice de passage sont 450× 6000, lorsque l’on calcule un interférogramme sans doublage de points, et 900×6000, lorsque l’on calcule un intérférogramme avec doublage de points.
3.6.3.2 Matrice de passage du spectre mesuré à l’interférogramme
Il faut calculer, comme précédemment, une matrice de passage d’un spectre à un in- terférogramme. Dans ce cas, le spectre comporte moins de points que l’interférogramme. Nous avons vu dans le paragraphe 3.6.1 que l’on prend des marges lors de la définition de la bande de mesure afin de respecter le critère de Shannon-Nyquist. Par conséquent, cette fois-ci, la matrice de passage aura plus de lignes que de colonnes. En dehors de cette différence, la définition de la matrice reste inchangée :
MISmes = cos(2πδ× σt) (3.50)
MISmes(i,j) = cos(2πδi· σj) (3.51)
avec δ, toujours le vecteur des différences de marche, de dimensions (m× 1). Le vecteur σest dans ce cas le vecteur des nombres d’onde du spectre mesuré. MI
Smes est la matrice
de passage du spectre mesuré à l’interférogramme. Sous cette forme, cette matrice n’est pas très utile. Par contre, on peut en calculer la matrice pseudo-inverse qui sera donc la matrice de passage de l’interférogramme au spectre mesuré.
3.6.3.3 Matrice de passage de l’interférogramme au spectre mesuré
La matrice de passage de l’interférogramme au spectre mesuré est la matrice pseudo- inverse de la matrice de passage du spectre mesuré à l’interférogramme, définie au
paragraphe 3.6.3.2. Son expression est : MSmes I = MI tSmesM I Smes −1 MI tSmes (3.52)
Cette matrice sera largement employée pour visualiser, à partir de l’interférogramme mesuré, le spectre mesuré. Pour l’obtenir, il suffit de connaître le vecteur des différences de marche δ et le vecteur des nombres d’onde de mesure σ. Le vecteur des différences de marche est obtenu grâce à l’étalonnage de l’interféromètre (voir le paragraphe 3.3). Quant au vecteur des nombres d’onde de mesure, il est obtenu lors de la définition de la fenêtre spectrale de mesure (voir le paragraphe 3.6.1).
3.6.3.4 Matrice d’apodisation de l’interférogramme
L’apodisation consiste à appliquer à chaque échantillon de l’interférogramme un coefficient qui est fonction de la différence de marche. Elle a été introduite au para- graphe 1.1.2.2. Les fonctions couramment utilisées sont les fonctions triangle, gaus- sienne. . . L’opération d’apodisation consiste à simplement modifier le poids des échan- tillons de l’interférogramme, on reste dans l’espace de l’interférogramme. Mise en équa- tion, l’apodisation s’écrit :
Iapo(δ) = f (δ)· I(δ) (3.53)
Avec f la fonction d’apodisation. Matriciellement, l’apodisation peut être effectuée en multipliant l’interférogramme à une matrice diagonale Dfapo telle que :
Dfapo(i,i) = f (δi) (3.54)
La matrice d’apodisation est de dimension (m× m) avec m le nombre d’échantillons dans l’interférogramme. L’interférogramme apodisé a pour expression :
Iapo = Dfapo I (3.55)
3.6.3.5 Matrice de convolution de la réponse instrumentale
On peut obtenir la matrice de convolution de la réponse instrumentale à l’aide des différentes matrices définies précédemment. Cette matrice permet de calculer, à partir d’un spectre a priori à résolution infinie, le spectre que mesurerait l’instrument. Pour cela, il suffit d’enchaîner les multiplications des matrices modélisant le processus de me- sure. Ces matrices sont dans l’ordre : la matrice de passage du spectre à résolution infinie à l’interférogrammme, la matrice d’apodisation de l’interférogramme et finalement la matrice de passage de l’interférogramme au spectre mesuré.
MSmes
Sinf = M
Smes
I × Dfapo× MISinf (3.56)
La matrice de passage du spectre à résolution infinie au spectre mesuré a pour dimen- sions (m× n) avec m le nombre d’échantillons dans le spectre mesuré et n le nombre d’échantillons dans le spectre à résolution infinie. Bien sûr, il y a moins de points dans le spectre mesuré que dans le spectre à résolution infinie (m < n). Cette matrice sera
couramment utilisée pour la comparaison des spectres mesurés aux spectres a priori. On peut noter que l’on pourra ne pas faire d’apodisation, il suffit alors que la fonc- tion d’apodisation f soit la fonction constante égale à 1, et, dans ce cas, la matrice d’apodisation est la matrice identité.
La matrice MSmes
Sinf est appelée matrice de convolution car elle est équivalente à la
convolution du spectre à résolution infinie par la réponse instrumentale du spectromètre. Les matrices de passage qui viennent d’être ici définies constituent un outil parti- culièrement intéressant pour la définition des modèles instrumentaux. Elles seront em- ployées pour le traitement des interférogrammes (par exemple pour calculer les spectres mesurés à partir des interférogrammes). On aura également recours à celles-ci dans le cadre de la procédure d’inversion, pour la définition du modèle direct. Par exemple, les jacobiens du CO2qui sont calculés dans le spectre par le code de transfert radiatif seront
ramenés dans l’espace de l’interférogramme grâce à la matrice de passage du spectre a priori vers l’interférogramme (voir le chapitre 4).