Au cours de cette quatrième séance, K., toujours intéressée par le jeu, sait ordonner les nombres plus grands que 100 en arrondissant à la centaine. Elle reconstitue correctement le nombre 98 à partir de sa décomposition. Elle choisit parmi un ensemble de nombres (16, 80, 78, 7, 68) celui qui ne contient que sept unités. Je ne peux toutefois pas prétendre qu'elle réinvestit les manipulations de la séance précédente puisque j'ai omis d’écrire un nombre comme 67 qui présenterait un chiffre 7 à la position des unités.
Par la suite, elle trouve trois façons différentes de décomposer le nombre 70. Elle reconnaît le nombre le plus petit entre 69 et 96 en m'expliquant qu’elle regarde le 6 et le 9 de la position des dizaines parce qu'elle n’a pas de truc pour les unités.
Elle reconstitue le nombre décomposé 200+20+1 et le compare correctement au nombre 100+20+1. Lorsqu'il s’agit de trouver le nombre entre 98 et 100, elle aura besoin d'explications supplémentaires pour comprendre s'il s'agit de compter le nombre de "pas" afin de trouver le nombre "entre" ou tout simplement de continuer la comptine des nombres. En effet, dans la classe, lorsqu'il faut trouver le nombre entre deux autres celui-ci est indiqué par un trait entre les deux nombres tandis qu'ici la formulation est différente. Cette observation m’indique la conservation d'un modèle te) que présenté chez elle et de ce fait, l'importance d'une exposition à une grande variété de modèles. La diversité des présentations favorisera possiblement la généralisation de ses procédures.
Par la suite, elle doit trouver le terme manquant dans l'équation 15+ =45. Elle se dirige vers le tableau puis écrit 15+45. Elle me dit que sur le carton l'équation est écrite de cette façon. Elle trouve donc le nombre 60. Elle vérifie au verso de la carte-consigne et s’étonne de découvrir 15+30=45. Elle réécrit l'équation correctement au tableau mais verticalement. Elle découvre facilement les trois dizaines manquantes en utilisant le double comptage comme s'il s'agissait d'unités puis hésite devant le 5 . Elle me dit que c'est difficile. Je lui demande ce qu'elle fera si elle a cinq unités au début et cinq unités à la fin . Elle est incapable de le trouver. Elle prend les bâtons. Je lui demande combien elle a de bâtons qui correspondent à la position des unités. Elle convient qu'il y en a cinq. Je lui demande combien elle en a à la fin. Elle veut reprendre cinq autres bâtons. Je l'arrête et lui demande ce qu'elle possède à la fin. Elle me dit: "Cinq". Je lui demande de me dire ce qu'elle a fait. Devant son silence, je lui demande si elle en a ajouté. Elle dit non. Je lui demande si elle en a enlevé. A nouveau, elle répond non. Je lui demande ce qu'elle a fait. Elle me dit: "Zéro". Puis elle découvre le terme manquant de l'addition (trois dizaines et zéro unités=30).
Le problème suivant porte à nouveau sur le terme manquant mais dans une opération de soustraction. Elle éprouve de la difficulté à lire l’équation. Je dois lui lire ainsi: "Soixante- dix j'enlève, je ne sais pas combien, et j'aurai soixante-cinq à la fin". C'est alors qu'elle décide de compter à rebours à partir de soixante-dix. Elle dira:"70, 69, 68, 67, 68, 67, 66, 65". Je lui suggère d'écrire ses nombres au tableau ce qui lui apportera un soutien visuel lui permettant d'observer son comptage. Elle commence à inscrire 70, 69, efface puis trace des traits au tableau en disant 70, 69, 68, 67, 67, 66, 65. Ma proposition ne peut donc pas lui permettre de s'auto-corriger. D'une part, elle ne compte pas les "pas" séparant chacun des nombres, elle calcule la quantité de nombres nommés. D’autre part, en inscrivant des traits correspondants aux nombres dits, elle ne peut observer l'erreur de comptage (un nombre dit
et les corriger.
Je lui propose de manipuler des bâtonnets afin de vérifier ce qu'elle vient de faire. Elle prend sept paquets de dix. Elle désire en enlever afin qu'il en reste soixante-cinq. Elle ôte une première dizaine puis une deuxième en disant: "69, 68". J'interromps son mouvement et lui demande: "Qu'est-ce que tu fais"? Elle m'explique qu'elle ne peut pas enlever d'unités. Je l’interroge afin de comprendre le pourquoi de cette affirmation. Elle rétorque qu'il y a zéro unité. Le problème lié au zéro à la position des unités n'est donc pas encore résolu. Je poursuis ainsi:" Avec quoi sont faites les dizaines"? "Avec des unités", me répond-elle surprise. Elle décide de "faire" un paquet de dix. J’interromps à nouveau son mouvement en
expliquant qu’il ne s’agit pas de ‘‘prendre" des paquets mais bien d'enlever quelque chose. Je lui demande si on doit enlever: "En sortant une des sept dizaines posées sur la table ou si on défait une des sept dizaines". Elle choisit d'abord de défaire une des sept dizaines. Ainsi, elle enlève l’élastique entourant un des sept paquets de dix puis retire cinq bâtonnets de disant 69, 68, 67, 66, 65. Elle observe le retrait de cinq unités. Je lui demande:" Est-ce que tu en as enlevé six comme c'est écrit au tableau?" Elle constate l'existence d'une unité supplémentaire au tableau. Je lui demande de recompter de la même façon qu'elle le faisait au tableau. Elle part de soixante-dix comme lors de son comptage initial et décide que cette première façon de faire est la bonne. Je lui demande alors s'il faut compter le nombre 70 lorsqu’on enlève une unité. Elle reconnaît que si on retire une unité: "Ca ne fait plus 70".
Comme je le constate ici, si elle récite convenablement la comptine à rebours, le comptage à rebours des objets pose encore problème. Son opération de double comptage est d'autant rendue difficile qu'elle ne fait pas la correspondance ici entre l'action d'enlever une unité et l'écart de "un pas" existant entre deux nombres.
Dans une autre tâche, elle compte 79+5 unités et découvre 84. Elle n'a pas juxtaposé les chiffres comme elle le faisait auparavant. Elle a pu expliquer la retenue même si elle a utilisé le double comptage pour résoudre son problème.
Enfin K. doit trouver les nombres qui sont plus petits que 109 parmi les suivants 901, 103,119, 190, 89. Elle identifie 103 et 89 mais confondra 901 et 90 à la première lecture du nombre.
4.5.1 Conclusion de la quatrième séance
Elle semble plus habile à déterminer la valeurs des chiffres dans un nombre et à comprendre la convention de la notation positionnelle. Toutefois, lorsqu'il y a des termes manquants dans les opérations d’addition et de soustraction comme 15+__=45 , elle ne sait pas lire l'équation. De plus, son comptage pose problème dans ces situations.
Pour K. chaque nombre semble devenir une étiquette attachée à l'objet qu'elle a pointé en récitant la comptine, un nom qui vient identifier cet objet. Elle n'y verrait donc pas une inclusion du plus petit nombre dans le plus grand. Ainsi, les nombres ne servent pas à "mesurer" une quantité mais à nommer des correspondances terme à terme sans lien entre elles, sans hiérarchie. Je pose l'hypothèse d'une telle difficulté à partir de l'observation de sa procédure dans le comptage à rebours lors de la résolution du problème 70-___ =65. A ce
moment, elle a posé un trait au tableau pour chacun des nombres dits et non pas un trait pour chacun des espaces entre les nombres. Elle faisait ce comptage et ce double-comptage de la même façon au cours de l'évaluation préliminaire et durant la première séance. Il est toutefois à remarquer que lorsqu'elle n'a pas à dessiner une représentation, elle compte correctement les objets à enlever.