La deuxième séance commence rapidement puisque K. connaît bien le jeu. En cours de séance, on verra K. utiliser le matériel (blocs multibases, bâtonnets, jetons, enveloppes, élastiques) qui, en tout temps demeure à sa disposition comme je l'ai précisé dans le chapitre de la méthode.
Elle trouve le nombre qui précède 95 en comptant à rebours. Elle dit de 60 qu’il contient 0 dizaine. L’endos de la carte-question lui démontre que 60 contient six dizaines. Elle
confond ici, la position et la valeur des chiffres dans un nombre. Compte tenu des observations antérieures, cette erreur semble attribuable à un problème de compréhension de la convention.
Par la suite, elle doit ajouter une unité au nombre 39. Elle déclare que cela fait 391. Elle démontre ici une compréhension intuitive de la valeur positionnelle des nombres. Elle juxtapose les chiffres les uns à côté des autres. Elle poursuit sa lecture de la consigne ainsi:” Et enlève deux dizaines”. Elle décide alors spontanément d'utiliser le matériel et pose trois bâtonnets pour les dizaines et neuf bâtonnets pour les unités, semble-t-il pour illustrer 39. Je lui demande ce que veulent dire les trois premiers bâtonnets posés sur la table. Elle m'indique qu'il s'agit de dizaines. Je lui explique que dans la classe il est convenu que ce ne sont pas des dizaines mais bien des unités. Je lui demande alors comment elle pourrait me montrer qu'il s'agit de dizaines. Elle reprend un des trois bâtonnets sur la table et me dit: "Je vais eff prendre dix”. Je lui demande ce qu'elle fera des deux bâtonnets qui restent sur la table et qui avaient été identifiées comme des dizaines au premier abord. Elle veut les remettre dans la boîte. Je lui demande par quoi elle les remplacera. Elle ne sait que répondre.
Je l'interroge afin de déterminer quel était le but de l'exercice. Elle semble avoir oublié. Je lui rappelle qu'elle voulait faire le portrait de 39. Elle acquiesce. Je lui demande: "Comment faire”? Elle me répond :”On met trois unités”. Je répète sa phrase d’un air interrogateur. Elle rectifie en disant: "Trois dizaines". Je lui demande ce que sont les dizaines. Elle sait qu’il s’agit de paquets de dix. J'ajoute:” Qu’est-ce que tu avais mis tout à l’heure. Elle se rappelle avoir utilisé des unités. Je lui demande ce qui lui indique qu'il s'agit d'unités. Elle sait me dire que ce ne sont pas des paquets, qu’elles ne sont pas par dix. Elle complète donc le portrait par neuf unités, obtenant ainsi une illustration correcte, puis elle continue le problème.
Elle doit ajouter une unité. Elle découvre qu’elle obtient dix unités et me dit que cela fait quatre centaines. Je répète après elle, l'air surpris. Elle reprend: ”439", juxtaposant encore les chiffres les uns aux autres malgré la manipulation. Je lui demande de me montrer où elle voit 400. Elle me montre les paquets de dix et compte 1, 2, 3, 4. Je lui demande de quoi il s'agit. Elle répond: "Quatre dizaines”. Je lui demande alors comment s'appelle le nombre formé de quatre dizaines. Elle ne s'en rappelle plus. Elle essaie: "Quatre centaines"? Puis elle rectifie se souvenant qu'il faut dix dizaines pour former une centaine.
Je lui demande: " Combien il y a de bâtonnets dans tout ça, en montrant les dizaines"? Elle me dit:" H y en a quatre... quatre dizaines. Dans ça, il y a des unités, dix dizaines". Je lui rappelle qu’il y a dix unités et qu’on peut appeler dizaine un paquet de dix unités. Je l’interroge afin de savoir comment s'appelle le nombre qui a quatre dizaines. Elle répète quatre dizaines. Je lui suggère d'écrire ce nombre. Elle réfléchit puis écrit 4. Je lui dis: "4 tout seul"? Elle reprend: "4 dizaines". Je lui demande à nouveau comment ça s’écrit. Elle me dit: "4 bien tu marques dizaines à côté". Je lui demande s'il y a une autre façon de l'écrire. Elle me dit:" 4... 10 bien oui, on met des dizaines 4, on met 4 dizaines...4 dizaines...4...4 unités...bien non".
Je lui propose de poursuivre le problème puisqu’on lui demande d'enlever deux dizaines. Elle me dit:" Ca va faire deux dizaines". Je lui demande comment s’appelle ce nombre. Elle répond: "10-20". Je lui demande comment elle a fait pour le trouver. Elle me rétorque qu’elle a compté. Elle reprend les quatre dizaines, les compte et découvre qu’il s'agit de quarante qui s'écrit avec un 4 et un 0. Elle semble prendre conscience maintenant que 4 dizaines et 40 sont équivalents.
K. ne sait pas reconnaître spontanément le nom du nombre associé à quatre dizaines. C’est un peu comme si l’apprentissage du comptage s'était fait de façon parallèle à ses expériences de manipulation, expériences qui pourtant auraient dû favoriser la compréhension de ce concept. Cette dissociation pourrait expliquer l'erreur faite au problème 39 + 1 = 391. Elle doit modifier le nombre mais pour ce faire ce dernier doit être perçu comme une entité et non comme une juxtaposition de chiffres les uns à côté des autres.
Par la suite, elle saura choisir, parmi les nombres présentés, celui qui contient sept unités. Elle saura, cette fois-ci, ajouter une dizaine au nombre 26 sans avoir besoin de le manipuler. Elle m’expliquera sa procédure (26 + une dizaine) et le comptage utilisé sera adéquat. Elle semble réutiliser la manipulation faite précédemment.
Elle pourra reconstituer un nombre (7 unités et 8 dizaines) puis comparer ce dernier au nombre 83 pour découvrir le plus grand. Elle choisira le symbole mathématique adéquat ( > ou < ) pour comparer des nombres. Elle sait inscrire le nombre 26 au bon endroit pour respecter l'ordre croissant de la suite 7,17,19, 23, 27. Elle utilise adéquatement le comptage un à un et à rebours lorsqu'il faut trouver les nombres avant et après 600. Elle ordonne correctement les nombres plus petits que 100 qui lui sont proposés. Elle sait trouver le terme
manquant dans 3 +__= 5 en utilisant le double comptage (3,4,5). Elle m’explique toutefois qu’elle le sait par coeur.
4.3.1 Conclusion de l'analyse de la deuxième séance
Au cours de cette séance, elle ordonne, compte un à un, dix par dix et à rebours de façon adéquate. Elle n'a pas eu à effectuer de comptage par deux ou par cinq, je n'ai donc pas pu vérifier l'atteinte de cette habileté au cours de la séance.
Les principales difficultés rencontrées sont les suivantes:
- modification d’un nombre par l'ajout d’unités (39 + 1 = 391),
- confusion entre la position des chiffres d’un nombre et la convention d'écriture (60 contient 0 dizaine),
- dichotomie existant entre le nom d’un nombre et sa représentation,
particulièrement lorsqu'il faut retrouver le nom d'un nombre et sa représentation symbolique à partir d'une manipulation concrète et ce, pour les manipulations avec un zéro à la position des unités (4 paquets de dix = 40).
L'apprentissage du comptage semble s'être fait de façon parallèle à ses expériences de manipulation, expériences qui pourtant auraient dû favoriser la compréhension du concept de numération. Les symboles numériques ne sont pas perçus comme une entité mais comme une juxtaposition de chiffres les uns à côté des autres, sans correspondance à une représentation
matérielle.
Au cours de la séance, elle apprend, semble-t-il, à utiliser en lui donnant un sens (réinvestir), la représentation de l'unité, de la dizaine et de la centaine. Elle le démontre en ïvuvùvant le nom d'un nombre par le comptage par dix de paquets de dix bâtonnets, en ajoutant une dizaine au nombre 26 sans problème, en reconstituant le nombre formé de 7 unités et 8 dizaines.