Analyse des entretiens : enseignants et formateurs en France

Dans cette section, nous analysons les entretiens des enseignants et formateurs. Ce groupe qui s'intéresse à l'histoire des mathématiques a de l'expérience dans l'enseignement dans le collège, le lycée, l'ESPE ou l'Université.

Les formateurs ont développé des recherches dans le domaine de l'histoire et de l'épistémologie des mathématiques. Les enseignants ont développé un intérêt particulier pour l'histoire des mathématiques, à la fois pour cultiver leurs propres connaissances mais aussi pour penser aux mathématiques à enseigner avec une perspective historique. Les enseignants interrogés participent également au groupe Enseignement des Mathématiques et Textes Anciens - EMTA de l'IREM de Lille.

Tout d'abord, nous avons lu les entretiens, en soulignant les commentaires pertinents liés aux conceptions de l'histoire des mathématiques. Les commentaires similaires, nous les regroupons et définissons les catégories qui les représentent. Nous proposons ainsi le schéma suivant, dans lequel deux points de vue sont pris en compte sur l'histoire des mathématiques pour la formation des enseignants. Dans chacun d'eux, nous observons que trois variables sont définies : des objectifs spécifiques, une façon particulière de travailler liée à ces objectifs et certaines difficultés liées à ceux-ci. Nous constatons également qu'il existe des objectifs, des méthodes de travail et des difficultés communs.

Figure 4.3 : Deux points de vue sur l'histoire des mathématiques.

Les entretiens nous ont permis de distinguer deux courants de pensée concernant la prise en compte de l'histoire des mathématiques. D'une part, l'histoire des mathématiques est considérée comme une discipline, et d'autre part, qu'elle a certaines potentialités comme ressource pédagogique. Ci-dessous nous présentons les catégories définies en regroupant les extraits des entretiens qui s'y rapportent.

H1) Histoire des mathématiques en tant que discipline

Cette catégorie est définie par des extraits d'entretien dans lesquels on exprime l'idée que les élèves devraient connaître l'histoire des mathématiques avant de s'en servir comme ressource pédagogique :

Évidemment les enseignants ils disaient « Ce texte là j'ai trouvé que c'était vraiment très intéressant, et je l'ai travaillé avec mes élèves ». Mais moi, je ne voulais pas le faire, c'était pas mon idée, c'était pas mon objectif. Ce n'est qu'en un second temps qu'on peut faire ça. Il faut déjà que les gens connaissent suffisamment l'histoire des mathématiques pour qu'ils se lancent à mettre l'histoire des mathématiques dans leur classe. (E1)

Dans ce courant, nous identifions également l'idée du lien entre l'histoire des mathématiques et la formation des enseignants, mais à un autre niveau de création d'activités pour la classe :

C'est vrai que ce groupe d'histoire et d'épistémologie des mathématiques, il est né de questions profondes, intellectuelle et philosophique, et par rapport à la matière qu'on enseignait. Toujours en rapport avec l'enseignement mais en même temps pas dans un rapport « activités en classe ». (D2)

Cependant, dans certains cas, l'opposition à une utilisation didactique est claire :

[les mathématiques] c'est pas juste un apprentissage scolaire. Et de ce point de vue-là on s'oppose complètement aux didacticiens. On est à l'opposé d'un didacticien. Parce que les didacticiens françaises ils ont inventé la transposition didactique, donc : savoir-savoir et savoir- enseigner, et nous on pense le contraire. Ils séparent et ils expliquent comment… et à partir du moment qu'on dit savoir enseigner, c'est bien qu'ils construisent un enseignement pour apprendre les mathématiques, c'est-à-dire qu'on apprend pour apprendre.

C'est ça la culture mathématique, c'est pas un truc scolaire. Sinon on réinvente les nouvelles mathématiques scolaires, qui n'ont ni queue ni tête alors que nous, on voudrait enseigner les mathématiques tel qu'ils sont construites pour l'humanité. (E1)

Dans d'autres cas, cette opposition n'est pas soulignée, mais l'accent est mis en priorité sur la défense de l'approche de la discipline :

Ce qui est dommage c'est qu'on puisse pas avoir avant le recrutement, quand ils sont pas encore en situation d'être profs. Un moment où l'on puisse leur donner cette culture là, un petit peu. (D5)

[…] j'ai retrouvé des petites niches de « irmeistes » qu'ils font de l'histoire à Grenoble, mais alors, là c'est complètement autre chose, en fait ils cherchent des activités. Là j'ai fais la Mésopotamie, les mayas, les chinoises, donc, voilà, pourquoi pas les égyptiens. Des activités pour la classe, c'est une toute autre démarche du coup. Peut être marrant mais c'est pas comme ça qu'on a monté l'idée. (D2)

Cependant, si aucun des sujets n'est lié au collège ou au lycée, il est possible de perdre facilement la motivation :

On est un peu comme les élèves la motivation quand on voit qu'on va pas pouvoir les utiliser en classe... la motivation elle est moins importante. (D4)

H2) Histoire des mathématiques comme ressource pédagogique

Certaines des personnes interrogées affirment qu'au début, la motivation d'utiliser l'histoire des mathématiques était personnelle, en général sans aucun type de formation ou d'objectifs pédagogiques concrets. N'ayant pas de formation, ils ont cherché des espaces collectifs de réflexion comme les groupes IREM :

[…] avant d'avoir une pratique moi, d'enseignant qui utilise l'histoire de maths, je l'ai fait en groupe avec mon groupe de travail de l'IREM de Reims, et c'est là que j'ai appris. Parce que ma formation avait été très courte. On n'avait pas de formation didactique de tout à l'époque à Lille, notre formation c'était essentiellement faire des exercices et maîtriser les mathématiques. […] On pensait à des problèmes à donner et quels étaient les objectifs qui pourraient être liés à ces problèmes. On n'avait pas beaucoup d'objectifs c'était surtout de donner ces problèmes qu'étaient intéressant pour nous. Les objectifs didactiques ils n'étaient pas explicites. (E2) Nous avions tous fait des choses de notre côté de façon isolée dans l'esprit d'une ouverture, d'une découverte, mais sans jamais aller au fond des questions didactique sous-jacente. Le groupe IREM permet ce travail là : passer le moment de proposer des activités mais en précisant dans quel but on le fait. (D3)

Ce manque d'objectifs concrets, pourrait produire une certaine peur, une insécurité par rapport à la maîtrise des sujets de l'histoire :

[…] j'ai fait beaucoup de stages de formation donc j'ai eu beaucoup d'enseignants avec moi, mais beaucoup de gens me disaient : « ah, c'est vraiment très intéressant mais je ferais pas en classe ». Ça a changé la façon de penser les choses mais ils n'aborderont pas l'histoire des maths directement avec leurs étudiants en classe. (E2)

Les enseignants qui ont commencé à participer aux stages de l'IREM l'ont fait en cherchant à utiliser l'histoire comme une ressource pédagogique :

[…] c'était pour la formation continue des enseignants. Les profs ils ont envie de se former, donc quand on propose quelque chose de différent, on a fait le plan. Et ça a servi aux inspecteurs, il y avait encore quatre, cinq ans... L'année dernière on a fait, on est des avalanches. Cette année on n'a pas fait pourtant on est loin d'avoir couvert les enseignants de l'académie parce que ça coûte trop cher. (D3)

Nous trouvons ici une différence par rapport au premier courant de pensée, puisque ce discours montre une compréhension différente de la problématique de la mise en œuvre d'une activité de classe inspirée de l'histoire :

Je pense que c'est pas facile de proposer et de faire une activité dans l'école ou dans le lycée ou collèges sans voir un exemple. C'est vrai que quand tu travailles des textes en proposant aux professeurs stagiaires, qu'est-ce qu'on pourrait en faire en classe, ça marche pas beaucoup. Il faut montrer comment on peut l'utiliser et puis après leur proposer de le faire. (E2)

Les gens du secondaire qui venait là ils cherchaient à acquérir des connaissances par rapport à eux mêmes, sur la compréhension des concepts et voir à partir de là qu'est ce qui pouvaient en tirer dans la manière de l'exposer. (D2)

En même temps, la différence des objectifs est reconnue comme un type particulier de compétence pour penser les activités pédagogiques à partir de l'histoire :

À l'IREM on avait un public fidèle qui ne venait pas pour les applications en classe mais qui venait pour ses connaissances. Après il est devenu un peu mixte où effectivement il y avait des gens qui avaient besoin de voir qu'on explique, mais on était bien incapable même, d'application au niveau de classe. (D2)

Et d'un sentiment à l'égard d'un travail « inachevé » lors d'un cours de remise à niveau sans expliciter le lien attendu avec les activités de la classe :

[…] quelques années auparavant j'avais demandé un stage du PAF de l'IREM, d'histoire des mathématiques. J'avais suivi ce stage et à la fin j'avais eu un coût d'inabouti en me disant « oui mais, et dans la classe ? ». On n'a pas fait lien avec ce qui se passe dans la classe. (D6)

Les enseignants de cours d'histoire qui sont également frustrés de voir la réaction désintéressée des stagiaires lorsque le cours ne répond pas à des objectifs pédagogiques spécifiques :

[les stagiaires] ont déjà des élèves donc qu'ils sont moins réceptifs, ils sont plus intéressés par des choses qui peuvent être utile en classe. Là j'essaye de plus les faire travailler sur justement, ce que peut apporter l'histoire des maths à la compréhension de notions mathématiques mais cette fois dans l'enseignement secondaire. Donc pour le moment j'essaye de faire les deux : de garder un petit peu d'épistémologie, parce qu'ils ont une formation uniquement mathématique, donc leur donner un peu un « vernis » on va dire. Et garder aussi un survol, très très survolé d'histoire, d'épistémologie pour qu'ils comprennent, n'estresse que la question, qu'on puisse se demander s'il y a une seule géométrie... et un tiers du temps pour le moment, pour l'utilisation de l'histoire des maths en classe, sur des exemples.

[…] J'essaye d'avoir les deux, jusqu'à présent je devrais même dire « j'ai essayé », parce que là j'ai à peu près décidé pour l'an prochain a ne plus garder que la deuxième, la dernière partie, c'est à dire l'utilisation en classes. Vu la réaction des étudiants au cours de ces dernières années,

ça devient de plus en plus difficile de les intéresser à ce qu'il va pas les servir dans leur classe. (D5)

Nous avons présenté les deux courants que nous avons identifiés. Dès le premier, nous soulignons la nécessité de connaître certains passages de l'histoire des mathématiques, comme la connaissance de la structure de la discipline. Nous comprenons que ces connaissances peuvent s'adresser à n'importe quel étudiant en mathématiques de niveau universitaire. Le deuxième point de vue est spécifique à la formation des enseignants. Nous présentons ci-dessous les spécificités de chaque cas, en ce qui concerne : les objectifs, les difficultés et la manière de développer la tâche. Évidemment nous trouvons des éléments communs aux trois catégories dans les deux courants.

Nous présentons ensuite les objectifs que nous avons identifiés lors des entretiens. Il est clair que ces objectifs sont ceux que l'on souhaite et qu'ils ne sont pas toujours atteints en raison des différentes difficultés que nous allons expliquer dans la section suivante.

Objectifs pour les étudiants en mathématiques en général

M1) L'un des objectifs les plus cités est de montrer les mathématiques comme une construction humaine et vivante :

Les cours d'histoire de mathématiques que j'ai donné, c'était pour amener soit les étudiants si c'était la formation initiale ou soit les enseignants en formation continue, c'est une manière de les faire penser les mathématiques. Et en particulier que les mathématiques sont quelque chose qui se pense.

[…] Quand je dis « penser les mathématiques » c'est ça, pas penser les mathématiques qui viennent de nulle part, sinon des mathématiques qui sont construites par des gens. (E1)

C'est pas seulement le savoir tels que nous on a trouvé et puis qu'on rédige pour le faire comprendre à nos élèves, c'est le savoir telle qu'il était quand les gens l'ont inventé. On fait étudier la pensée des savants plus que des mathématiques qui seraient immuables.

[…] Je me suis spécialisé dans l'étude de la géométrie pratique, sur le terrain. C'est l'idée que les mathématiques c'est pas seulement que sur la table, sur le bureau en classe, mais que ça peut être aussi aller sur le terrain prendre des mesures avec des instruments. (E2)

À la fois leur faire comprendre que les maths sont une activité et désacraliser les maths. L'idée aussi que un objet mathématique il est un peu maltraité historiquement, l'important c'était la pratique. Et que dans l'histoire les objets mathématiques ils ont tous été maltraités avant d'avoir eu le bon côté, et devenir l'objet propre.

[…] Les élèves ils pensent que les maths c'est ce qu'on fait là, et il n'y a pas d'histoire, mais qu'il a fallu 4000 ans pour arriver où on est. Déjà ça lui permet de se projeter sur eux mêmes, comme individus sur un passé, qui sont des héritiers de ce passé qui vont l'utiliser mais il ne savait pas le démontrer. (E3)

Je trouve que ça permet de fluidifier le discours de l'enseignant, de mieux faire comprendre certaines notions en essayant de montrer un peu comment c'est arrivé autrement qu'avec un parachute. (D1)

[…] l'intérêt à l'histoire des maths, pour la formation des profs, c'est pour leur montrer que les maths, d'abord n'arrivent pas toutes seules. Telle théorie n'est pas arrivée toute construite dans les manuels. Il y a bien fallu que quelqu'un… (D5)

M2) La cohérence interne et l'enchaînement de la discipline, ainsi que le fait qu'il n'y a pas de vérités absolues :

D'une part j'avais fait une conférence sur le sujet. Une conférence pour présenter le personnage [Fourier] et ses travaux, le fait que après lui il y a eu deux cents ans de mathématiques ininterrompues… même maintenant, je peux dire, puisque le prix Abel 2017 c'est Yves Meyer et c'est la ligne droite de Fourier. Donc, montrer que c'est un sujet historique qui a énormément d'influence sur le développement des mathématiques avec des jalons précis. (D1)

Donc le point de vue est à la fois mathématiques, de consolidation, de compréhension des notions, et à la fois, on voit d'une autre manière, bien entendu, d'une projection dans le passé de l'évolution des sciences et de la construction de la connaissance. (D3)

[…] les convaincre qui a pas qu'une vérité. Il y a quelques années sur géométrie non-euclidienne précisément, parce que c'est un très bon sujet. Je prends du temps là-dessous et donc sur le fait qu'ils puissent exister plusieurs parallèles à une droite donnée passant pour un point donné […]. (D5)

Je pense que c'est important d'intégrer l'avancée des choses, le savoir de l'humanité qui s'est construit petit à petit et qu'on va transmettre. Et tout ça il y a une cohérence dans la construction. (D6)

M3) Certains objectifs sont associés à l'approximation d'un texte et à la lecture, à l'éveil de la curiosité, et à un moment de repos ou « répit » entre deux passages techniques de mathématiques :

[…] une chose qu'on fait très peu en mathématiques c'est d'abord la lecture. Quand tu travailles avec des professeurs de secondaire tu te rends compte qu'ils donnent toujours les mêmes exercices, ils ne créent pas des textes. Il ne lis quasiment jamais, et parfois si ils lisent des revues et des choses comme ça, ils ne proposent jamais en classe une activité qui commence par la lecture. Si tu lis ce l'énoncé, puis tu fait tout de suite ton exercice. Ça c'est la première chose pour moi : l'approche du texte. (E2)

[J'ai perçu] que ça permet un contact par d'autres aspects avec les élèves, en particulier, un aspect moins technique, ces qui trouveraient au rébarbatif, pénible, la technicité mathématiques des gens qui sont peut-être plus orientés vers des goûts littéraires, artistiques… cela quelque chose qu'ils auraient eu tendance à considérer comme sans grand intérêt, tout d'un coup ça pourrait les intéresser. (D1)

Lui donner de souffle à son enseignement, du côté de l'enseignement. Lui donner un espèce de recul qui permet de voir ce qu'on enseigne en voyant différentes facettes. (D2)

Ils ne comprennent pas forcément tous, mais ils voyaient que la question se pose. Que c'est intéressant de demander ce qu'est un réel. […] je ne fais pas de construction de R parce qu'il faut passer 1 ou 2 heures minimum, même si on démontre pas tout. Je leur montre que la question se pose […]. (D5)

Objectifs spécifiques pour les étudiants en formation des enseignants

M4) Outre les objectifs susmentionnés, nous avons identifié dans les entretiens plusieurs objectifs que nous considérons comme spécifiques à la formation des enseignants. Nous commençons par cet extrait d'entretien qui montre clairement que la connaissance des mathématiques ne suffit pas pour enseigner cette discipline et qu'il est nécessaire d'avoir une connaissance plus large, comme nous l'avons vu depuis Shulman dans le deuxième chapitre :

[…] les professeurs de mathématiques ont été des bons élèves en mathématiques mais ça c'est pas suffisant pour enseigner. Pour enseigner il faut beaucoup plus que ça, il faut avoir une idée de comment les mathématiques sont une pensée, de comment se développent, etc. (E1)

Les maths font partie de la culture, et la culture mathématique c'est peut-être l'idée de faire des liens entre divers domaines entre la culture générale et les mathématiques qu'il y a dedans. (E2) Je pense que le travail peut se faire avec les tablettes et le numération ancien. Là c'est faisable, parce qu'on n'arrive à donner un support, ça peut être un travail interdisciplinaire avec un prof d'histoire par exemple, qui explique un peu l'histoire, pourquoi les gens écrivaient sur ce genre de support, etc. […] Même s'ils comprennent pas tout, c'est un peu une façon de montrer que les maths ont un côté aussi esthétique que c'est pas que utilitaire. (D4)

[…] avoir une ouverture sur la place des mathématiques dans le monde aussi, dans la société. Donc dans l'histoire, la place qu'elles [les maths] ont eu, la place qu'elles ont aujourd'hui, qu'est- ce qu'on transmet comme idée de la place des mathématiques aux élèves. (D6)

M5) L'histoire des mathématiques comme source de problèmes et identification des obstacles épistémologiques :

Et l'histoire peut permettre de trouver justement des problèmes qui vont permettre de surmonter ces difficultés. […] On peut trouver dans l'histoire de mathématiques des problèmes qu'on va ensuite poser aux élèves.

[…] « je lis des textes anciens et ça me permet de comprendre les difficultés des élèves et éventuellement trouver le moyen, en proposant le bon problème aux élèves, de les surmonter ». Parce que les difficultés elles existent. Autrement dit, ça qu'on apprend en histoire, en épistémologique en général, c'est que effectivement il y a des difficultés, il y a des moments de rupture des connaissances elles sont là on peut pas les gommé. Ils sont inhérents aux mathématiques. (E1)

Rudolf [Bkouche] disait beaucoup que quand on a une difficulté dans la notion, on ne peut pas l'éviter il faut arriver à la confronter et après la dépasser. Il disait « les mathématiques, le but c'est de faire du simple mais pour arriver à faire du simple il faut faire du très compliqué » pour