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I 166 A un degré près Solution proposée par Pierre Renfer

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Academic year: 2022

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I 166 A un degré près

Solution proposée par Pierre Renfer Soit O le centre du cercle.

Pour le faisceau à n°, le premier impact rouge est Q.

Dans le triangle isocèle POQ, les angles égaux mesurent : 90°- n°.

Donc l’angle au sommet mesure : 2n°.

Soit a(n) le PGCD de n et 180.

Alors le polygone régulier décrit par le faisceau a 180/a(n) sommets.

De même le faisceau à (n+1)° décrit un polygone régulier à 180/a(n+1) côtés.

Soit b(n) le PPCM de a(n) et a(n+1)

Alors le nombre de sommets communs aux deux polygones est 180/b(n)

Le nombre total de marques rouges est donc : R(n) = 180/a(n) + 180/a(n+1) – 180/b(n)

Un petit programme permet de calculer toutes les valeurs de R(n) strictement inférieures à 60 :

R(9)=36, R(15)=54, R(24)=48, R(35)=40, R(44)=48, R(54)=44, R(75)=54, R(80)=28, R(84)=48 Q₁ C’est pour n=80°, qu’on obtient la valeur minimale 28.

Q₂ Il n’y a pas de solution possible avec 45 marques.

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