D280 - Les polygones diophantiens

D280 - Les polygones diophantiens Solution

Soit un polygone diophantien P inscrit dans un cercle de diamètre D et de centre O et qui a n côtés dont les dimensions a₁,a₂,....,a_nsont des valeurs entières pas nécessairement distinctes. Il existe n!permutations de ces côtés qui donnent autant de polygones inscrits dans le même cercle. On considère par la suite que tous ces polygones se ramènent à un seul polygone défini par la séquence a₁a₂ a₃....a_n.

La longueur de la circonférence du cercle est égale à πD. L’entier n a donc pour majorant Ent[πD] où Ent[x] désigne la partie entière par défaut de la quantité x.

Il est facile de vérifier que pour D = 1, il n’y a aucun polygone P diophantien et c’est à partir de D = 2,qu’on obtient un hexagone régulier de côté 1 et un trapéze isocèle de côtés 2,1,1,1 dont la base est confondue avec le diamètre du cercle.

Un polygone P quelconque est inscrit dans le cercle de diamètre D si et seulement si : 1) la somme des angles au centre de sommet O qui sous-tendent les côtés du polygone

est égale à 2π quand P est centré ou diamétral

2) l’angle au centre de sommet O qui sous-tend le plus grand côté a_n est égal à la somme des n – 1 autres angles de même sommet qui sous-tendent les n – 1 autres côtés, quand P est excentré.

Selon la nature du polygone (centré = C, diamétral = D, excentré = E), on a donc les relations suivantes :

1) P centré : ) D asin(a

n

1 i





= π avec asin( ) qui désigne l’arc sinus.

2) P diamétral :

2 ) π D asin(a

1 - n

1 i

i 



et a_n= D.

3) P excentré : ) D

asin(aⁿ )

D asin(a

1 - n

1 i





A l’aide d’un programme informatique simple (en langage Visual Basic par exemple), n étant majoré par Ent[πD], on obtient toutes les configurations possibles pour les valeurs de D variant entre 2 et 15. Elles sont données dans le tableau ci-après :

Il apparaît que :

- il n’y a pas de polygone P pour D = 3,7 et 11.

- pour les autres valeurs de D, il existe toujours au moins deux polygones P et le nombre de côtés de P ne dépasse jamais 6 : P peut donc être triangle,

quadrilatère, pentagone ou hexagone.

- la première valeur de D pour laquelle il existe un polygone excentré est D = 14 et l’on a les polygones (2,2,11,13) et (2,7,7,13).