POSTBAC LOIS DE PROBABILITES discrètes DOC-Ex
JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois discrètes - Page 4 sur 24
1.2 Probabilités dans le cadre des combinaisons et partitions
1.2.1 Contexte
Soit un ensemble E contenant n éléments. Card(E) = n. dans lequel on doit piocher au hasard p éléments différents, sans tenir compte de leur ordre d’arrivée (nous sommes, dans ces conditions de tirage
simultané, dans le cadre du calcul de combinaisons). Considérons une partition de E en k ensembles : A1, A2,
…, Ak et nommons ni le cardinal de l'ensemble Ai
( ∑
ni=n)
.Le nombre des combinaisons de p éléments pris dans E qui contiennent exactement p1 éléments de A1, p2
éléments de A2, …, pk éléments de Ak
( ∑
pi= p)
est :C
np11× C
np22× × ... C
npkkRemarque : si l’on considérait n tirages successifs avec remise, on serait dans le cadre de la loi multinomiale traitée en partie 1.8)
1.2.2 Exemples
1. En choisissant au hasard 8 personnes dans un groupe composé de 15 hommes et 20 femmes, quelle est la probabilité que notre sélection contienne 5 hommes ?
Le nombre total de combinaisons de 8 éléments parmi 35 est C835 =23535820.
Le nombre de celles composées de 5 hommes (choisis parmi les 15 hommes) et 3 femmes (choisies parmi les 20 femmes) est : C515×C320=3423420
La probabilité cherchée est donc :
5 3
15 20
8 35
C C 3423420
0,1455
C 23535820
× = ≈ .
2. Quelle est la probabilité qu’une main de 8 cartes issues d'un jeu de 32 contienne exactement trois piques et deux carreaux ?
Le nombre total de combinaisons de 8 éléments parmi 32 est C832 =10 518 300.
Le nombre de celles composées de 3 piques (choisis parmi les 8 piques), de 2 carreaux (choisis parmi les 8 carreaux) et 3 autres cartes non piques et non carreaux (choisies parmi les 16 non piques et non carreaux) est : C38× ×C28 C163 =878 080
La probabilité cherchée est donc :
3 2 3
8 8 16
8 32
C C C 878 080
0,08348
C 10 518 300
× × = ≈ .
