POSTBAC LOIS DE PROBABILITES discrètes DOC-Ex JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois discrètes - Page 12 sur 24

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1.7 La loi binomiale négative (ou loi de Polya)

1.7.1 Contexte

Dans le cadre d’une loi binomiale, une variable X désigne le nombre d’échecs obtenus précédant le r-ième succès. X est alors distribuée par une loi binomiale négative de paramètres r et p.

La loi de Pascal est bien sûr parfaitement équivalente à la loi binomiale négative, hormis que sa variable est décalée d’un entier fixe : la loi de Pascal comptabilise le nombre total k d’essais jusqu’au r-ième succès, et la loi binomiale négative le nombre d’échecs jusqu’au r-ième succès, soit k – r.

1.7.2 Distribution

Si X est la variable aléatoire « nombre d’échecs avant r succès », alors ^X

( ) {

^{Ω =} ^{0 1}^, ^{, ...}

}

⁼^ℕ^{et :}

( )

^C^kk r ¹ ^r ^k

p X= =k _{+ −} p q ^.

1.7.3 Paramètres et résultats Son espérance mathématique est : ^{E X}

( )

^rq

= p et sa variance est :

( )

2

V X rq

= p .

1.7.4 Exemple

On tire au hasard une lettre de l’alphabet, plusieurs fois de suite avec remise. La variable X désigne le nombre de consonnes piochées jusqu’à l’obtention de trois voyelles. Déterminer l’espérance de cette variable et la probabilité que ce nombre soit égal à 10.

La situation est bien binomiale : succès = voyelle, échec = consonne, probabilité de succès constante 6

p=26. La variable X est donc distribuée par la loi binomiale négative de paramètres 6

p=26 et r=3.

( )

³ ²⁰₂₆ ²⁶₆ ³ ²⁰₆ ¹⁰

E X = × × = × = et

( )

¹⁰12 ³ ¹⁰

6 20

10 C 0,0588

26 26

p X    

= = ×  ×  ≈

    .