POSTBAC LOIS DE PROBABILITES continues DOC-Ex JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois continues - Page 3 sur 31

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2 Lois continues

2.1 Variable aléatoire continue : caractéristiques

Une variable aléatoire à densité est définie sur un intervalle ou une partie de ℝ et représente l’infinité de valeurs possibles dans ce domaine. On traitera ici de lois absolument continues.

La probabilité p(X = x) d’atteindre une valeur est donc de mesure nulle (une chance sur l’infini) – par exemple, la probabilité qu’une personne choisie au hasard sur Terre ait un âge donné (disons 20 ans) est nulle car cet instant est à rapporter à l’infinité des autres instants existants.

On ne peut donc que calculer la probabilité de se trouver dans un intervalle

] [

^{a b;} (où ces bornes peuvent être infinies) – par exemple la probabilité qu’une personne ait entre 20 et 21 ans. Celle-ci sera matérialisée par l’aire bordée par ces deux bornes et comprise entre une courbe et l’axe des abscisses.

La fonction correspondant à cette courbe est celle d’une fonction f, la densité de probabilité de la variable, dont l’unité est la probabilité divisée par l’unité de la variable, notion à rapprocher bien sûr à celle de concentration de fréquences en statistiques descriptives, et représentation graphique à rapprocher de l’histogramme correspondant.

Quent au diagramme des fréquences cumulées, il devient ici le graphe de la fonction de répartition (probabilités cumulées), F, qui est une primitive de f.

Une probabilité se solde donc ici par une intégrale, sur l’intervalle considéré.

L’espérance et la variance des lois à densité sont également obtenues par des intégrales, par le biais d’une fonction génératrice des moments (qui permet aussi d’accéder à des paramètres de forme).

L’espérance et la variance sont respectivement les moments d’ordres 1 et 2.

Ce document n’a pas pour objectif de présenter cette fonction.

Plus directement :

* l'espérance d'une variable aléatoire continue est : ^E

( )

^{X =}

∫

^{x×f x}

( )

^.dx

ℝ

.

* la variance d'une variable aléatoire continue est : ^V

( )

^{X =}

∫ (

^x−E

( )

^X

)

^{2×f x}

( )

^.dx

ℝ

, définition à partir de laquelle on retrouve d'ailleurs la propriété déjà connue : ^V

( )

^{X =E}

( )

^{X2 −E}

^{( )}

^{X 2.}