POSTBAC LOIS DE PROBABILITES continues DOC-Ex
JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois continues - Page 7 sur 31
2.4 La loi bêta
2.4.1 La fonction bêta
On la définit par l’intégrale B x y
( )
, =∫
01tx−1(
1−t)
y-1.dt où les parties réelles de x et y sont strictement positives. Lien avec la fonction gamma :( ) ( ) ( )
( )
,
x y
B x y
x y Γ Γ
= Γ +
2.4.2 Contexte
La loi Bêta s’applique dans divers cas, par exemple dans la formation d’intervalles de confiance dans le cadre d’une loi binomiale.
2.4.3 Distribution
Soit la variable X ditribuée par la loi B
( )
r s, .Sa densité de probabilité est : f x
( ) ( ) ( )
=B r s1, xr−1 1−x s−1 . (pour x ∈ [0 ; 1])2.4.4 Paramètres et résultats
Son espérance mathématique est : E X
( )
rr s
= + et sa variance est :
( )
( ) (
2 1)
V X rs
r s r s
= + + + .
Sa médiane ne possède pas d’expression formelle et son mode est : 1 2 Mo r
r s
= −
+ − . 2.4.5 Liens avec d’autres lois
Si X suit une loi uniforme sur [0 ; 1], alors le minimum et le maximum de X suivent deux lois bêta B(1, n) et B(n, 1).
