POSTBAC LOIS DE PROBABILITES continues DOC-Ex JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois continues - Page 5 sur 31

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2.3 La loi Gamma

2.3.1 La fonction gamma

La fonction gamma d’Euler est un prolongement de la notion de factorielle à l’ensemble des nombres, réels positifs ou complexes à partie réelle positive. On la définit par l’intégrale ^Γ

( )

^{x =}

∫

₀^{+∞tx−1e d−t. t.}

On montre que ^{Γ + = Γ}

(

^{x 1}

)

^x

( )

^{x , que Γ}

( )

^{1 =1}et donc dans le cas d’un entier n, ^{Γ + =}

(

^{n 1}

)

^n!.

Elle est étroitement liée à la transformée de Laplace, utile en traitement du signal, par exemple.

2.3.2 Les fonctions gamma incomplètes supérieure et inférieure

On définit la fonction gamma incomplète supérieure par ^Γ

( )

^{x s, =}

∫

_s^{+∞tx−1e d−t. t}

et la fonction gamma incomplète inférieure par ^γ

( )

^{x s, =}

∫

₀^{stx−1e d−t. t}

Quelques remarques et résultats :

( ) ( )

^{x,0 x}

Γ = Γ ^Γ

( ) ( ) ( )

^{x s, +}γ ^{x s, = Γ x}

(

^{x 1,s}

)

^x

( )

^{x s, sxe−s}

Γ + = Γ + γ

(

^x+1,s

)

^=xγ

( )

^{x s, −sxe−s}

( )

^{1,s e−s}

Γ = γ

( )

^{1,s = −1 e−s}

2.3.3 Distribution de la loi gamma

Soit une variable X distribuée par une loi gamma ^Γ

(

^p,λ

)

de paramètres strictement positifs.

Sa densité de probabilité est : ^{f x}

( ) ( ) ( )

^{=Γλp e−λx λx p−1} (pour x positif).

On rencontre aussi la loi gamma ^Γ

(

^p,θ

)

^{où θ=}_λ¹ est un paramètre d’échelle, alors que λ est dénommé paramètre d’intensité. On a alors :

( ) ( )

1 1

e

x p

f x x

p

θ θ θ

−   −

= Γ    ^.

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JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois continues - Page 6 sur 31 2.3.4 Paramètres et résultats

Son espérance mathématique est : ^{E X}

( )

^=pθ et sa variance est : ^{V X}

( )

^{=pθ2 .}

Sa médiane ne possède pas d’expression formelle et son mode est : ^Mo=

(

^p−1

)

^{θ pour p≥1.}

2.3.5 Liens avec d’autres lois

* une loi gamma ^Γ

(

^p,θ

)

concerne par exemple des équipements ou organismes subissant un vieillissement dans le temps qui altère leurs performances (pour un paramètre p strictement supérieur à 1).

Si p = 1, la loi Γ

( )

^1,λ est la loi exponentielle de paramètre λ : vieillissement sans altération.

* Lorsque p est entier, la loi gamma prend le nom de loi d’Erlang, dans laquelle la variable est la somme de p variables indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètre λ. C’est la loi du temps d’attente de p événements supplémentaires (sachant qu’un certain nombre se sont déjà produits), dans une succession décrite par une loi de Poisson.

* Si 2

p=d , (donc demi-entier), la loi 1 2 , 2 d λ

 

Γ = 

  est la loi ^χ2

( )

^{d .}