POSTBAC LOIS DE PROBABILITES discrètes DOC-Ex JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois discrètes - Page 11 sur 24

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1.6 La loi de Pascal

1.6.1 Contexte

Dans le cadre d’une loi binomiale, une variable X désigne le nombre d’essais nécessaires pour obtenir un nombre donné r de succès. X est alors distribuée par une loi de Pascal de paramètres r et p.

1.6.2 Distribution

Si X est la variable aléatoire « nombre d’essais pour atteindre r succès », alors ^X

( ) {

^{Ω =} ^{r r}^, ⁺¹^{, ...}

}

^{et :}

( )

^C^rk ¹¹ ^r

(

¹

)

^{k r}

p X= =k ⁻₋ p −p ⁻ ^.

1.6.3 Paramètres et résultats Son espérance mathématique est : ^{E X}

( )

^r

= p et sa variance est :

( )

2

V X rq

= p .

1.6.4 Exemple

On tire au hasard une lettre de l’alphabet, plusieurs fois de suite avec remise. La variable X désigne le nombre de tirages nécessaires pour obtenir trois voyelles. Déterminer l’espérance de cette variable et la probabilité que ce nombre soit égal à 10.

La situation est bien binomiale : succès = voyelle, échec = consonne, probabilité de succès constante 6

p=26. La variable X est donc distribuée par la loi de Pascal de paramètres 6

p=26 et r=3.

( )

^{3 26} ¹³

E X = ×6 = et

( )

²9 ³ ⁷

6 20

10 C 0,0705

26 26

p X    

= = ×  ×  ≈

    .