1 Lois discrètes

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POSTBAC LOIS DE PROBABILITES discrètes DOC-Ex

JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois discrètes - Page 3 sur 24

1 Lois discrètes

1.1 Loi uniforme

1.1.1 Contexte et distribution

Elle décrit l’équiprobabilité d’un nombre fini d’événements, formant un ensemble Ω que l’on peut associer à une partie finie de ℕ_.

Soit ^X

( ) {

^{Ω =} ^{x x}¹^, ²^{, ...,}^xⁿ

}

^⊂^ℕ. La variable aléatoire X est distribuée par une loi uniforme si : pour tout entier i compris entre 1 et n, ^{p X}

(

^xⁱ

)

¹

= =n

1.1.2 Paramètres et résultats Lorsque ^X

( ) {

^{Ω =} ^{1 2}^, ^{, ...,}ⁿ

}

^:

Son espérance mathématique est :

( )

¹

2

E X =n+ et sa variance est :

( )

² ¹

12 V X =n − . Son mode n’est pas unique : toute valeur de la variable est un mode.

Sa médiane est assimilable à sa moyenne, par symétrie de la distribution.

1.1.3 Exemple

Un dé est lancé, le chiffre obtenu est noté.

1. Donner l’espérance et la variance du résultat.

2. 10000 personnes lancent un dé. Donner un intervalle de confiance à 95% du score cumulé obtenu, et celui du score moyen.

1. ^X

( ) {

^{Ω =} ^{1 2}^, ^{, ...,}⁶

}

^.

( )

¹ ⁷ ^3,5

2 2

E X =n+ = = .

( )

² ¹ ³⁵ ^2,9167

12 12

V X =n − = ≈

2.

( )

^{10000 1,96} ¹⁰⁰⁰⁰

( )

^{35000 1,96} ³⁵⁰⁰⁰⁰

[

34655 ; 35335

]

total 12

I =E X × ± × ×V X = ± × =

( )

^1,96

( )

^{3,5 1,96} ³⁵

[

3,4655 ; 3,5335

]

10000 120000

moy

I E X V X

   

= ± × = ± × =

   

 