POSTBAC LOIS DE PROBABILITES discrètes DOC-Ex JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois discrètes - Page 13 sur 24

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1.8 La loi multinomiale

1.8.1 Contexte

Il s’agit d’une extension de la loi binomiale aux situations plus complexes que succès/échec : si le nombre d’événements partitionnant l’univers d’une expérience vaut au moins 3 (et si les tirages ou essais sont effectués tels que les probabilités de ces événements sont constantes), alors on parlera de loi

multinomiale.

1.8.2 Distribution

Soit X X₁, ₂,...,X_r r variables aléatoires comptabilisant des succès au cours de n essais, avec

( ) {

^{0 1, ,...,}

}

Xi Ω = n et soumises à des probabilités de succès constantes p p₁, ₂,...,p_r.

Ces variables répondent par hypothèse à des événements incompatibles : si, au cours d’un essai, une variable enregistre un succès, alors cela ne peut être un succès de plus pour les autres.

Dans ce cadre :

( ) ( ) ( )

(

^{1 1 2 2 ...}

)

_{! !... !}^{! 11 22...}

1 2

k k kr

r r r

r

p X k X k X k n p p p

k k k

= ∩ = ∩ ∩ = = . avec k₁+ + + =k₂ ... k_r n

Remarque : si l’on considérait n tirages ou essais simultanés, on serait dans le cadre des combinaisons et partitions traité en partie 1.2)

1.8.3 Paramètres et résultats

Les espérances sont : ^{E X}

( )

^{i =npi} et les variances sont : ^{V X}

( )

^{=np qi i .}

Les covariances des couples

(

^{X Xi, j}

)

^{sont : −np pi j .}

1.8.4 Approximation par une loi normale

Dans les cas où les valeurs k_i sont suffisamment grandes, le théorême central limit nous permet de dire que les variables ^{i i}

i i

X np np q

− sont distribuées approximativement par la loi normale centrée réduite.

Des variables X_i indépendantes nous feraient conclure que

( )

²

1 r

i i

i i i

X np K = np q

=

∑

− suit alors une loi du χ² à r degrés de liberté, mais la contrainte k₁+ + + =k₂ ... k_r n enlève un degré de liberté, et c’est en fait

( )

²

1 r

i i

i i

X np

K = np

=

∑

− qui suit une loi du χ² à r – 1 degrés de liberté. Cette remarque implique ensuite la

méthodologie du test du χ². (travaux de Bienaymé) 1.8.5 Exemple

Une urne contient 5 boules rouges, 8 blanches et 15 noires. On effectue 6 tirages successifs avec remise.

Quelle est la probabilité d’avoir obtenu 2 boules rouges, 1 blanche et 3 noires ?

Soit les événements E1 : « une boule rouge sort », E2 : « une boule blanche sort » et E3 : « une boule noire sort ». Au fil des 6 tirages, les variables X₁, X₂ et X₃ enregistrent les nombres de boules de chaque couleur. ^p

( (

^{X1= ∩2}

) (

^{X2= ∩1}

) (

^X3=3

) )

⁼_{2 1 3! ! !}^{6! }_28^{5   }_{ }² ₂₈^{8   }_{ }^{1 15}₂₈^_^3≈0,0007