POSTBAC LOIS DE PROBABILITES continues DOC-Ex
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2.5 La loi exponentielle
2.5.1 Contexte
La variable aléatoire X est définie sur ℝ+ et désigne généralement la durée de vie d’un objet ou d’un organisme.
Choisissons de parler d’un appareil dont la durée de vie sera exprimée en jours, par exemple. Cette loi décrit les situations où la probabilité d’une durée de vie dépassant x jours est identique à la probabilité que la durée de vie dépasse t + x jours, sachant qu’elle a déjà atteint x jours.
Par exemple : si cet appareil a déjà fonctionné correctement pendant 50 jours, la probabilité qu’il fonctionne au moins deux jours de plus est égale à la probabilité qu’il avait au départ de fonctionner au moins deux jours (les 50 jours d’utilisation n’ont pas d’impact significatif sur la probabilité qu’il tombe en panne, en comparaison de son état neuf).
Cette loi est donc adaptée aux objets ou organismes dont la durée de vie en bon état est très longue en comparaison des durées auxquelles on s’intéresse.
2.5.2 Distribution
Sa fonction de répartition est : F x
( ) (
=p X≤ = −x)
1 e−λx .En effet : p X
(
≥ +x t X/ ≥ =t) (
p X≥x)
⇒p X(
≥ + =x t) (
p X≥ ×x) (
p X≥t)
En notant ϕ
( ) (
x =p X≥x)
, on a donc ϕ(
x t+ =) ( ) ( )
ϕ x ×ϕ t , ce qui est caractéristique des fonctions exponentielles : ϕ( )
x est de la forme C.ekx.( )
0 1 C 1ϕ = ⇒ = , F x
( )
= −1 ekx et comme xlim→+∞F x( )
=1, k se doit d’être négatif : on le notera −λ. Sa densité de probabilité est alors : f x( )
=λe−λx .car f x
( )
=F x′( )
λ est appelé intensité de la loi, et son inverse est dénommé facteur d’échelle.
On la rapprochera de la loi géométrique : dans cette dernière, la probabilité de succès à l’essai suivant est constante et en particulier ne dépend pas du nombre d’échecs obtenus précédemment (le hasard n’a pas de mémoire), ce qui
donne une distribution de probabilités dont la décroissance se fait « au même rythme » que celui d’une loi exponentielle (relation forte entre les suites géométriques et les fonctions exponentielles)
2.5.3 Paramètres et résultats
Son espérance mathématique est : E X
( )
=λ1 et sa variance est :( )
2V X 1
=λ .
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En effet,
( )
0 .( )
. 0 . . .0 intégration par parties
e 1
d e d e
x
x x
E X x f x x x x x
λ λ λ
λ λ λ
− +∞
+∞ +∞ − −
= = = − + =
−
∫ ∫
.On procédera à une double intégration par parties de
∫
0+∞x f x2.( )
.dx pour la variance.Sa valeur médiane est le nombre xm tel que F x
( )
m =50%. On a alors : xm ln2 ln2 E X( )
= λ = × En effet, F x
( )
m =0,5⇔e−λxm =0,5⇔ −λxm= −ln2.Son mode est : Mo=0
2.5.4 Exemple : Désintégration du carbone 14
La désintégration d’un noyau radioactif est un événement aléatoire qui correspond au contexte d’une loi exponentielle : par exemple, la probabilité qu’un noyau nouvellement formé se désintègre au cours de sa première année d’existence est égale à la probabilité qu’un noyau « âgé » de 100 ans se désintègre dans un délai d’un an supplémentaire.
On définit la durée de demi-vie, ou période, d’un noyau comme étant la durée pendant laquelle la moitié des noyaux restants vont se désintégrer. Pour le carbone 14, cette demie-vie vaut 5730 ans.
Elle est notée t1/2 et est par définition la valeur médiane d’une variable temps T exponentielle.
La vie moyenne, quant à elle, est souvent notée τ (« tau ») en radioactivité par exemple, et on a donc : t1/2 = τ × ln2 , τ 1
=λ, F t
( )
= p T(
≤ = −t)
1 e−τtPour le carbone 14, t1/2 = 5730, donc τ = 8266,6 et F t
( )
= −1 e−0 ,000121t.Un organisme mort, ne renouvelant plus son carbone 14 via son alimentation*, voit son taux de carbone 14 restant diminuer avec le temps avec l’expression e−0,000121t =taux. Ainsi, on peut exprimer la durée écoulée en fonction du taux mesuré : ln
( )
0,000121 t= taux
− . Par exemple, si ce taux n’est que 3,5%, alors l’organisme est mort depuis : ln
(
0,035)
277130,000121
t= ≈
− ans.
* le carbone 14 est renouvelé à un rythme constant dans l’atmosphère par l’impact des rayons cosmiques sur les atomes de carbone 12 présents, puis est absorbé par les plantes terrestres et le plancton végétal et remonte la chaîne alimentaire : herbivores et enfin carnivores, tout en se désintégrant progressivement comme on vient de le voir.
