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2.11 La loi normale (ou 2

^de

loi de Laplace)

(« loi normale » : appellation due à Pearson, qui inventa aussi le terme « standard deviation », soit : « écart type », ainsi que la notion d’histogramme)

2.11.1 Contexte

La loi normale est la loi continue généraliste par excellence. Elle décrit la distribution d’une variable qui est elle-même la somme de plusieurs variables indépendantes, de lois diverses, et à ce titre elle trouve de nombreuses applications : plus un paramètre dépend de multiples facteurs aléatoires et indépendants, plus sa distribution est proche d’une loi normale.

Soit une variable aléatoire X, de moyenne µ et d'écart type σ. (E(X) = µ^{; V(X) =}σ^²)

On dit que sa loi de probabilité est

N

(µ^,σ) lorsque sa densité de probabilité s'exprime par :

( )

1 2

1

2

e 2

x

f x

µ σ

σ

−

 

−  

 

= π

Remarque 1 : les courbes de ces fonctions sont des "courbes en cloche" (dites "courbes de Gauss").

Remarque 2 : Une telle courbe possède deux points d'inflexion, aux abscisses µ^-σ^etµ⁺σ^. On peut donc se représenter l'écart type graphiquement.

Remarque 3 : on peut retenir quelques résultats-types :

p(µ^-σ < X < µ⁺σ) = 68,3 % environ p(µ^{- 1,96}σ < X < µ^{+ 1,96}σ) = 95 % environ

p(µ^{- 2}σ < X < µ^{+ 2}σ) = 95,4 % environ p(µ^{- 2,58}σ < X < µ^{+ 2,58}σ) = 99 % environ

graphiques de la loi N (25 , 10)

2.11.2 La loi normale centrée réduite N (0 , 1) Pour cette loi particulière, de moyenne 0 et

d'écart type 1, la variable sera notée U et ses valeurs u.

La remarque 3 précédente donne ici : p(-1 < U < 1) = 68,3 % environ p(-1,96 < U < 1,96) = 95 % environ p(-2 < U < 2) = 95,4 % environ p(-2,58 < U < 2,58) = 99 % environ

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JF.Ferraris – Mathématiques – Stats/Proba – Lois continues - Page 15 sur 32 2.11.3 Changement de variable : passage de N (µ^,σ^{) à}^N^{(0 , 1)}

On est parfois dans l'incapacité de résoudre un problème dans une loi normale "non centrée réduite", notamment lorsqu'un paramètre reste inconnu. Il conviendra alors de se ramener à la loi

N

_{(0 , 1).}

X est distribuée par

N

₍_µ_,_σ₎_⇔_U ^X ^µ

σ

= − est distribuée par

N

_{(0 , 1).}

U est distribuée par

N

_{(0 , 1)}_⇔_X _{= +}_µ _U_σ est distribuée par

N

₍_µ_,_σ_).

Ainsi : ^p

(

^X ^<^x

)

⁼^p^^_^U^< ^X_σ⁻^µ^^_

Quelle que soit la variable employée, la

probabilité cherchée est l'aire d'une unique zone colorée. Appliquer le changement de variable donné ci-dessus ne fait que modifier les valeurs portées en abscisses, mais ne déforme pas la courbe ! Par exemple, l'abscisse µ ^+0,5σ^{pour X} correspond à l'abscisse 0,5 pour U (d'après le changement de variable) et donc

p(X < µ ^{+ 0,5}σ) = p(U < 0,5).

2.11.4 Approximation d'autres lois par une loi normale Représentons quelques distributions discrètes, en choisissant n, a, N :

n = 10, a = 500, N = 5000 n = 50, a = 500, N = 5000 n = 200, a = 500, N = 5000

On peut faire un certain nombre de remarques :

* dans cet exemple, p = 0,1. Cette probabilité de succès n'est pas très faible, ce qui fait que le critère de fiabilité "np < 10" de la loi de Poisson n'est pas partout respecté.

* la taille de la population (N = 5000) est plutôt grande devant n, ce qui fait que les résultats des lois hypergéométrique et binomiale sont assez similaires.

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* plus n augmente, plus la distribution des probabilités semble symétrique, autour d'une valeur qui est en fait la moyenne, l'espérance, de la série, dans chaque cas.

* plus n augmente, plus la distribution des probabilités semble suivre une courbe, dont on sent qu'elle pourrait être unique, ou en tout cas qu'elle pourrait appartenir à une unique famille de fonctions.

Lorsque n devient grand, les lois hypergéométrique, binomiale et de Poisson deviennent proches d'une loi normale. Lorsqu'on se trouve dans le cas d'une d'elles, on peut utiliser une loi normale (qui donnera des probabilités proches de la réalité) sous les conditions suivantes :

Critères d'approximation d'une loi binomiale par une loi normale :

Avec

B

(n , p), si n > 30 , np > 5 et nq > 5 , alors on peut utiliser

N

₍_µ_,_σ_{) avec}_µ_{= np et}_σ₌ _npq

Critères d'approximation d'une loi de Poisson par une loi normale : Avec

P

₍_λ_{), si}_λ > 20 , alors on peut utiliser

N

₍_µ_,_σ_{) avec}_µ₌_λ_et_σ₌ _λ

Attention, toutefois :

Dans un problème discret, où la v.a.r. X ne peut prendre que des valeurs entières (exemple le plus fréquent), on veut calculer p(X = k).

Or la loi normale ne permet que de calculer des probabilités sur des inégalités.

Dans ce cas, on appliquera la règle suivante : p(X = k) = p(k- 0,5 < X < k + 0,5)

Les deux lois citées ici, binomiale et Poisson, sont discrètes, si bien que X (nombre de succès) ne peut prendre que des valeurs entières : X = 3,8 n'a pas de sens pour elles, par exemple. Or on a vu que l'emploi de la loi normale pour modéliser un cas discret transformait tout entier en un intervalle de largeur 1 autour de cet entier.

Dans des cas discrets entiers, les nombres 3, 0, ou 8 par exemple seront à traduire en loi normale par les intervalles [2,5 ; 3,5], [-0,5 ; 0,5], [7,5 ; 8,5].

La probabilité que X soit supérieur ou égal à 10 s'exprimera à travers une loi normale par p(X > 9,5) ; la probabilité que X soit strictement supérieur à 10 deviendra à travers une loi normale p(X > 10,5), la probabilité que X soit égal à 10 étant p(9,5 < X < 10,5).