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Lois usuelles discrètes Chapitre 4 C P

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1 Royaume du Maroc

Ministère de l’Education Nationale,

de la Formation Professionnelle, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Secrétariat d’Etat Chargé de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

L ICENCE F ONDAMENTALE

S EMESTRE 2

(Séances 7 et 8)

C OURS DE P ROBABILITE

PR SMOUNIRACHID

Chapitre 4

Lois usuelles discrètes

Introduction

De nombreuses situations pratiques peuvent être modélisées à l’aide de variables aléatoires qui sont régies par des lois théoriques typiques. Il importe donc d’étudier ces modèles probabilistes qui pourront nous permettre par la suite d’analyser les fluctuations de certains phénomènes en évaluant, par exemple, les probabilités que tel événement ou tel résultat soit observé dans la réalité.

La connaissance et la maitrise de ces concepts théoriques possède plusieurs avantages sur le plan pratique :

 Les observations d’un phénomène particulier peuvent être remplacées par l’expression analytique de la loi où figure un nombre restreint de paramètres (moyenne et écart type).

(2)

2

 La loi théorique agit comme modèle en simplifiant et en réduisant les anomalies de la distribution empirique. Ces irrégularités sont souvent inexplicables et proviennent de fluctuations d’échantillonnage, d’imprécision d’appareils de mesure ou de tout autre facteur résiduel.

 Des tables de probabilités ont été élaborées pour les lois les plus importantes dans le but de simplifier les calculs.

Nous allons présenter dans ce chapitre trois distributions discrètes à savoir la distribution binomiale, la distribution hypergéométrique et la distribution de Poisson.

(3)

3

I- La loi de Bernoulli

C’est un modèle simple et introductif qui permet d’introduire des lois plus complexes.

1- Définition

La variable aléatoire X de Bernoulli, peut prendre uniquement deux valeurs mutuellement exclusives, 0 et 1(oui, non ou boules blanches, boules noires ou échec, succès….), et p, la probabilité liée aux deux valeurs exclusives, est représentée dans le tableau suivant :

2- Caractéristiques

 Espérance E(X) = p

 Variance

V (X) = p x (1 − p) = pq

3- Exemple de loi de Bernoulli

Le lancer une seule fois une pièce de monnaie ;

L’extraction d’une boule dans une urne ne contenant que deux types de boules ; La réponse à une question par vrai ou faux, oui ou non etc….

Xi 0 1

P(X=xi) q=1-p P

(4)

4

II- La loi Binomiale

C’est un modèle composé de n lois de Bernoulli indépendantes.

Nous avons déjà rencontré cette loi dans les épreuves itératives. Si le tirage est avec remise, (c’est-à-dire que la probabilité liée à la variable aléatoire reste constante quel que soit le nombre de tirage) et si on est en présence de deux situations mutuellement exclusives.

Cependant, il convient de préciser qu'il y a deux façons de procéder au tirage de n boules dans l’urne :

1- Tirage avec remise (non exhaustif)

On prélève une boule, puis une autre après remise de la première dans l'urne, puis une troisième après remise de la seconde… etc. Les prélèvements successifs sont donc indépendants puisque la composition de l'urne est la même avant chaque prélèvement,

2- Tirage sans remise (exhaustif)

On prélève dans l’urne chacune des « n » boules sans remise des précédentes et les prélèvements ne sont plus indépendants, la composition de l'urne étant modifiée par les prélèvements précédents.

 Au premier mode de tirage est attachée la loi binomiale ;

 Au second, la loi hypergéométrique.

- Définition de la loi Binomiale

C’est le cas d’un tirage avec remise dont lequel la probabilité lié à la variable aléatoire reste constante.

La variable aléatoire binomiale est donnée par la formule suivante :

(5)

5

. )

( X k C

nk

p

k

q

n k

P   

On a bien :

1 ) (

) (

0 0

n k n k n

k k n n

k

q p q

p C k

X P

« X » suit une loi binomiale de paramètres (n et p) est notée

) , ( n p B

X

.

Ainsi, X suit une loi de Bernoulli de paramètre p est notéXB(1,p).

2-1 Caractéristiques

Espérance E(X) = 𝑛𝑝

Variance

V(X) = 𝑛𝑝𝑞 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

Ecart type

σ(X) = √𝑛𝑝(1 − 𝑝)

Exemples typiques de loi Binomiale

Le lancer de n pièces de monnaie (on s’intéresse au nombre d’obtentions de pile, de face).

Le tirage avec remise de n boules dans une urne ne contenant que deux types de boules (on s’intéresse au nombre de boules extraites d’un même type, . . .).

La loi binomiale des fréquences relatives

Soit la variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres (n et p), tel que

XB ( n , p )

. On note alors Fn la variable aléatoire tel que :

F

n

= X

n

(6)

6

On aura alors :

 Espérance d’une fréquence E(Fn) = p

 Variance d’une fréquence V(Fn) = 𝑝𝑞

n

Exemples d’applications

1- Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre n = 4 et p

= 0,2.

- Quelle sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ainsi que les probabilités associées ?

Solution

La variable aléatoire X prend toute les valeurs entières entre 0 et 4.

k k

k k

n k

k

p q C

C k

X

P (  ) 

4

4

( 0 , 2 ) ( 0 , 8 )

4

En effet,

4096 , 0 ) 8 , 0 ( ) 2 , 0 ( )

0

(

X  C40 0 4P

4096 , 0 ) 8 , 0 ( ) 2 , 0 ( )

1

(

X  C14 1 3P

1536 , 0 ) 8 , 0 ( ) 2 , 0 ( )

2

(X  C42 2 2P

0256 , 0 ) 8 , 0 ( ) 2 , 0 ( )

3

(

X  C43 3 1P

016 , 0 ) 8 , 0 ( ) 2 , 0 ( )

4

(

X  C44 4 0P

D’où le tableau suivant :

(7)

7

xi 0 1 2 3 4 Total

pi 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016 1

2- On considère un lot de 40 pièces. La probabilité pour qu’une pièce soit défectueuse est p = 0, 09.

Calculez les probabilités :

- De n’avoir aucune pièce défectueuse dans le lot.

(Réponse : P

(

X

0 )

C400

( 0 , 09 )

0

( 0 , 91 )

40

0 , 023

)

– D’avoir au plus deux pièces défectueuses dans le lot. C’est-à-dire aucune pièce défectueuse, une ou deux :

(Réponse :

40 0

0

40(0,09) (0,91)

C + C140 (0, 09) (0, 91)39 + C240 (0, 09)2 (0, 91)38 = 0, 289)

– Sur ces 40 pièces, en moyenne, combien de pièces devront être défectueuses ? (Réponse : E(X) = 40 x (0, 09) = 3,6 et donc on doit s’attendre à ce que 3 ou 4 pièces devront être défectueuses).

(8)

8

III- La loi Hypergéométrique

C’est un modèle composé de n lois de Bernoulli dépendantes. Nous l’avons déjà rencontrée dans les épreuves itératives. C’est le cas d’un tirage sans remise.

- Définition

La variable aléatoire hypergéométrique X est donnée par la formule :

n N

k n Nq k

Np

C C k C

X P

 ) (

X suit une loi hypergéométrique de paramètres N, n et p est noté X~H(N, n, p).

- Caractéristiques de la loi Binomiale

Espérance np X

E

( )

Variance

(Le rapport est appelé coefficient d’exhaustivité).

Ecart type

σ(X) = √𝑛𝑝𝑞𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1

- Exemples typiques de loi Hypergéométrique

Le tirage sans remise de n boules dans une urne ne contenant que deux types de boules (on s’intéresse au nombre de boules extraites d’un même type, . . .) ;

- Exemples d’applications ) 1

( 

 

N n npqN X

V

1

N

n N

(9)

9

1- Dans une petite entreprise, sont employés 6 ouvriers et cadres ingénieurs. Le directeur souhaite prendre l’avis de son personnel, interroge au hasard 7 personnes.

Soit X, la variable aléatoire « nombre d’ouvriers interrogé ».

a- Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? b- Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? c- Calculer la probabilité d’interroger 4 ouvriers ?

Solution :

a- Le Tirage est sans remise. On de plus deux choix possible : interroger l’ouvrier ou ne pas l’interroger. La variable aléatoire X suit une loi hypergéométrique tel que : XH(N,n, p).

11 . 7 6

, 5 ,

6 ,

11

12   

N N n et p

N

b- Le minimum d’ouvrier à interroger est 2 et le maximum est 6.

C’est-à-dire :

 2 ouvriers et 5 cadres ;

 3 ouvriers et 4 cadres ;

 4 ouvriers et 3 cadres ;

 5 ouvriers et 2 cadres ;

 6 ouvriers et 1 cadre.

En effet :

330

) 15 2

(

7

11 5 5 2

6  

C

C X C

P

330

) 100 3

(

7

11 4 5 3

6  

C

C X C

P

330

) 150 4

(

7

11 3 5 4

6  

C

C X C

P

(10)

10

330

) 60 5

(

7

11 2 5 5

6  

C

C X C

P

330

) 5 6

(

7

11 1 5 6

6

 

C

C X C

P

D’où le tableau suivant :

xi 2 3 4 5 6 Total

pi

330 15

330 100

330 150

330 60

330

5 1

c-

0 , 455 .

330 ) 150

4

(

7

11 3 5 4

6   

C

C X C

P

2- Un électricien achète des composants par paquets de 10. Sa technique de contrôle est de n’examiner que trois des composants, tirées au hasard dans le paquet et de n’acheter le lot des 10 paquets que si les trois composants examinées sont sans défaut. Si 5% des paquets contiennent deux composants défectueuses, si 25 % n’en contiennent qu’un et si 70 % n’en contiennent aucun, quelle est la probabilité que l’électricien achète un paquet.

Solution :

On note A l’événement : «l’électricien achète un paquet » et Bi l’événement : «le paquet contient i composants à malfaçon». On a :

) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )

(A P A B2 P B2 P A B1 P B1 P A B0 P B0

p   

70 , 0 25

, 0 05

,

0

3

10 0 0 3 10 3

10 0 1 3 9 3

10 0 2 3 8

C C C C

C C C

C

C  

600

539

(11)

11

IV. La loi de Poisson

1- Définition

La variable aléatoire X, qui suit une loi de Poisson, peut prendre une infinité de valeurs x= 0, 1, 2 . . ., et la probabilité P (qui dépend du paramètre λ) est donnée par :

- Soit X la variable aléatoire discrète de paramètre

λ

.

Utilisée pour modéliser le nombre d’apparitions d’un événement rare. La loi de Poisson est utilisée lorsque l’étude statistique porte sur un phénomène très rare et/ou lors que ce phénomène est lié au temps.

Si une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre tel que :

X P( λ ).

On a bien :

- La loi de Poisson peut être dérivée :

 Comme la limite d'une loi binomiale, quand n  et p0 de telle sorte que

np  

.

 Pour cette raison, on dit que la loi de Poisson décrit les événements rares.

- Caractéristiques de loi de Poisson

! . )

( k

k e X P

k

! 1 )

(

0 0

  

k k

k

k k e

X P

 ) ( X E

)

( X

V

(12)

12

- Additivité de deux variables aléatoires indépendantes de la loi de Poisson On suppose que :

 .

Lorsque X et Y sont indépendants :

- Exemples d’applications

a- Le nombre de téléphone portable vendus chaque jour dans une grande surface suit une loi de Poisson de valeur moyenne est égale à 4.

Calculer la probabilité que dans une journée : - On ne vende aucun téléphone portable ?

- On vende exactement 4 téléphones portables ? - On vende au moins un téléphone portable ?

- Le nombre de téléphone portable vendu soit compris entre 2 et 6 ? Solution :

Soit X la variable aléatoire qui détermine le nombre de téléphone portable vendus dans cette grande surface. De plus on sait X suit une loi de Poisson tel que P( 4).

. 018 ,

! 0 0 ) 4

0 (

0

4

e

X P

Par lecture sur la table de loi de poisson de P(X=k) pour ( 4)et pour une valeur de k=i.

. 195 ,

! 0 4 ) 4 4 (

4

4

e

X P

. 982 ,

! 0 0 1 4 ) 0 (

1 ) 0 (

0

0

e

X P X

P

. 798 , 0 ) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 6 2

(  X   P X   P X   P X   P X   P X   P

Ou bien :

) ( 

P X

) (' P Y

) (   

'



Y P

X

(13)

13

. 797 , 0 092 , 0 889 , 0 ) 2 (

) 7 (

) 6 2

(  X   P X   P X    

P

b- Etudions, la loi des accidents sur les autoroutes nationale, qui avance que le nombre moyen « X » des accidents par jour est de 1 tel que P

(  )

avec

(   1 )

. Calculer la probabilité d’avoir plus de 3 accidents par jour ?

Solution

Soit X la variable définie comme le nombre des accidents par jour sur les autoroutes nationales.

Avoir plus de 3 accidents par jour peut être formulé comme suit :

Donc :

) 3 (

1 ) 3

( X    P XP

) 3 (

) 2 (

) 1 ( ) 0 (

) 3

( X   P X   P X   P X   P XP

1 0

1

! 0 ) 1 0

(

e e

X P

1 1

1

! 1 ) 1 1

(

e e

X P

2

! 2 ) 1 2 (

1 2

1

e e

X P

6

! 3 ) 1 3 (

1 3

1

e e

X P

3 1 8 ) 3 (

1

e

X

P

(14)

14

V- Approximation des Lois

- Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale La loi binomiale approche la loi hypergéométrique lorsque :

N tend vers l’infini, pour une probabilité P Є [ε, 1− ε] , où ε > 0.

On suppose donc que XN~H(N, n, p) et donc :

Nous nous proposons de montrer que sous les conditions précédentes.

- Approximation de la loi de Poisson par la loi binomiale

La loi binomiale approche la loi de Poisson lorsque n tend vers l’infini, pour : .

Généralement l’approximation dans ces deux cas de figure est satisfaisante : 1- lorsque la taille de l’échantillon dépasse un nombre important de taille supérieur à 30 (n> 30).

2- Lorsque la probabilité de réalisation de la variable aléatoire est faible, p < 0,1

 La taille de l’échantillon n est grande et

 La probabilité de réalisation de la variable aléatoire p est très petite

 X ↝ ℬ(n, p) ⇒ X ↝ 𝒫(λ)

 λ = E(X) = np

- Approximation de la loi binomiale par une loi Normale (qui sera développée en détail prochain chapitre)

n N

k n Nq k

Np

N

C

C k C

X P

 ) (

).

( N

~ )

( C P q P X k

C C k C

X

P

n nk k n k

N k n Nq k Np

N

    

 

)

! (

~ )

( P X k

k n e

q p C k X P

k k

n k k n

n

 

  

 

(15)

15

La vérification de trois conditions permet l’approximation de loi binomiale par une loi normale :

1. n ≥ 30 2. np ≥ 15 3. npq ≥ 5

 X ↝ ℬ(n, p) ↔ X ↝ N(np; √npq)

 E(X) = np = m

 σ(X) = √np(1 − p)

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