MPSI B Année 2017-2018. DS 8 le 31/03/18 29 juin 2019

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Ce texte introduit

aux fonctions d'une variable complexe à valeurs complexes mais les seules fonctions de ce type intervenant dans ce problème sont la fonction exponentielle com- plexe et des fonctions polynomiales ou rationnelles. On conviendra d'identier un polynôme ou une fraction rationelle avec la fonction qui lui est associée.

Ce texte fait aussi intervenir des fonctions C

( R ) , périodiques de période 2π et à valeurs dans C. De telles fonctions sont appelées des lacets. Une lacet γ peut être vu comme un mouvement. Pour t ∈ R, le complexe γ(t) représente la position dans le plan d'un point mobile. La trajectoire (notée Γ ) est l'ensemble des points par où est passé le mobile. À cause de la périodicité,

Γ = {γ(t), t ∈ R } = {γ(t), t ∈ [0, 2π]} . Les gures 1a et 1b présentent les trajectoires Γ pour deux lacets.

(a) γ(t) = e

. (b) γ(t) = P(e

) avec P = X

− X − 1 .

Fig. 1: Exemples de trajectoires.

Pour une fonction γ et z ∈ C \ Γ , l'indice de z par rapport à Γ est

I _γ (z) = 1 2iπ

Z 2π 0

γ

(t) γ(t) − z dt.

Il s'agit de l'intégrale d'une fonction d'une variable réelle C

à valeurs complexes où γ

(t) est la notation habituelle pour la dérivée de γ . Pour un nombre complexe z tel que |z| 6= 1 , on note I ₀ (z) son indice par rapport au mouvement circulaire.

I 0 (z) = 1 2π

Z 2π 0

e ^it

e ^it − z dt avec γ(t) = e ^it .

1

d'après W. Rudin Analyse réelle et complexe Masson

On rappelle que si f est une fonction continue dans [a, b] (avec a < b ) à valeurs complexes,

Z b a

f(t) dt

≤ Z b

a

|f (t)| dt.

Remarques. La partie V est totalement indépendante des autres parties. Les parties I et II ne dépendent pas l'une de l'autre mais prouvent la même proposition de deux manières diérentes. La partie III n'utilise pas la proposition prouvée en I ou II. La partie IV utilise cette proposition ainsi que d'autres démontrées en III.

Partie préliminaire.

1. Soit f continue dans R, périodique de période T > 0 et à valeurs complexes.

Montrer que la fonction de R dans C, x 7→ R x+T

x f (t) dt est constante.

2. Montrer que :

∀x ∈ R

, arctan x + arctan 1 x =





 π

2 si x > 0

− π

2 si x < 0 .

3. Soit z = |z|e ^iϕ ∈ C avec |z| 6= 1 et ϕ ∈ R. Pour tout t ∈ R, exprimer (|z| − 1) ² −

e ^it − z

2

en fonction de t − ϕ . En déduire

∀t ∈ R , e ^it − z

≥

( 1 − |z| si |z| < 1

|z| − 1 si |z| > 1 .

Partie I. Calcul direct de I 0 (z).

Dans cette partie, z ∈ C, |z| 6= 1 et ϕ ∈ R est un argument de z . On note A(z) = Re(I 0 (z)), B(z) = Im(I 0 (z)).

1. Soit r ∈ R \ {−1, +1} . Montrer que Z

0

dθ

1 + r ² − 2r cos θ = 2

1 − r ² arctan 1 + r

1 − r

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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2. a. Montrer que

A(z) = 1 2π

Z 2π 0

1 − |z| cos(t − ϕ) 1 + |z| ² − 2|z| cos(t − ϕ) dt.

b. Montrer que

I ₀ (z) = A(z) = 1

2 + 1 − |z| ² 4π

Z 2π 0

dt

1 + |z| ² − 2|z| cos(t − ϕ) .

3. Montrer que Z 2π

0

dt

1 + |z| ² − 2|z| cos(t − ϕ) = 2

Z

0

dθ

1 + |z| ² − 2|z| cos θ + Z

0

dθ

1 + |z| ² + 2|z| cos θ

! .

En déduire I 0 (z) =

( 1 si |z| < 1 0 si |z| > 1 .

Partie II. Calcul de I 0 (z) avec une progression géométrique.

1. Soit k ∈ Z

, calculer R 2π 0 e ^ikt dt . 2. Dans cette question |z| < 1 .

a. Montrer que :

∀n ∈ N , I ₀ (z) = 1 + z ⁿ⁺¹ 2π

Z 2π 0

e

1 − e

z dt.

b. En déduire I 0 (z) = 1 . 3. Dans cette question |z| > 1 .

a. Montrer que :

∀n ∈ N , I 0 (z) = z

2π

Z 2π 0

e ^i(n+2)t e ^it − z dt.

b. En déduire I 0 (z) = 0 .

Partie III. Propriétés de l'indice.

Dans cette partie, γ est un lacet et z est un nombre complexe qui n'est pas sur la trajectoire : z / ∈ Γ .

1. Dans cette question seulement, on considère l'équation diérentielle (γ − z)y

− γ

y = 0

où la fonction inconnue y est à valeurs complexes.

a. Déterminer la solution évidente qui prend en t = 0 la valeur γ(0) − z .

b. En utilisant un résultat de cours cité précisément, exprimer cette solution avec la fonction exponentielle complexe et une intégrale.

c. Montrer que I γ (z) ∈ Z.

2. Dans cette question, pour z et z

en dehors de Γ , on cherche à majorer |I γ (z) − I γ (z

)| . a. Justier l'existence d'un réel strictement positif noté d(z, Γ) et déni par :

d(z, Γ) = min {|z − γ(t)| , t ∈ [0, 2π]} . b. Montrer que |I γ (z) − I γ (z

)| ≤ K |z − z

| avec

K = γ

d(z, Γ) d(z

, Γ) et γ = 1 2π

Z 2π 0

|γ

(t)| dt.

x 0

Fig. 2: Conguration de la trajectoire pour la question 3.

3. Dans cette question, on suppose que Γ est dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1 c'est à dire que

∀t ∈ R , |γ(t) − 1| < 1.

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a. Montrer que ] − ∞, 0] ∩ Γ = ∅ . Montrer que, pour tout x ≤ 0 , d(x, Γ) > |x| et d(x, Γ) ≥ d(0, Γ).

b. Montrer que la restriction de I _γ à ] − ∞, 0] est lipschitzienne de rapport _d(0,Γ) ^{4 γ}

. c. Montrer que |I γ (x)| ≤

^γ pour x < 0 .

d. Montrer que I _γ (0) = 0 .

Partie IV. Nombre de racines.

1. Dans cette question, P ∈ C [X] est un polynôme de degré au moins 1 sans racine de module 1 et on considère un lacet γ P dénit par

∀t ∈ R , γ P (t) = P(e ^it ).

On note z ₁ , · · · , z _s les racines de P et m ₁ , · · · , m _s leurs multiplicités.

Montrer que

I γ

(0) =

s

X

k=1

m k I 0 (z k ).

En déduire que I γ

(0) est la somme des multiplicités de racines de P dans le disque unité ouvert.

2. Théorème de Rouché

.

Soit P et Q dans C [X ] non constants et n'admettant aucune racine de module 1 . On dénit un lacet γ par :

∀t ∈ R , γ(t) = P (e ^it ) Q(e ^it ) . a. Montrer que I γ (0) = I γ

(0) − I γ

(0) .

b. On suppose de plus que

P (e ^it ) − Q(e ^it ) <

Q(e ^it )

pour tout t réel.

Montrer que I γ

(0) = I γ

(0) . 3. Pour tout n ∈ N

, on dénit

P = X ⁿ (X ² − X − 1) + X ² − 1 et Q = X ⁿ (X ² − X − 1).

2

d'après une idée de mon ami Saman K.

a. En utilisant e ^it − e

= 2i sin t , montrer que

∀t ∈ R ,

(e ^it ) ² − 1 (e ^it ) ⁿ ((e ^it ) ² − e ^it − 1)

< 1.

b. Montrer que I γ

(0) = I γ

(0) .

c. Montrer que P admet une racine réelle strictement plus grande que 1 et que la somme des multiplicités de ses racines dans le disque unité ouvert est n + 1 .

Partie V. Harmonicité. Formule de Cauchy.

1. Montrer que, pour tout lacet γ et tout polynôme Q ∈ C [X] , Z 2π

0

Q(γ(t))γ

(t) dt = 0.

2. Soit z ∈ C et γ le lacet déni par γ(t) = z + e ^it . Quelle est la trajectoire de γ ? Montrer que

1 2π

Z 2π 0

P(γ(t)) dt = 1 2iπ

Z 2π 0

P (γ(t))

γ(t) − z γ

(t) dt = P (z).

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