MPSI B 2009-2010 DS 8 29 juin 2019

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Exercice

Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.

Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 2)

!

n∈ N

Problème

On se propose de démontrer l'existence et l'unicité puis d'approcher numériquement une fonction y dénie continue dérivable dans [0, 1] et vériant :







y(0) = 0

∀t ∈ [0, 1] : y ⁰ (t) = 1

2 t ² + y ² (t)

I. Existence : méthode de Picard

Pour tout entier n , on dénit une fonction polynomiale y n par les relations suivantes :



 

 

∀t ∈ R : y 0 (t) = 0

∀n ∈ N , ∀t ∈ R : y _n+1 (t) = 1 2

Z t 0

τ ² + y _n ² (τ ) dτ

1. a. Calculer y ₁ (t) pour tout réel t .

b. Pour tout entier n , montrer que y n (0) = 0 et que la fonction y n est croissante.

c. Montrer que

∀n ∈ N , ∀t ∈ [0, 1] : 0 ≤ y n (t) ≤ 1

2. a. Pour tout t ∈ [0, 1] , montrer que la suite (y n (t)) _n∈N est croissante. En déduire que cette suite est convergente. On note y(t) la limite de cette suite.

Ceci dénit une fonction y dans [0, 1] . La notation y désigne cette fonction dans toute la suite du problème.

b. Montrer que y(0) = 0 et que

∀t ∈ [0, 1] : 0 ≤ y(t) ≤ 1

c. Montrer que y est lipschitzienne de rapport 1 donc continue.

3. Dans cette question 0 < a < 1 . a. Montrer que :

∀n ∈ N , ∀t ∈ [0, a] : 0 ≤ y n+1 (t) − y n (t) ≤ a ⁿ b. Montrer que :

∀n ∈ N , ∀t ∈ [0, a] : 0 ≤ y(t) − y n (t) ≤ a ⁿ 1 − a c. Montrer que :

∀n ∈ N , ∀t ∈ [0, a] : 0 ≤ 1 2

Z t 0

τ ² + y ² (τ )

dτ − y n+1 (t) ≤ a ⁿ t 1 − a 4. a. Montrer que

∀t ∈ [0, 1[: y(t) = 1 2

Z t 0

τ ² + y ² (τ) dτ

b. Montrer que la formule précédente est valable aussi en 1 . En déduire que y est une solution de l'équation diérentielle donnée au début de l'énoncé.

II. Unicité : lemme de Gronwall

On suppose qu'il existe deux solutions y et z dans [0, 1] de l'équation diérentielle donnée au début. On dénit la fonction u par :

∀t ∈ [0, 1] : u(t) = |y(t) − z(t)|

On pose aussi :

M = max

[0,1] (|y| + |z|)

1. a. Justier l'existence de M . Montrer que, pour tout t ∈ [0, 1] : u(t) ≤ M

2 Z t

0

u(τ)dτ

b. Montrer que pour tout ε > 0 et tout t ∈ [0, 1] :

M 2 u(t) ε + ^M ₂ R t

0 u(τ)dτ ≤ M 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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2. a. Montrer que pour tout ε > 0 et tout t ∈ [0, 1] : ε + ^M ₂ R t

0 u(τ)dτ ε ≤ e

^t

b. En déduire (lemme de Gronwall) que pour tout ε > 0 et tout t ∈ [0, 1] : u(t) ≤ ε e

^t

3. Montrer que y(t) = z(t) pour tout t ∈ [0, 1] .

III. Approximation : méthode d'Euler

Soit N un entier naturel xé, on pose h = _N ¹ et , pour tout entier i entre 0 et N , t _i = ih . On dénit une famille de nombres réels u ₀ , u ₁ , · · · , u _N par :





 u ₀ = 0

∀i ∈ {0, · · · , N − 1} : u _i+1 = u _i + h

2 (t ² _i + u ² _i )

Pour i entre 1 et N , on considère chaque u _i comme une approximation de y(t _i ) .

On pose e _i = y(t _i ) − u _i et on cherche à encadrer les e _i c'est à dire à trouver une majoration de l'erreur.

1. Montrer que pour tout réel x ≥ 0 : 1 + x ≤ e ^x .

2. Soit A et B des réels strictement positifs, de plus A 6= 1 . On considère deux suites (e _n ) _n∈

N et (E _n ) _n∈

N vériant :

e 0 = 0 , ∀n ∈ N : 0 ≤ e n+1 ≤ Ae n + B E 0 = 0 , ∀n ∈ N : E n+1 = AE n + B a. Montrer que e _n ≤ E _n pour tous les entiers n .

b. Montrer que pour tout entier n : e n ≤ B

A − 1 (A ⁿ − 1)

3. Soit ϕ ∈ C ¹ (|α, β]) et M ₁ réel tel que |ϕ ⁰ (t)| ≤ M ₁ pour tous les t ∈ [α, β] . Montrer

que

Z β α

ϕ(t)dt − (β − α)ϕ(α)

≤ M 1

2 (β − α) ²

4. Pour tout entier i entre 0 et N − 1 , montrer que : e i+1 = e i + 1

2 Z t

t

t ² − t ² _i + y ² (t) − u ² _i dt

5. a. Pour tout entier i entre 0 et N − 1 , montrer que 0 ≤ e _i et que 0 ≤ u _i ≤ 1 . b. Pour tout entier i entre 0 et N − 1 , montrer que :

e _i+1 ≤ (1 + h)e _i + h ²

6. Pour tout entier i entre 0 et N − 1 , montrer que :

e i ≤ h (1 + h) ^N − 1 En déduire

0 ≤ e i ≤ h(e − 1)

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Fig. 1: Portions de graphe de y 0 , y 1 , y 2 , y 3 , y 4 Fig. 2: Méthode d'Euler pour N = 5 .

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