UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 10
Exercice 1. SoitG = KoϕH un produit semi-direct. Calculer l’élément neutre et l’inverse d’un élément (h, k).
Montrer queK et H sont respectivement isomorphes aux sous-groupes deGdonnés par
K = {(k, eH), k∈K}, H = {(eK, h), h∈H}. Montrer queK est distingué dansG, et que l’on aK H = G.
Exercice 2. Montrer qu’un produit semi-direct KoϕH est direct si et seulement si le morphisme de groupes
ϕ : H −→ Aut(K) définissant le produit semi-direct considéré est trivial.
Exercice 3. Soitnun entier naturel non nul. On notern la rotation du plan de centre l’origine et d’angle 2πn, ainsi quesla symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
1) Montrer que l’on a les égalités suivantes
s2 = id , (rn)n = id , rns = sr−1n .
2) Montrer que le sous-groupeDn des isométries du plan engendré par rn et sest de cardinal2n.
3) Montrer queDnest le groupe des isométries du plan fixant un polygone régulier àncôtés ayant un sommet sur l’axe des abscisses.
4) On supposenau moins égal à2. Montrer que l’on a un isomorphisme de groupes
Dn ' Z/nZ o Z/2Z .
Exercice 4. Soit n un entier naturel au moins égal à 2. Montrer que le groupe symétrique Sn s’écrit comme un produit semi-direct dont l’un des facteurs est le groupe alternéAn.
Exercice 5. Soient nun entier naturel non nul etK un corps. Montrer que l’on a un isomorphisme de groupes
GLn(K) ' SLn(K)oK∗ .
Exercice 6. 1) Montrer que le groupe des quaternions H8 n’est pas un produit semi-direct.
2) Montrer queZ/8Zn’est pas un produit semi-direct.
3) Montrer que les groupesH8, (Z/2Z)3,Z/2Z×Z/4Z,Z/8Z, etD4sont deux à deux non isomorphes.
Exercice 7. Soient Gun groupe non abélien d’ordre12etH un3-Sylow deG.
1) Rappeler la définition de l’action naturelle de G sur l’ensemble quotient G/H par translation. En déduire un morphisme de groupes de Gdans S(G/H). Montrer que ce morphisme est non injectif si et seulement si H est distingué dansG. En déduire que siH n’est pas distingué dans G, alorsGest isomorphe àA4.
2) On suppose que le groupe H =
1, a, a2 soit distingué dans G. Montrer que si Gcontient un élément b d’ordre4, alors on a bab−1 = a2. CaractériserGdans ce cas.
3) On suppose toujours queH soit distingué dansG, mais cette fois queGn’admette pas d’élément d’ordre4.
Compter le nombre maximal d’éléments d’ordre 2. En déduire qu’il existe un élément d’ordre 6 dansG, puis que G est isomorphe au groupe diédralD6.
4) Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes (abéliens ou non) d’ordre12.
Exercice 8. Soient pet qdeux nombres premiers vérifiantp < q. SoitGun groupe d’ordrepq.
1) Montrer queGest cyclique sipne divise pasq−1.
2) On suppose dans cette question quepdiviseq−1.
a) Montrer que le groupe Aut(Z/qZ)est isomorphe àZ/(q−1)Z. En déduire qu’il existepmorphismes de groupes de Z/pZdans Aut(Z/qZ).
b) Montrer queGest cyclique, ou est isomorphe à un produit semi-direct Z/qZ o Z/pZ.
c) Soientϕetψdeux morphismes de groupes non triviaux deZ/pZdans Aut(Z/qZ). Montrer qu’il existe un automorphisme de groupes αdeZ/pZ tel que l’on ait ϕ = ψ◦α. En déduire que tous les produits semi-directs non directs de la question précédente sont deux à deux isomorphes.
Exercice 9. Montrer qu’un groupe d’ordre255 est cyclique.
