limites

(1)

Table des mati` eres

I Limites des fonctions num´eriques . . . 2

1. Propri´et´es vraies ”au voisinage d’un point” . . . 2

2. Limite en un point . . . 2

3. Limite `a gauche ou `a droite . . . 4

4. Op´erations sur les limites. . . 4

5. Limites et relation d’ordre . . . 5

6. Formes ind´etermin´ees. . . 7

II Comparaisons locales . . . 8

1. D´efinitions . . . 8

2. Propri´et´es des relations f = o(g) et f = O(g) . . . 9

3. Propriétés des équivalents . . . 9

4. Quelques conseils . . . 10

5. Comparaisons usuelles . . . 11

III D´eveloppements limit´es. . . 12

1. Notion de d´eveloppement limit´e . . . 12

2. D´eveloppements limit´es usuels . . . 15

3. Op´erations sur les DL . . . 16

(2)

I Limites des fonctions num´ eriques

1. Propri´ et´ es vraies ”au voisinage d’un point”

D´efinition

Soit I un intervalle deR, d’int´erieur non vide.

Soit a un élément deI ou une extrémité de I (éventuellement a=±∞).

Soit P un prédicat (une propriété) de la variable réelle x, défini surI.

P(x) d´esigne donc une proposition, vraie ou fausse selon les valeurs de x dans I.

On dit que P est vraieau voisinage de a si l’une des situations suivantes est réalisée : – a est réel et ∃δ >0 tel que : ∀x∈I∩]a−δ, a+δ[, P(x) est vraie.

– a= +∞et ∃M ∈Rtel que : ∀x > M,P(x) est vraie.

– a=−∞ et∃M ∈R tel que :∀x < M,P(x) est vraie.

Remarques

Dans le premier cas, la clause x∈I n’est utile que sia est une extr´emit´e de I.

En effet si a est int´erieur `aI, alors pour tout δ assez petit, ]a−δ, a+δ[⊂I.

Si f et g sont des applications d´efinies sur I, on pourra par exemple ´ecrire des propositions du genre : si f(x)≤g(x) au voisinage de a, alors ...

2. Limite en un point

D´efinition (Limite en un point deR)

Soit f :I →R une application. Soit a un réel, élément ou extrémité de I. Soit ` un réel. On dit que` est limite def ena si :

∀ε >0,∃δ > 0 tq (x∈I et|x−a| ≤δ)⇒ |f(x)−`| ≤ε.

On dit que +∞ est limite de f en a si :

∀M ∈R,∃δ >0 tel que (x∈I et |x−a| ≤δ)⇒f(x)≥M. On dit que −∞est limite de f en a si :

∀M ∈R,∃δ >0 tel que (x∈I et|x−a| ≤δ)⇒f(x)≤M. Remarques

Dans les trois cas, la clause x∈I n’est pas nécessaire si a est intérieur à I.

Sia ∈I et donc si f est d´efinie en a, la seule limite possible de f ena est le r´eel f(a).

D´efinition (Limite en +∞)

Soit f :I →R une application. On suppose que I =]α,+∞[, ou I = [α,+∞[, ou I =R. Soit ` un r´eel. On dit que` est limite def en +∞ si :

∀ε >0,∃A∈R tel que x≥A⇒ |f(x)−`| ≤ε.

On dit que +∞ est limite de f en +∞ si :

∀M ∈R,∃A ∈R tel que x≥A⇒f(x)≥M. On dit que −∞est limite de f en +∞si :

∀M ∈R,∃A ∈R tel que x≥A⇒f(x)≤M.

(3)

D´efinition (Limite en −∞)

Soit f :I →R une application. On suppose que I =]− ∞, α[, ou I =]− ∞, α], ou I =R. Soit ` un r´eel. On dit que` est limite def en−∞ si :

∀ε >0,∃A ∈Rtel que x≤A⇒ |f(x)−`| ≤ε.

On dit que +∞ est limite de f en −∞si :

∀M ∈R,∃A∈Rtel que x≤A ⇒f(x)≥M.

On dit que −∞est limite de f en −∞ si :

∀M ∈R,∃A∈Rtel que x≤A ⇒f(x)≤M.

Proposition (Unicit´e de la limite)

Les définitions précédentes permettent de donner un sens à la phrase` est limite de f ena, où` eta sont des éléments deR=R∪ {−∞,+∞}(droite numérique achevée), à condition que a soit élément de l’intervalle I ou qu’il en soit une extrémité.

Si un tel ´el´ement ` existe, alors il est unique.

On l’appelle la limite de f ena, et on dit que f(x) tend vers ` quand xtend vers a.

On note lim

x→af(x) =`, ou lim

a f =` ou f(x)→`

x→a

Remarque

Il se peut qu’une application ne poss`ede pas de limite en un point. Par exemple L’application x7→cosx n’a pas de limite en +∞.

L’application x7→E[x] n’a pas de limite en 0.

Importance des limites nulles ou des limites en 0 Si` est un r´eel, lim

x→af(x) = `⇔ lim

x→a(f(x)−`) = 0.

Sia est un r´eel, lim

x→af(x) = `⇔ lim

h→0f(a+h) =`.

Proposition (Caract´erisation s´equentielle des limites)

Soit f une application définie sur l’intervalle I, à valeurs réelles.

Soit a un élément deR (élément deI ou extrémité de I). Soit` un élément deR.

x→alimf(x) = ` ⇔ pour toute suite (u_n) de I tendant vers a, lim

n→∞f(u_n) =`.

Définition (Limite par valeurs supérieures ou inférieures) On suppose que la limite de f ena (élément deR) est le réel `.

Quand xtend vers a, on dit que f(x) tend vers ` par valeurs sup´erieures (resp. inf´erieures) si, au voisinage de a, f(x)≥` (resp. f(x)≤`).

On peut alors ´eventuellement noter : lim

x→af(x) =`⁺ (resp. lim

x→af(x) =`⁻).

(4)

3. Limite ` a gauche ou ` a droite

D´efinition (Limite `a gauche)

On suppose que a est réel et est intérieur à l’intervalleI. Soit ` un élément de R. Soit g la restriction de f à l’intervalleJ =I∩]− ∞, a[.

Le réel a est donc l’extrémité droite de J, et n’appartient pas à J.

On dit que f admet ` pour limite en a `a gauche si g admet ` pour limite ena.

On note alors lim

x→a⁻f(x) = `, ou lim

a⁻ f =`, ou f(x)→`

x→a⁻

Définitions équivalentes Soit ` un nombre réel.









 lim

x→a⁻f(x) = ` ⇔ ∀ε >0,∃δ >0,(a−δ ≤x < a)⇒ |f(x)−`| ≤ε

x→alim⁻f(x) = +∞ ⇔ ∀M ∈R,∃δ >0,(a−δ ≤x < a)⇒f(x)≥M lim

x→a⁻f(x) = −∞ ⇔ ∀M ∈R,∃δ >0,(a−δ ≤x < a)⇒f(x)≤M D´efinition (Limite `a droite)

On suppose que a est réel et est intérieur à l’intervalleI. Soit ` un élément de R. Soit g la restriction de f à l’intervalleJ =I∩]a,+∞[.

Le réel a est donc l’extrémité gauche de J, et n’appartient pas à J.

On dit que f admet ` pour limite en a `a droite si g admet` pour limite ena.

On note alors lim

x→a⁺f(x) =`, ou lim

a⁺ f =`, ou f(x)→`

x→a⁺

Définitions équivalentes Soit ` un nombre réel.









 lim

x→a⁺f(x) =` ⇔ ∀ε >0,∃δ >0,(a < x≤a+δ)⇒ |f(x)−`| ≤ε lim

x→a⁺f(x) = +∞ ⇔ ∀M ∈R,∃δ > 0,(a < x≤a+δ)⇒f(x)≥M

x→alim⁺f(x) =−∞ ⇔ ∀M ∈R,∃δ > 0,(a < x≤a+δ)⇒f(x)≤M Remarque

La limite def ena, à gauche ou à droite, si elle existe, est unique. De même, la plupart des propriétés vraies pour les limites le sont encore s’il s’agit de limites à gauche ou à droite.

4. Op´ erations sur les limites

Proposition

On suppose que lim

x→af(x) = ` et lim

x→ag(x) =`⁰ (avec` ∈Ret `⁰ ∈R).

Alors lim

x→a(f +g)(x) = `+`⁰ (si `+`⁰ n’est pas une forme indéterminée∞ − ∞.) De même, lim

x→a(f g)(x) =``⁰(si ``⁰ n’est pas une forme ind´etermin´ee 0× ∞.)

(5)

Cas particulier

Siλ est un r´eel non nul, alors lim

x→aλf(x) = λ`.

Proposition (Limite de l’inverse d’une fonction) On suppose que lim

x→af(x) = `.

Si `∈R^∗, alors lim

x→a

1 f(x) = 1

`. Si `=±∞, alors lim

x→a

1

f(x) = 0.

Si `= 0 et si, au voisinage de a, f(x)>0, alors lim

x→a

1

f(x) = +∞.

Si `= 0 et si, au voisinage de a, f(x)<0, alors lim

x→a

1

f(x) =−∞.

Proposition (Composition des limites)

On suppose que l’application g◦f est d´efinie au voisinage dea.

Si lim

x→af(x) =b et lim

x→bg(x) = `, alors lim

x→a(g◦f)(x) =`.

5. Limites et relation d’ordre

Proposition (Limite et valeur absolue) Si lim

x→af(x) =`, alors lim

x→a|f|(x) = |`|.

La r´eciproque est fausse, mais : lim

x→af(x) = 0 ⇔ lim

x→a|f|(x) = 0.

Proposition (Cons´equences de l’existence d’une limite finie)

Si f admet une limite finie en a,f est born´ee au voisinage dea (r´eciproque fausse).

Si f admet en a une limite r´eelle non nulle ` , alors au voisinage de a : |f(x)| ≥ |`|

2 . Plus pr´ecis´ement :







Si` >0, alors au voisinage de a, f(x)> ` 2 >0.

Si` <0, alors, au voisinage de a, f(x)< ` 2 <0.

Remarque

Les propriétés précédentes sont utiles parce qu’elles précisent le signe de f au voisinage dea et permettent de majorer 1

|f(x)| au voisinage de ce point par 2

|`|. Proposition

On suppose que lim

x→ag(x) =`⁰ (avec` ∈Ret `⁰ ∈R).

Si on a f(x)≤g(x) au voisinage de a, alors `≤`⁰. En particulier, si λ est un nombre r´eel :

– Si f(x)≤λ au voisinage de a, alors `≤λ.

– Si f(x)≥λ au voisinage de a, alors `≥λ.

(6)

Remarque

Sif(x)< g(x) au voisinage de a, alors on peut seulement affirmer que ` ≤`⁰.

Par passage à la limite, les inégalités strictes ”deviennent” donc des inégalités larges.

Proposition (Principe des gendarmes) On suppose que lim

x→af(x) = lim

x→ag(x) = ` (avec` ∈R.) Si f(x)≤h(x)≤g(x) au voisinage dea, alors lim

x→ah(x) =`.

Cas particuliers

– Si |f(x)| ≤g(x) au voisinage de a et si lim

x→ag(x) = 0, alors lim

x→af(x) = 0.

– Si f est born´ee au voisinage dea et si lim

x→ag(x) = 0, alors lim

x→a(f g)(x) = 0.

– Supposons f(x)≤g(x) au voisinage de a :







Si lim

x→af(x) = +∞, alors lim

x→ag(x) = +∞.

Si lim

x→ag(x) =−∞, alors lim

x→af(x) =−∞.

Proposition

On suppose que lim

x→ag(x) =`⁰ (avec` ∈Ret `⁰ ∈R).

Si ` < `⁰, alors, au voisinage dea on a l’in´egalit´ef(x)< g(x).

En particulier, si λ est un nombre r´eel :

– Si ` < λ , alors on a l’in´egalit´ef(x)< λau voisinage de a.

– Si ` > λ , alors on a l’in´egalit´ef(x)> λau voisinage de a.

Proposition (Limite aux bornes, pour une application monotone) Soit f une application monotone de ]a, b[ dansR (a < b, a∈R, b ∈R).

Alors la limite ` de f en a et la limite`⁰ def enb existent dans R. Plus pr´ecis´ement : – Supposons f croissante.

Si elle est major´ee, `⁰ est un r´eel, sinon `⁰ = +∞.

Si elle est minor´ee, ` est un r´eel, sinon ` =−∞.

– Supposons f d´ecroissante.

Si elle est minor´ee, `⁰ est un r´eel, sinon `⁰ =−∞.

Si elle est major´ee, ` est un r´eel, sinon `= +∞.

Proposition (Limite en un point int´erieur, pour une application monotone) Soit f une application monotone de ]a, b[ dansR (a < b, a∈R, b ∈R).

Soit cun r´eel de l’intervalle ]a, b[.

L’application f admet en cune limite `a gauche et une limite `a droite, toutes deux finies.

Plus pr´ecis´ement :

– Si f est croissante : lim

x→c−f(x)≤f(c)≤ lim

x→c+f(x).

– Si f est d´ecroissante : lim

x→c−f(x)≥f(c)≥ lim

x→c+f(x).

(7)

6. Formes ind´ etermin´ ees

On suppose que lim

x→ag(x) =`⁰ (avec`∈R et `⁰ ∈R).

On dit qu’on a affaire à la forme indéterminée :











∞ − ∞si on veut calculer la limite en a def +g et si ` = +∞ ,`⁰ =−∞.

0× ∞si on veut calculer la limite en a de f g et si ` = 0, `⁰ =±∞.

0

0 si on veut calculer la limite en a de f

g et si `=`⁰ = 0.

∞

∞ si on veut calculer la limite en a de f

g et si `=±∞ et`⁰ =±∞.

Le calcul de lim

a (f^g) donne lieu aux formes ind´etermin´ees :







1^∞ si` = 1 et`⁰ =±∞.

∞⁰ si `= +∞et `⁰ = 0.

0⁰ si `=`⁰ = 0.

Toutes ces formes indéterminées peuvent se ramener à∞ − ∞ ou à 0× ∞.

Pour les trois derni`eres il suffit en effet de poserf^g = exp(glnf).

Dans une forme indéterminée, tous les résultats sont possibles.

Chaque problème doit donc être résolu individuellement.

Comme on dit, il faut lever la forme ind´etermin´ee.

(8)

II Comparaisons locales

Dans ce paragraphe, on considère un intervalleI deR, d’intérieur non vide, et des applications qui sont définies sur I et à valeurs réelles.

On désigne par a un élément ou une extrémité de I (a∈R).

1. D´ efinitions

D´efinition (Fonction domin´ee par une autre) Soient f, g deux applications deI dans R.

On dit que f est domin´ee par g au voisinage du pointa (ou en a) si :

Il existe un r´eel positif ou nul M tel que, au voisinage de a,|f(x)| ≤M|g(x)|.

On note alors f = O(g), ou ´eventuellement f = O_a(g).

D´efinition (Fonction n´egligeable devant une autre) Soient f, g deux applications deI dans R.

On dit que f est négligeable devant g au voisinage du point a (ou ena) si : Pour tout ε >0, l’inégalité |f(x)| ≤ε|g(x)| est vraie au voisinage de a.

On note alors f = o(g), ou ´eventuellement f = o_a(g).

Définition (Fonction équivalente à une autre)

On dit que f est équivalente àg au voisinage de a (ou en a) si : L’application f−g est négligeable devant g au voisinage de a.

On note alors f ∼g, ou ´eventuellement f ∼_a g.

D´efinitions ´equivalentes

On suppose que g ne s’annule pas au voisinage dea (sauf ´eventuellement ena).

f est domin´ee par g au voisinage de a ⇔ f

g est born´ee au voisinage dea.

f est n´egligeable devant g au voisinage de a ⇔ f

g tend vers 0 en a.

f est ´equivalente `a g au voisinage de a ⇔ f

g tend vers 1 en a.

Remarques

– f ∼g définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des applications de I dans R. La symétrie permet donc dire : f et g sont équivalentes au voisinage dea.

– Dans les notations f = o(g), f = O(g) et f ∼g, le point a n’apparait pas en g´en´eral.

Le contexte doit donc ˆetre clair.

(9)

2. Propri´ et´ es des relations f = o(g) et f = O(g)

Dans les r´esultats suivants, les relations de comparaison sont ´etablies au voisinage dea.

Proposition (Fonctions dominées par 1 ou négligeables devant1) f = O(1)⇔f est bornée au voisinage de a.

f = o(1)⇔ la limite def au point a est 0.

Proposition (Propriétés de transitivité) Si f = o(g), alorsf = O(g).

Si f = O(g) et g = O(h), alors f = O(h).

Si f = o(g) et g = O(h), ou si f = O(g) et g = o(h), alors f = o(h).

Proposition (Sommes de fonctions dominées ou négligeables devant une autre) Si f = O(h) et g = O(h), alors f+g = O(h), et pour tout réel α, αf = O(h).

Si f = o(h) et g = o(h), alors f +g = o(h), et pour tout r´eel α,αf = o(h).

Proposition (Produits de fonctions domin´ees ou n´egligeables devant une autre) Si f = O(h) et g = O(k), alorsf g = O(hk).

Si f = o(h) et g = O(k), alors f g= o(hk).

Si f = o(h), alors pour tout α >0,f^α = o(h^α) (en supposant f, h >0 si α /∈N).

3. Propri´ et´ es des ´ equivalents

Dans les r´esultats suivants, les relations de comparaison sont ´etablies au voisinage dea.

Proposition (Propriétés de transitivité) Si f ∼g et g = O(k), alorsf = O(k).

Si f ∼g et g = o(k), alorsf = o(k).

Si f ∼g et si g ∼h, alorsf ∼h.

Proposition (Conservation du signe)

Si f ∼g, alorsf etg gardent le mˆeme signe au voisinage de a.

Proposition (Conservation de la limite) Si f ∼g, et si lim

x→ag(x) =`, alors lim

x→af(x) = ` (`∈R).

R´eciproquement : si lim

x→af(x) = lim

x→ag(x) = `, avec ` r´eel non nul, alors f ∼g.

Proposition (Equivalences dans un produit) Si f₁ ∼f₂ et g₁ ∼g₂, alorsf₁g₁ ∼f₂g₂. Proposition (Equivalences dans un quotient)

On suppose que g₁ etg₂ ne s’annulent pas au voisinage dea (sauf peut-ˆetre en a).

Si f₁ ∼f₂ et g₁ ∼g₂, alors f₁ g₁ ∼ f₂

g₂.

(10)

G´en´eralisation

Les deux propriétés précédentes peuvent être généralisées à des produits ou des quotients de fonctions en nombre quelconque. Dans un tel produit (ou quotient), on peut remplacer tout ou partie des fonctions par un équivalent : l’expression obtenue est équivalente à l’expression initiale (en particulier, la limite éventuelle ena est la même).

Proposition (Puissances d’´equivalents)

Si f ∼g alors ∀α, f^α ∼g^α (siα /∈Z, on suppose f, g > 0). En particulier, 1 f ∼ 1

g. Proposition (Equivalents dans une somme)

Attention ! ! Si f1 ∼f2 et g1 ∼g2, alors on n’a pas, en g´en´eral, f1+g1 ∼f2+g2. Cependant : si f ∼h et g = o(f), alors f +g ∼h.

Plus simplement : g = o(f)⇒f +g ∼f.

G´en´eralisation : sif₂, f₃, . . . , f_n sont des o(f₁) alors f₁+f₂+· · ·+f_n∼f₁. Proposition (Changement de variable)

Soit ϕ une application de J dans I, qui tend versa quand xtend vers b dans J.

Si f est domin´ee parg en a, alors f◦ϕ est domin´ee parg◦ϕ enb.

Si f est n´egligeable devantg ena,f ◦ϕ est n´egligeable devant g◦ϕ en b.

Si f et g sont ´equivalentes en a, f◦ϕ etg◦ϕ sont ´equivalentes en b.

Remarque

C’est surtout cette dernière propriété qui est utilisée.

Par exemple, du fait que sinx∼xen 0, on a : sinx² ∼x² en 0.

Toujours grˆace `a sinx∼x en 0, on trouve : sin¹_x ∼ ¹_x en±∞.

Sachant que ln(1 +x)∼x en 0, alors lnx∼x−1 en 1.

4. Quelques conseils

– Les ´equivalents servent essentiellement au calcul de limites :

On transforme une expressionf(x), dont on cherche la limite èn un pointa, en une expression équivalente g(x) dont la limite en ce point est évidente (si la limite ` est réelle, il est courant qu’on aboutisse àg(x) = `).

Les outils essentiels sont les équivalents classiques (voir plus loin) et la possibilité qu’on a de remplacer les facteurs d’un produit (d’un quotient) par des équivalents.

– L’erreur la plus fréquente consiste à utiliser les équivalents dans des sommes. La seule pro- priété concernant les équivalents et les sommes peut s’écrire : g = o(f)⇒f+g ∼f.

– On évitera d’utiliser un équivalent d’une fonction f sous la forme f ∼g+h, avec h= o(g), et surtout de donner un rôle à h : on se contentera de f ∼g.

Ecrire par exemple cos(x)∼1−^x₂² (en 0) n’est pas faux mais dangereux si on utilise −^x₂². En effet, on a aussi : cos(x)∼1 +x² ∼1−36x². . .

Pour cet exemple, la solution est sans doute d’´ecrire : 1−cos(x)∼ ^x₂².

(11)

– Soit ` un r´eel non nul, et si lim

x→af(x) =`, alors f(x)∼` en ce point.

Mais si `= 0, on n’´ecrira pas f(x)∼0 !

En effet, seule la fonction nulle au voisinage de a est elle-même équivalente à 0 en a.

– Si f ∼g (f etg ´etant positives et ne tendent pas vers 1) alors ln(f)∼ln(g).

C’est faux sif etg tendent vers 1.

Par exemple, (1 +x)∼(1 +x²) en x= 0, mais en ce point

ln(1 +x)∼x ln(1 +x²)∼x² – On ´evitera surtout de prendre des ” exponentielles ” d’´equivalents :

En effet e^f ∼e^g ⇔f−g →0, ce qui n’´equivaut pas du tout `a f ∼g.

Exemples :x et x² en 0, ou encore xet x+ 1 en +∞.

5. Comparaisons usuelles

Proposition (Exponentielles, puissances et logarithmes) Soient α, β et γ des r´eels strictement positifs.

On a : lim

+∞x^βe^−αx = 0, lim

−∞|x|^βe^αx = 0, lim

+∞x^−βln^γ(x) = 0, lim

0+ x^β|ln^γ(x)|= 0.

Autrement dit :

x^β = o(e^αx) en +∞ e^αx = o(|x|^−β) en −∞.

ln(x)^γ = o(x^β) en +∞ |ln(x)|^γ = o(x^−β) au voisinage de 0.

Proposition (Equivalents classiques)

Si f est d´erivable en 0 et v´erifie f(0) = 0 et f⁰(0) = 1, alorsf(x)∼x en 0.

En particulier, en 0 : sin(x)∼x, tan(x)∼x, ln(1 +x)∼x, et e^x−1∼x.

Toujours `a l’origine : (1 +x)^m−1∼mx, et 1−cos(x)∼ ^x₂².

On peut aussi ´ecrire, au voisinage de x= 1 : x^m−1∼m(x−1) et ln(x)∼x−1.

Proposition (Polynˆomes et fractions rationnelles)

Soit P(x) = amx^m+am+1x^m+1+· · ·+an−1xⁿ⁻¹+anxⁿ un polynˆome (an6= 0, am6= 0).

Au voisinage de l’origine, P(x)∼a_mx^m (monˆome de plus bas degr´e).

Au voisinage de ±∞,P(x)∼a_nxⁿ (monˆome de plus haut degr´e).

Soit f(x) = P(x)

Q(x) une fraction rationnelle (P etQ deux polynˆomes).

Au voisinage de 0, f(x) est équivalente au quotient des monômes de plus bas degré.

Au voisinage de ∞, f(x) est équivalente au quotient des monômes de plus haut degré.

(12)

III D´ eveloppements limit´ es

1. Notion de d´ eveloppement limit´ e

D´efinition

Soit f :I →R une application, et soitx₀ un réel élément ou extrémité de I.

Soit n un entier naturel. On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)

`

a l’ordre n en x₀ s’il existe des r´eels a₀, a₁, . . . , a_n et une fonction x 7→ ε(x) tels que :

∀x∈I, f(x) =

n

P

k=0

a_k(x−x₀)^k+ (x−x₀)ⁿε(x), avec lim

x→x₀ε(x) = 0.

Avec les notations de Landau, cela peut s’´ecrire :f(x) =

n

P

k=0

a_k(x−x₀)^k+ o((x−x₀)ⁿ).

Proposition (unicité du développement limité)

Soit f une application ayant un DL d’ordren enx₀ : f(x) =

n

P

k=0

a_k(x−x₀)^k+ o((x−x₀)ⁿ).

Alors les coefficients a₀, a₁, . . . , a_n sont d´efinis de fa¸con unique.

Le polynˆome P(x) =

n

P

k=0

a_k(x−x₀)^k est appelé partie principale du développement limité.

Troncature d’un d´eveloppement limit´e

– Supposons que f admette un DL d’ordre n en x₀. Soitp un entier naturel, p≤n.

Alorsf admet un DL d’ordrep en x0, obtenu par troncature. Plus pr´ecis´ement : f(x) =

n

P

k=0

a_k(x−x₀)^k+ o((x−x₀)ⁿ)⇒f(x) =

p

P

k=0

a_k(x−x₀)^k+ o((x−x₀)^p).

Par exemple, si f(x) = 1−x+ 2x³+x⁴+ o(x⁴), alors f(x) = 1−x+ 2x³+ o(x³).

– Il arrive qu’on utilise les notations “O” de Landau dans un d´eveloppement limit´e.

Par exemple, si f(x) = 1 + 2x²+x³−x⁴+ o(x⁴), alors f(x) = 1 + 2x²+x³ + O(x⁴).

Cette derni`ere ´ecriture contient un peu plus d’informations que f(x) = 1 + 2x²+x³+ o(x³).

DL et ´equivalents

– On consid`ere le d´eveloppement f(x) =

n

P

k=0

a_k(x−x₀)^k+ o((x−x₀)ⁿ).

Si tous les a_k sont nuls, alors f(x) est n´egligeable devant (x−x₀)ⁿ au voisinage de x₀. Sinon, et si m est l’indice minimum tel quea_m6= 0, alors f(x)∼a_m(x−x₀)^m en x₀.

Inversement, sif(x)∼a_m(x−x₀)^menx₀, avecm ∈N, alorsf(x) =a_m(x−x₀)^m+o((x−x₀)^m).

Par exemple : cosx= 1− x² 2! +x⁴

4! + o(x⁴)⇒cosx−1 + x² 2! ∼ x⁴

4! en 0.

– Dans la pratique, on utilisera souvent les équivalents dans les recherches de limites, et les développements limités lorsqu’on cherche plus de précision (par exemple non seulement l’existence d’une demi-tangente mais encore la position de la courbe par rapport à celle-ci) ou quand il est difficile d’utiliser des équivalents (notamment dans les sommes.)

(13)

DL `a gauche ou `a droite en un point

Soit f :I →R une application d´efinie au voisinage d’un point x₀.

Il arrivera que seule la restriction de f à I∩]a,+∞[ ou àI∩]− ∞, a[ possède un DL en x₀. On parlera dans ce cas de développement limité à droite ou à gauche en x₀.

Définition (développement limité au voisinage de ±∞)

Soit f :I →R une application d´efinie au voisinage de +∞ (ou de−∞.)

Soit n un entier naturel. On dit quef admet un développement limité (en abrégé un DL) à l’ordre n en +∞ (resp. en−∞) s’il existe des réels a0, a1, . . . , an et une fonction x7→ ε(x) tels que : ∀x∈I, f(x) =

n

P

k=0

a_k

x^k + ε(x)

xⁿ , avec lim

x→∞ε(x) = 0.

Avec les notations de Landau, cela peut s’´ecrire :f(x) =

n

P

k=0

a_k

x^k + o 1 xⁿ

. Remarque

Tant pour les DL à droite où à gauche que pour les DL en ±∞, on dispose de propriétés analogues à celles qui ont déjà été vues (unicité, troncature, équivalents, etc.)

Importance des d´eveloppements `a l’origine

– f a un DL d’ordre n en x₀ ⇔g :x7→g(x) = f(x₀+x) a un DL d’ordren en 0.

Plus pr´ecis´ement : f(x) =

n

P

k=0

a_k(x−x₀)^k+ o((x−x₀)ⁿ)⇔g(x) =

n

P

k=0

a_kx^k+ o(xⁿ).

– De mˆeme, f a un DL d’ordre n en±∞ ⇔h:x7→h ₁

x

a un DL d’ordren en 0.

Plus pr´ecis´ement : f(x) =

n

P

k=0

ak

x^k + o 1 xⁿ

⇔h(x) =

n

P

k=0

a_kx^k+ o(xⁿ).

– Ces deux remarques, et le fait que les calculs y sont plus simples, font que les DL sont généralement formés à l’origine (c’est d’ailleurs le cas des DL usuels.)

DL et continuité, DL et dérivabilité

– Dire que f admet un DLf(x) =a0+ o(1) d’ordre 0 enx0, c’est dire quef est continue (ou prolongeable par continuit´e) en x₀.

Ce développement s’écrit nécessairement f(x) =f(x₀) + o(1).

– Dire que que f admet un DL f(x) =a0+a1(x−x0) + o(x−x0) d’ordre 1 en x0, c’est dire que f est dérivable (après prolongement éventuel en x₀).

Ce développement s’écrit nécessairement f(x) =f(x₀) +f⁰(x₀)(x−x₀) + o(x−x₀).

– En revanche un DL d’ordre n≥2 en x₀ n’implique pas que f soit deux fois d´erivable en x₀. Un contre-exemple est donn´e par l’application f :x7→x³sin_x¹ en 0.

– Si f est de classe Cⁿ de I dans R, et si x₀ appartient à I, alors l’égalité de Taylor-Young prouve l’existence du DL de f en x₀ à l’ordre n. Ce DL s’écrit :

f(x) =f(x₀) +f⁰(x₀)(x−x₀) + f⁰⁰(x₀)

2! (x−x₀)²+· · ·+f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! (x−x₀)ⁿ+ o((x−x₀)ⁿ)

(14)

Placement par rapport `a une tangente ou `a une asymptote – On suppose que f admet un DL d’ordre n≥3 en x₀ :

f(x) = a0+a1(x−x0) +· · ·+an(x−x0)ⁿ+ o((x−x0)ⁿ)).

On sait que cela implique la d´erivabilit´e de f en x₀, avec f(x₀) =a₀ et f⁰(x₀) = a₁.

L’´equation de la tangente ∆ `a la courbe y=f(x) en x=x₀ est donc y=a₀+a₁(x−x₀).

Remarque : si le DL n’est valable qu’`a gauche ou `a droite dex0, c’est une demi-tangente.

Soit m l’indice minimum tel que m ≥2 et a_m 6= 0.

Alorsf(x)−a₀−a₁(x−x₀)∼a_m(x−x₀)^m au voisinage de x₀.

On en d´eduit le placement local de la courbe y=f(x) par rapport `a ∆.

Si m est pair, le placement de y=f(x) par rapport `a ∆ est donn´e par le signe de a_m. Si a_m >0, la courbe est localement “au-dessus” de sa tangente.

Si a_m <0, la courbe est localement “en-dessous” de sa tangente.

Si m est impair, la courbe y=f(x) “traverse” ∆ au voisinage deM₀.

∆ est donc une tangente d’inflexion.

– On suppose qu’au voisinage de±∞on a le d´eveloppement : f(x)

x =a₀+a₁

x +· · ·+a_n

xⁿ+o 1 xⁿ

. Alorsf(x) =a0x+a1+a₂

x +· · ·+ a_n xⁿ⁻¹+ o

1 xⁿ⁻¹

(c’est un “d´eveloppement asymptotique”.) Ainsi lim

x→±∞(f(x)−a₀x−a₁) = 0. On en déduit que la droite ∆ d’équation y=a₀x+a₁ est asymptote à la courbe y=f(x) au voisinage de±∞.

Soit m l’indice minimum tel que m ≥2 et a_m 6= 0. Alorsf(x)−a₀x−a₁ ∼ a_m x^m−1. On en d´eduit le placement de la courbe y=f(x) par rapport `a ∆ au voisinage de ±∞.

DL et parit´e

– Soit f une application d´efinie sur un intervalle de centre 0.

On suppose que f admet un DL d’ordre n `a l’origine : f(x) =

n

P

k=0

a_kx^k+ o(xⁿ).

Si f est paire, la partie principale du DL est paire.

Autrement dit les coefficients a2k+1 sont nuls : f(x) =a0+a2x²+· · ·+a2kx^2k+· · · Si f est impaire, alors la partie principale du DL de f est un polynˆome impair.

Autrement dit les coefficients a_2k sont nuls : f(x) = a₁x+a₃x³+· · ·+a_2k+1x^2k+1+· · · – Si on forme le DL d’une fonction paire ou impaire, il pourra ˆetre utile d’utiliser cette parit´e

et la notation “O” pour améliorer à peu de frais la précision du développement.

Supposons par exemple quef soit paire : f(x) =a₀+a₂x²+a₄x⁴+ O(x⁶) est plus précis que f(x) = a₀+a₂x²+a₄x⁴+ o(x⁵), lui-même plus précis que f(x) = a₀+a₂x²+a₄x⁴+ o(x⁴).

Une derni`ere remarque

Dans un DL f(x) = a₀+a₁(x−x₀) +a₂(x−x)^k+· · ·+a_n(x−x₀)ⁿ+ o((x−x₀)ⁿ), on ne d´eveloppera jamais les termesa_k(x−x₀)^k, avec k≥2.

En revanche, on rappelle que y = a₀+a₁(x−x₀) = a₁x+ (a₀ −a₁x₀) est l’´equation de la tangente en M0(x0, f(x0)) `a la courbe y=f(x).

(15)

2. D´ eveloppements limit´ es usuels

Tous les développements ci-dessous sont valables à l’origine, et peuvent être obtenus par la formule de Taylor-Young (ou par d’autres méthodes qui seront exposées plus loin.)

e^x = 1 +x+x² 2! + x³

3! +· · ·+ xⁿ

n! + o(xⁿ) =

n

X

k=0

x^k

k! + o(xⁿ)

sinx=x− x³ 3! +x⁵

5! +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! + o(x²ⁿ⁺²) =

n

X

k=0

(−1)^k x^2k+1

(2k+ 1)! + o(x²ⁿ⁺²)

cosx= 1− x² 2! +x⁴

4! +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)!+ o(x²ⁿ⁺¹) =

n

X

k=0

(−1)^k x^2k

(2k)! + o(x²ⁿ⁺¹)

shx=x+x³ 3! +x⁵

5! +· · ·+ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! + o(x²ⁿ⁺²) =

n

X

k=0

x^2k+1

(2k+ 1)! + o(x²ⁿ⁺²)

chx= 1 + x² 2! + x⁴

4! +· · ·+ x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) =

n

X

k=0

x^2k

(2k)!+ o(x²ⁿ⁺¹)

tanx=x+ x³

3 +2x⁵

15 + o(x⁶) thx=x−x³

3 + 2x⁵

15 + o(x⁶) 1

1 +x = 1−x+x²−x³+· · ·+ (−1)ⁿxⁿ+ o(xⁿ) =

n

X

k=0

(−1)^kx^k+ o(xⁿ)

1

1−x = 1 +x+x²+x³+· · ·+xⁿ+ o(xⁿ) =

n

X

k=0

x^k+ o(xⁿ)

(1 +x)^α = 1 +αx+α(α−1)

2! x²+· · ·+ α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ+ o(xⁿ) ln(1 +x) = x−x²

2 + x³

3 +· · ·+ (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n + o(xⁿ) =

n

X

k=1

(−1)^k+1x^k

k + o(xⁿ)

ln(1−x) =−x− x² 2 − x³

3 − · · · − xⁿ

n + o(xⁿ) = −

n

X

k=1

x^k

k + o(xⁿ)

arctanx=x−x³ 3 + x⁵

5 +· · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

2n+ 1 + o(x²ⁿ⁺²) =

n

X

k=0

(−1)^k x^2k+1

2k+ 1 + o(x²ⁿ⁺²)

arcsinx=x+1 2

x³

3 +1·3 2·4

x⁵

5 +1·3·5 2·4·6

x⁷

7 +· · ·+ o(x²ⁿ⁺²) arccosx= π

2 −arcsinx=· · ·

(16)

3. Op´ erations sur les DL

Pour simplifier, les résultats sont énoncés pour des DL à l’origine, mais on peut facilement les adapter à des développements en un autre point, voire en ±∞.

Combinaisons lin´eaires

– Soient f, g :I →R telles que f(x) =

n

P

k=0

a_kx^k+ o(xⁿ) et g(x) =

n

P

k=0

b_kx^k+ o(xⁿ).

Alors, pour tous scalaires α, β, on a : (αf+βg)(x) =

n

P

k=0

(αa_k+βb_k)x^k+ o(xⁿ).

– Exemples : sin

x+π 4

=

√2

2 (sinx+ cosx) =

√2 2

1 +x− x² 2! − x³

3! +x⁴

4! + o(x⁴) . 1

2 ln1 +x 1−x

= 1 2

ln(1 +x)−ln(1−x)

=x+x³ 3 +x⁵

5 +· · ·+ x²ⁿ⁺¹

2n+ 1 + o(x²ⁿ⁺²).

DL obtenu par primitivation

– Soit f :I →R admettant un DL d’ordre n en 0 : f(x) =

n

P

k=0

a_kx^k+ o(xⁿ).

SoitF une primitive de f sur l’intervalleI (donc une application dérivable telle queF⁰ =f.) AlorsF a en 0 un DL d’ordre n+ 1 obtenu par intégration terme à terme de celui de f.

Plus pr´ecis´ement : F(x) =F(0) +

n

P

k=0

ak

k+1x^k+1+ o(xⁿ⁺¹) (ne pas oublier F(0)...) – Exemples :

Si f(x) = ln cosx, alors f⁰(x) = −tanx=−x− x³

3 − 2x⁵

15 + o(x⁶).

On en d´eduit f(x) = −x² 2 − x⁴

12− x⁶

45+ o(x⁷).

Si f(x) = arctan x+ 2

1−2x, alorsf⁰(x) = 1

1 +x² = 1−x²+x⁴−x⁶+ o(x⁷).

On en d´eduit f(x) = arctan 2 +x−x³ 3 + x⁵

5 −x⁷

7 + o(x⁸).

DL obtenu par d´erivation

– Soit f une application de classe Cⁿ⁺¹ au voisinage de 0. Alors le développement limité de f⁰ en 0 à l’ordre n s’obtient en dérivant terme à terme le développement limité de f en 0 à l’ordren+ 1 (ces deux développements résultent de la formule de Taylor-Young).

Ce r´esultat est surtout utilis´e pour des applications de classeC^∞. – Exemple : On sait que 1

1−x = 1 +x+x²+· · ·+xⁿ+ o(xⁿ).

Par d´erivation, on en d´eduit : 1

(1−x)² = 1 + 2x+ 3x²+ 4x³· · ·+ (n+ 1)xⁿ+ o(xⁿ).

Un nouvelle d´erivation donne : 1

(1−x)³ = 1 + 3x+ 6x²+· · ·+ (n+ 2)(n+ 1)xⁿ+ o(xⁿ).

(17)

Produit de deux DL

n

P

k=0

n

P

k=0

b_kx^k+ o(xⁿ).

Alors (f g)(x) =

n

P

k=0

c_kx^k+ o(xⁿ), avec c_k = P

i+j=k

a_ib_j. – Exemples :

On a e^x = 1 +x+x² 2! + x³

3! +x⁴

4! + o(x⁴) et 1

1−x = 1 +x+x²+x³+x⁴+ o(x⁴).

On en d´eduit e^x

1−x = 1 + 2x+5

2x²+8

3x³+65

24x⁴+ o(x⁴)

1

1−x = 1 +x+x²+· · ·+xⁿ+ o(xⁿ)⇒ 1

(1−x)² = 1 + 2x+ 3x²+· · ·+ (n+ 1)xⁿ+ o(xⁿ).

Composition de deux DL

n

P

k=1

n

P

k=0

b_kx^k+ o(xⁿ).

Remarque : il est important que le coefficient constant a0 du DL de f soit nul. Autrement dit l’application f doit ˆetre un infiniment petit quand xtend vers 0.

Dans ces conditions, l’applicationg◦f admet un DL d’ordren en 0.

Si on noteP =

n

P

k=1

a_kx^ketQ=

n

P

k=0

b_kx^k les parties régulières des DL def etg, alors la partie régulière de celui de g◦f est obtenue en conservant les termes de degré≤n dans Q◦P. Dans la pratique, on pose g(X) =

n

P

k=0

bkX^k+ o(Xⁿ) et on remplaceX par le DL de f(x).

On calcule de proche en proche les DL des puissances successivesX^k=f(x)^k, en ne gardant

`

a chaque ´etape que les puissances x^m avec m≤n.

– Exemple :

Supposonsf(x) =x−x²+ 2x³+x⁴+ o(x⁴) et g(X) = 1 +X+ 3X²−X³−X⁴+ o(X⁴).

PosonsX =f(x) = x−x²+ 2x³+x⁴+ o(x⁴).

On trouve X² =x² −2x³+ 5x⁴+ o(x⁴), puis X³ =x³ −3x⁴+ o(x⁴) et X⁴ =x⁴+ o(x⁴).

On en déduit le développement limité de g◦f à l’ordre 4 à l’origine :

(g◦f)(x) = 1 +X+ 3X²−X³−X⁴+ o(X⁴) = 1 +x+ 2x²−5x³+ 18x⁴+ o(x⁴) Les calculs pr´ec´edents peuvent

avantageusement prendre place dans un tableau comme indiqu´e ci-contre.

Un tel tableau est particulièrement indiqué quand aucun des deux DL à composer n’est pair ou impair.

coeff X x −x² 2x³ x⁴ 1 X² x² −2x³ 5x⁴ 3

X³ x³ −3x⁴ −1

X⁴ x⁴ −1

x 2x² −5x³ 18x⁴

(18)

Inverse d’un DL

– Soit f :I →R admettant un DL d’ordre n en 0 : f(x) =

n

P

k=0

a_kx^k+ o(xⁿ).

On suppose que a₀ 6= 0 (autrement dit f poss`ede une limite non nulle en 0.) Dans ces conditions l’applicationx7→ 1

f(x) poss`ede un DL d’ordre n en 0.

Pour cela on ´ecrit 1

f(x) = 1

a₀(1−g(x)) o`u g(x) = −1 a₀

a₁x+a₂x²+· · ·+a_nxⁿ+ o(xⁿ) . On compose ensuite le DL de x7→g(x) par celui de x7→ 1

1−x. – Exemple :

On veut calculer le d´eveloppement limit´e de x7→ 1

cosx `a l’origine, `a l’ordre 7.

On sait que cosx= 1− x² 2! + x⁴

4! − x⁶

6! + o(x⁷).

On pose donc 1

cosx = 1

1−g(x), avec X =g(x) = x² 2! − x⁴

4! +x⁶

6! + o(x⁷).

On utilise ensuite 1

1−X = 1 +X+X²+X³+ O(X⁴).

On trouve X² = x⁴ 4 − x⁶

24+ o(x⁷) et X³ = x⁶

8 + o(x⁷).

On obtient finalement : 1

cosx = 1 + x²

2 +5x⁴

24 +61x⁶

720 + o(x⁷).

Quotient de deux DL

– Soientf, g :I →Rtelles que f(x) =

n

P

k=0

a_kx^k+ o(xⁿ) etg(x) =

n

P

k=0

b_kx^k+ o(xⁿ), avecb₀ 6= 0.

On suppose donc que l’applicationg ne tend vers 0 `a l’origine.

Dans ces conditions, f

g admet un DL en 0 `a l’ordre n.

Ce d´eveloppement est obtenu en effectuant le produit de celui de f par celui de 1 g. – Exemple :

On peut obtenir le d´eveloppement limit´e de tanx en 0 par quotient.

On sait que sinx=x− x³ 3! +x⁵

5! − x⁷

7! + o(x⁸).

On a vu pr´ec´edemment que 1

cosx = 1 + x²

2 +5x⁴

24 +61x⁶

720 + o(x⁷).

On en déduit le développement limité de x7→tanx en 0, à l’ordre 8 : tanx = sinx

cosx =x 1− x²

6 + x⁴

120 − x⁶

5040 + o(x⁷) 1 + x²

2 +5x⁴

24 +61x⁶

720 + o(x⁷)

=x+ x³

3 +2x⁵

15 +17x⁷

315 + o(x⁸)

(19)

Quelques remarques pour finir

– Soient f, g :I →R deux applications admettant un DL en 0.

On suppose que f(x) = apx^p+ap+1x^p+1+ap+2x^p+2+· · ·, avec p≥0.

De mˆeme, on suppose que g(x) = b_qx^q+b_q+1x^q+1+b_q+2x^q+2+· · ·, avec q ≥0.

Pour former le DL du produit f g à l’ordre n, il suffit de former celui de f à l’ordre n−q et celui deg à l’ordre n−p.

Par exemple, pour calculer le DL de (1−cosx)(sinx−x) en 0 `a l’ordre 8 : On ´ecrit 1−cosx= x²

2! − x⁴

4! + o(x⁵) et sinx−x=−x³ 3! +x⁵

5! + o(x⁶).

On en d´eduit :

(1−cosx)(sinx−x) = x² 2 − x⁴

24+ o(x⁵)

−x³ 6 + x⁵

120 + o(x⁶)

=−x⁵ 12 +x⁷

90+ o(x⁸) – Soient f, g :I →R deux applications admettant un DL en 0.

On suppose que f(x) = a_px^p+a_p+1x^p+1+a_p+2x^p+2+· · ·, avec p≥1.

De mˆeme, on suppose que g(x) = b₀+b₁x+b₂x²+· · ·.

Pour former le DL deg◦f en 0, on écrit : (g◦f)(x) = b₀+b₁f(x)+b₂f²(x)+· · ·+b_kf^k(x)+· · · Mais le développement def^k(x) débute par (a_px^p)^k =a^k_px^pk.

On voit que pour obtenir le DL de g◦f en 0 `a l’ordre n, il faut porter celui def `a un ordre m tel que pm≤n < p(m+ 1). Donc m= E(ⁿ_p).

Par exemple, pour calculer le DL de ln(1 +x−arctanx) en 0 `a l’ordre 6 : On ´ecrit X =x−arctanx= x³

3 − x⁵

5 + o(x⁶) et ln(1 +X) = X−X²

2 + O(X³).

On trouve X² = x⁶

18+ o(x⁶) puis ln(1 +x−arctanx) = x³ 3 − x⁵

5 − x⁶

18 + o(x⁶)

– Quand on doit calculer le DL à un ordre déterminé d’une application f qui s’exprime en fonction d’autres applications g, h, . . . il faut prendre le temps de comprendre à quel ordre les DL de g, h, . . . doivent être calculés. Il y a en effet deux risques : celui de partir avec des DL trop “longs” et de faire beaucoup de calculs inutiles, et celui au contraire de partir avec des DL trop “courts” ce qui oblige à tout recommencer.

Par exemple, pour calculer le DL en 0 (`a droite) de f(x) = 1

x ln(cos√

x) `a l’ordre 2 : On ´ecrit cosx= 1−x²

2! + x⁴ 4! − x⁶

6! + O(x⁸) puis cos√

x= 1− x 2 + x²

24− x³

720 + o(x³).

On poseX =−x 2+x²

24− x³

720+ o(x³) et on compose par ln(1 +X) =X−X² 2 +X³

3 + o(X³).

Apr`es calcul, on trouve : ln(cos√

x) =−x 2 − x²

12− x³

45+ o(x³).

Finalement, la division par x fait chuter l’ordre du DL d’une unit´e.

Le d´eveloppement cherch´e est donc : 1

x ln(cos√

x) =−1 2 − x

12 − x²

45 + o(x²).

Pour obtenir un résultat à l’ordre 2, il a donc fallu développerx7→cosx à l’ordre 6.

(20)

– Quand on veut calculer le DL de g◦f en 0 en composant les développements def et de g à l’origine, il faut veiller à ce que f(x) soit bien un infiniment petit lorsque xtend vers 0, afin que la substitution de X par f(x) soit justifiée dans le développement de g(X). Si ce n’est pas le cas, on peut souvent s’y ramener, comme dans les exemples suivants :

expf(x) = exp(a₀+a₁x+a₂x²+· · ·) = exp(a₀) exp(a₁x+a₂x²+· · ·).

On pose alors X =a₁x+a₂x²+· · · et on utilise exp(X) = 1 +X+X² 2! +· · · lnf(x) = ln(a0+a1x+a2x² +· · ·) = ln(a0) + ln

1 + a1

a₀x+ a2

a₀ x²+· · · . On pose alors X = a₁

a₀ x+a₂

a₀ x²+· · · et on utilise ln(1 +X) = X−X² 2 +· · · f(x)^α= (a₀+a₁x+a₂x²+· · ·)^α=a^α₀

1 + a₁

a₀ x+ a₂

a₀ x²+· · ·α

. On pose alors X = a₁

a₀ x+a₂

a₀ x²+· · · et on utilise (1 +X)^α = 1 +αX+α(α−1)

2 X²+· · · – On sait que (1 +x)^α = 1 +a1x+a2x²+· · ·+anxⁿ+ o(xⁿ), o`uak= α(α−1)· · ·(α−k+ 1)

k! .

Si on doit former un tel développement avec une valeur particulière de α, et plutôt que d’utiliser la formule donnant a_k, il est préférable de calculer les a_k de proche en proche, au moyen d’un tableau comme indiqué ci-dessous :

1 ∗α ∗(α−1)∗ ¹₂ ∗(α−2)∗¹₃ ∗(α−3)∗ ¹₄ ∗(α−4)∗¹₅

a₀ =a₁ =a₂ =a₃ =a₄ =a₅

Par exemple, pour d´evelopperf(x) = √

1 +x :

1 ∗¹₂ ∗⁻¹₂ ∗ ¹₂ ∗⁻³₂ ∗ ¹₃ ∗⁻⁵₂ ∗ ¹₄ ∗⁻⁷₂ ∗ ¹₅

=a₀ =a₁ = ¹₂ =a₂ = ⁻¹₈ =a₃ = ₁₆¹ =a₄ = ₁₂₈⁻⁵ =a₅ = ₂₅₆⁷

On en d´eduit : √

1 +x= 1 + x 2 −x²

8 + x³

16− 5x⁴

128 + 7x⁵

256 + o(x⁵)

– Il arrive qu’on ait besoin de développements limités pour trouver un simple équivalent d’une expression (notamment quand cette expression est constituée de sommes).

Par exemple, pour un ´equivalent de sin(shx)−sh (sinx) en 0, il faut d´evelopper sinxet shx

`

a l’ordre 7 (pour atteindre les premiers coefficients qui ne se simplifient pas) : On trouve d’abord sin(shx) = x− x⁵

15 − x⁷

90 + o(x⁷).

On trouve ensuite sh (sinx) =x− x⁵ 15+ x⁷

90+ o(x⁷).

On en d´eduit : sin(shx)−sh (sinx) = −x⁷

45 + o(x⁷)∼ −x⁷ 45.