ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 10 26 mars 2019
- - - > deux exercices au choix
Exercice I.
Une page contient une erreur. A chaque relecture, l'erreur est corrigée avec probabilité 1 3. Les relectures successives sont indépendantes.
On dénit les évènements :
An ={l'erreur n'a pas été corrigée au cours desnpremières relectures}, pour n∈N∗. Ek ={lakerelecture a corrigé l'erreur}, pourk∈N∗.
1. ExprimerAn en fonction des Ek, où1≤k≤n. 2. CalculerP(An).
3. En déduire que l'erreur est presque surement corrigée en un nombre ni de relectures.
Exercice II.
On considère la fonctionf dénie par f(x) =x|x|.
1. Expliquer brièvement pourquoif est continue surR.
2. Sur quel ensemble peut-on dire (sans calcul) quef est de classeC∞? Justier.
3. Etudier la dérivabilité def en0. Que peut-on en conclure ?
Exercice III.
On considère l'intégrale I= Z 0
−2
|t+ 1|+|2t+t2| dt. 1. Sans la calculer, mais en justiant, donner le signe deI. 2. Etudier le signe de t+ 1 et de 2t+t2.
3. En citant les propriétés de l'intégrale utilisées, calculerI.
Exercice IV.
Soit F la fonction dénie surRparF(x) = Z x2
0
(2−t)e−t3dt. 1. Vérier queF est bien dénie surR.
2. Etudier la parité deF.
3. DériverF et étudier ses variations.
Exercice V.
Soita∈Rxé, etf une fonction paire sur[−a;a]. 1. Montrer que Z 0
−a
f(t)dt= Z a
0
f(t)dt. (On pourra faire un changement de variable.) 2. En déduire que Z a
−a
f(t)dt= 2 Z a
0
f(t)dt.
3. En menant un raisonnement analogue, exprimer Z a
−a
f(t)dt dans le cas où f est impaire sur[−a;a].
Exercice VI.
1. Soitx∈R. Montrer par récurrence surn∈Nque Z x 0
(x−t)n
n! etdt=ex−
n
X
k=0
xk k!. 2. Pourx≥0, en déduire que
ex−
n
X
k=0
xk k!
≤ex xn+1 (n+ 1)!.
3. Utiliser le résultat précédent pour retrouver la somme de la série de terme général xn n!. 1/1
