A574. Les diviseurs de n^n
Pour k = 1,2,3,...on détermine la suite S des entiers positifs dont le terme général uk est égal au plus petit entier n tel que nn admet au moins 10k diviseurs entiers positifs.
Q1 Trouver le plus petit indice k1 tel qu'on trouve pour la première fois dans S deux termes consécutifs identiques, à savoir uk1 = uk1+1
Q2 Trouver le plus petit indice k2 tel qu'on trouve pour la première fois dans S trois termes consécutifs identiques, à savoir uk2 = uk2+1 = uk2+2
Solution proposée par Gaston Parrour
Préliminaires
Avec un entier n = Pi qiai (Pi produit sur l'indice i pour m nombres premiers affecté chacun d'un exposant ai) nn = [Pi qiai]n = Pi qinai (1)
Le nombre Nd de diviseurs de nn est
Nd = Pi (1+nai) i=1,m (2) 1 - L'inégalité Nd ≥ 10k
implique a priori une valeur minimale n
seuil de n, qui dépend de k, du nombre m de nombres premiers et des valeurs des ai constituant l'ensemble {ai} de leur exposant.
L'équation Pi (1+ ai x) = 10k admet une solution x0 positive et l'entier n
seuil se déduit de x0
N.B. La résolution de l'équation précédente peut se faire directement ou par approximation rapide :si x0 est attendu grand devant l'unité, on peut dans une première approche négliger ''1'' dans chaque parenthèse, - quitte à modifier d'une unité, si besoin est, le candidat n
seuil déterminé ainsi. ) → Notation adoptée pour la valeur seuil n
seuil: n
k
s ( m ; a1,a2, …) (3)
2 - D'autre part (pour k donné) on doit alors calculer un entier n
inf = Pi qiai où n
inf est l'entier le plus petit possible contenant m nombres premiers affectés des exposants {ai} ; il doit vérifier n
inf ≥ n
k
s ( m ; a1,a2, …) → Notation pour un k donné et une configuration (m;a1,a2,...) donnée : n
inf = n
k(m;a1,a2, …) (4) Donc pour un k donné :
==> A chaque choix de m et de l'ensemble des exposants {ai}, correspond un couple [ n
inf , n
k
s ( m ; a1,a2, …) ] On est donc conduit à considérer divers n
inf (selon m et {ai} choisis) → L'élément de rang k de la suite S est le plus petit de ces n
inf
u
k = Min { n
inf }
Remarque concernant la valeur seuil : Pour k donné, à l'aide de l'expression (2) de Nd, on observe directement : la plus grande valeur du seuil n
k
s est obtenue lorsque m = 1 et a1 = 1 , n
k
s diminue avec m > 1 (avec ai = 1 pour tout i) , pour m fixé , si des ai sont > 1 , n
k
s diminue par rapport au cas ''ai = 1 pour tout i'' (mais alors les nombres n
inf croissent rapidement !) Q1 Le plus petit indice k1 qui réalise u k1 = u k1+1
Pour mettre en œuvre les remarques préliminaires considérons les premiers entiers k [notations (3) et (4) utilisées]
k = 1
Un seul premier p1 (m=1) : l'expression (2) fournit (1+a1p1) ≥ 10
l'exposant a1=1 , la valeur n
seuil est n
1
s ( 1; 1) = 9 et donc n
inf = n
1(1;1) = 11 (n
inf ≥ n
seuil ) l'exposant a1 > 1 , la valeur de n
1
s diminue, mais ici tout p1a1 qui respecte p1a1 ≥ n
1
s (1;a1) sera > 11 Donc un premier candidat n
inf = n
1(1;1) = 11 obtenu avec m = 1 Deux premiers distincts p1 et p2 (m=2)
si a1=a2=1 la valeur de n
seuil est définie à partir de (1+x)2 ≥ 10 ==> n
1
s ( 2; 1,1) = 3
le choix minimal p1 = 2 , p2 = 3 conduit à n = 6 Cet entier vérifie n ≥ n
1
s ( 2; 1,1) Donc un second candidat n
inf = n
1(2;1,1) = 6 obtenu avec m = 2
N.B. On vérifie directement que les configurations m = 2 avec a1 et/ou a2 > 1 ; ou encore m > 2 ne conduisent pas à une valeur de n
inf plus faible
Le premier terme de S est ==> u1 = 6
Remarque : avec n = 6, on a ainsi Nd(66) = (1+6)(1+6) = 49 Nd > 10 comme attendu , mais Nd < 100 ==> cette valeur de n
inf = 6 ne peut servir pour définir u2 k = 2
Compte tenu des remarques préliminaires, il est clair, à partir du résultat pour k=1, qu'un seul nombre premier conduit soit à des valeurs n
seuil plus élevées, soit à des valeurs grandes pour n
inf (cas de a1>1) En passant à deux nombres premiers distincts avec a1=a2=1 et ici k = 2 , la valeur n
seuil est l'entier positif solution de ( 1+n)2 ≥ 102 ==> n
2
s ( 2; 1,1) = 9 Dans cette configuration, le nombre n
inf > n
2
s ( 2; 1,1) est donc n
inf = 2.5 = 10
N.B. On vérifie directement que toute configuration ( m > 2 et/ou ai >1) ne fournit pas de valeur plus faible de n
inf
Le second terme de S est ==> u2 = 10 Avec ceci 102 < Nd(1010) = (1+10)2 = 121 < 103 ==> cette valeur n
inf = 10 ne peut convenir pour u3 k = 3
Cas de deux nombres premiers m = 2 Avec a1 = a2 = 1
la valeur seuil est obtenue à partir de (1+x)2 ≥ 103 ==> n
3
s ( 2; 1,1) = 31 → cette valeur seuil élevée conduit nécessairement à des candidats n
inf 'grands' Avec a1 et/ou a2 > 1
→ avec m fixé les valeurs seuils diminuent lorsque des ai > 1, à partir du minimum trouvé pour k=2, on peut donc - dresser une liste de candidats n
inf a priori (avec m=2 et des ai>1)
- et vérifier, pour les conserver, s'ils dépassent la valeur n seuil qui leur correspond.
Ainsi, à partir de n
inf =10 obtenu pour k = 2, les ''candidat n
inf'' (ordre croissant) sont avec valeur seuil en regard) n
inf = 22.3 = 12 n
3
s (2;2,1) = 22 non retenu = 2.32 = 18 n
3
s (2;2,1) = 22 non retenu = 23.3 = 24 n
3
s (2;3,1) = 18 <=== le plus petit retenu
= 22.32 = 36 n
3
s (2;2,2) = 16 retenu ==> la valeur n
inf 23.3 = 24 est la plus petite ici qui satisfait à n
inf > n seuil u3=24 N.B. Cas de trois nombres premiers m = 3 la plus faible valeur minimale de n envisageable est n
inf = 2.3.5 = 30
Avec ceci 103 < Nd(2424) = (1+3.24)(1+24) = 1825 < 104 ==> cette valeur n
inf = 24 ne peut convenir pour u4 k = 4
→ on a vu (dans le cas k=3) qu'avec deux nombres premiers, la valeur suivante pour n
inf (36) est supérieure à celle liée aux trois premiers nombres premiers (ai=1) n
inf = 30 Celle-ci peut convenir si elle vérifie
n
inf > n
4
s ( 3; 1,1,1) , or à partir de (1+x)3 = 104 → n
4
s ( 3; 1,1,1) = 21 ==> u4 = 30
Avec ceci 104 < Nd(3030) = (1+30)3 = 28830 < 105 ==> cette valeur n
inf = 30 ne peut convenir pour u5 k = 5
Après avoir noté que la valeur minimale avec m=4 nombres premiers est n
inf = 2.3.5.7 = 210, → comme dans le cas k=4 ci-dessus , on examine les divers candidats 30< n
min< 210 (ici pour m = 3 ) , et chaque candidat est comparé à son seuil correspondant
Puisque n
5
s ( 3; 1,1,1) = 46 et n
5
s ( 3; 2,1,1) = 36 n
inf = 2.3.7 = 42 ne peut être retenu , par contre n
inf = 22.3.5 = 60 le peut, c'est donc le minimum réalisable ==> u5 = 60
Avec ceci 105 < Nd(6060) = (1+2.60)(1+60)2 = 4,5 ... < 106 ==> cette valeur n
inf = 60 ne peut convenir pour u6 On poursuit ainsi
k = 6
Avec n
6
s ( 3; 1,1,1) = 99 et n
6
s ( 3; 2,1,1) = 80 , n
inf = 3.5.7 = 105 n'est pas retenu mais n
inf = 2.32.5 = 90 convient ==> u6 = 90
Avec Nd(9090) = (1+2.90)(1+90)2 = 1,19 … 106 ==> on doit définir u7 k=7
Avec n
7
s ( 3; 1,1,1) = 215 n
7
s ( 3; 2,1,1) = 171 n
7
s ( 3; 3,1,1) = 150 n
7
s ( 3; 2,2,1) = 135 → n
inf = 23.3.7 = 168 est le plus petit qui satisfait sa contrainte de seuil n
7
s ( 3; 3,1,1) = 150 (n
inf= 22.32.5 = 180 > n
7
s ( 3; 2,2,1) = 135 , n'est pas le plus petit de ces n
inf) ==> u7 = 168
Avec Nd(168168) = (1+3.168)(1+168)2 = 1,44 … 107 ==> on doit définir u8 k = 8
→ Sachant qu'avec m = 4 , les 4 premiers nombres premiers donnent a priori n
inf = 210 . Si ce n
inf est compatible avec sa valeur seuil, il est à mettre en regard des possibilités avec m = 3 nombres premiers dans ce cas k = 8
n
8
s ( 4; 1,1,1,1) = 99 ( à partir de (1+n)4 = 108) donc 210 > n
8
s ( 4; 1,1,1,1) D'autre part on obtient
n
8
s ( 3; 2,1,1) = 369 n
8
s ( 3; 3,1,1) = 322 n
8
s ( 3; 4,1,1) = 292 , …. n
8
s ( 3; 2,2,1) = 292 , ….
→ toutes ces valeurs seuil sont supérieures à 210 et leur décroissance avec des ai >1 conduit en contrepartie à des valeurs de candidats n
inf bien supérieures à n
8 ( 4; 1,1,1,1) = 210 qui satisfait à son critère de seuil.
==> u8 = 2.3.5.7 = 210
Avec Nd(210210) = (1+210)4 = 19,8 … 108
==> on constate ici que 210 satisfait aussi au critère pour u9 ; mais pas pour u10 . Autrement dit ==> k1 = 8 est le premier indice de la suite S pour lequel uk1 = uk1+1 (=210)
(La suite S débute donc ainsi S = 2, 10, 24, 30, 60, 90, 168, 210, 210, … ) Q2 Le plus petit indice k2 qui réalise uk2 = uk2+1 = uk2+2
En Q1 on peut observer
→ si pour un certain k, uk est donné par n
inf = n
k ( m; 1,1, …) où interviennent m nombres premiers à la puissance ai = 1
on détermine les uk' pour k' = k+1, k+2, … en conservant le même nombre m de nombres premiers (quitte à changer de nombres premiers et/ou à augmenter les puissances ''ai'' mises en jeu).
→ cela TANT QUE les divers seuils n
k'
s ( m;a1, a2, ...) n'entrent pas en compétition avec le candidat n
inf = n
k' ( m+1; 1,1, …) où interviennent m+1 nombres premiers distincts à la puissance ai = 1 Ainsi en passant à m= 5 nombres premiers le plus petit candidat minimal est (n
inf)
0 = 2.3.5.7.11 = 2310
→ A chaque fois que (n
inf )
0 est envisagé, il faut vérifier sa compatibilité avec le seuil correspondant n
k'
s ( 5;1,1,1,1,1) (lequel dépend de k')
==> Pour k > 9 on utilise cela en poursuivant la démarche faite en Q1 k = 10
Partant de u8 = u9 = 2.3.5.7 on peut former n
inf = 22.3.5.7 = 2.210 = 420 , et avec n
10
s ( 4;2,1,1,1) = 267 ==> u10 = 420
Avec Nd(420420) = (1+2.420)(1+420)3 = 6,2 … 1010 on doit poursuivre k = 11
n inf = 2.32.5.7 = 3.210 = 630 et avec n
11
s ( 4;2,1,1,1) = 473 ==> u11 = 630
Avec Nd(630630) = (1+2.630)(1+630)3 = 3,168 … 1011 on doit poursuivre k = 12
n
inf = 23.3.5.7 = 4.210 = 840 et avec n
12
s ( 4;3,1,1,1) = 760 ==> u12 = 840
Avec Nd(840840) = (1+3.840)(1+840)3 = 1,499 … 1012 on doit poursuivre
k = 13 candidat n
inf = 2.3.52.7 = 5.210 = 1050 , mais ici avec n
13
s ( 4;2,1,1,1) = 1495 cet n
inf n'est pas retenu n
inf = 22.32.5.7 = 6.210 = 1260 et avec n
13
s ( 4;2,2,1,1) = 1257 ==> u13 = 1260
Avec Nd(12601260) = (1+2.1260)2(1+1260)2 = 1,0105 … 1013 on doit poursuivre k = 14
les premiers candidats n
inf suivants avec m =4 sont
n1 =2.3.5.72 = 7.210 n2 =24.3.5.7 = 8.210 n3 =2.33.5.7 = 9.210 n4 =22.3.52.7 = 10.210 ils sont tous inférieurs à (n
inf)
0 = 2.3.5.7.11 = 11.210 = 2310 construit avec m = 5 MAIS ils sont inférieurs à leur seuil correspondant n
14
s ( 4;a1,a2,a3,a4) (donné dans l'ordre de n1,n2,n3,n4) 2660 2236 2402 2236
==> les candidats n
inf ci-dessus n1 n2 n3 n4 ne peuvent donc être retenus → Il reste à vérifier que (n
inf)
0 = 2.3.5.7.11 = 2310 est plus grand que sa valeur seuil n
14
s ( 5;1,1,1,1,1) (1+x)5 = 1014 conduit à n
14
s ( 5;1,1,1,1,1) = 630 , donc cette valeur 2310 est acceptable ==> u14 = 2310
Avec Nd(23102310) = (1+2310)5 = 6,59 … 1016
→ on constate ici que 2310 satisfait aussi au critère pour u15 et pour u16 (mais pas pour u17) . Autrement dit ==> k2 = 14 est le premier indice de la suite S pour lequel uk2 = uk2+1 = uk2+2 (=2310)
La suite S est S ={ 2, 10, 24, 30, 60, 90, 168, 210, 210, 420, 630, 840, 1260, 2310, 2310, 2310, u17>2310 , … }
