D.S. DE MATHEMATIQUES (7)NOM :PRENOM :CLASSE : TS 1

D.S. DE MATHEMATIQUES (7)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 1

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 3 H 00 I – Calculer les intégrales suivantes :

a .

∫

0 1

3x²−1 2x1

4 dx b .

∫

0

1 1

2x1² dx c .

∫

1

2 1

4x−2 dx

II-On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle

[0;∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est : p[0;t[=

∫

0 t

λ e^{− λx}dx.

Une étude statistique, montrant qu’environ 50% d’un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p([0 ; 200[) = 0,5.

1. Démontrer que λ=ln 2 200 ^.

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près.

3. On admet que la durée de vie moyenne d_mde ces composants est la limite quand A tend vers +∞

de

∫

0 A

λ x e^{− λx}dx. a . Démontrer que :

∫

0 A

λ x e^{− λx}dx=− λ A e^{− λA}− e^{− λA}1

λ .

b . En déduire ^dm on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près.

III - Un coureur s'entraîne sur un parcours comportant 20 haies. La probabilité qu'une haie soit renversée est¹₅ . Le coureur poursuit son parcours jusqu'à la fin quelque soit le nombre de haies renversées.

Soit X la variable aléatoire définie par : X = nombre de haie(s) renversée(s).

1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Justifier . 2. Déterminer PX=10.

3. Calculer PX2.

4. Donner l'espérance et la variance de X.

( Pour les questions 2. et 3. on donnera les résultats à 10⁻³ prés ).

IV - Soit u_n la suite définie sur ℕ^* par : u_n=

∑

k=n 2n

1 k=1

n 1

n1·· · 1 2n . PARTIE A

1. Démontrer que pour tout n de ℕ^* : u_n0 . 2. Démontrer que pour tout n de ℕ^* :

u_n1−u_n= −3n −2 n2n22n1. 3. En déduire le sens de variation de la suite u_n.

4. Établir alors que u_n est une suite convergente.

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L’objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite un. PARTIE B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0;∞[ par : f x=1

xln





1. a. Justifier pour tout entier naturel n non nul l’encadrement : 1

n1

∫

n n1 1

x dx1 n . b . Vérifier que :

∫

xdx=1

n−fn. c . En déduire que pour tout entier naturel n non nul,

0f n 1 nn1. 2. On considère la suite Sn définie sur ℕ^* par :

S_n=

∑

k=n 2n

1

kk1= 1

nn1 1

n1n2·· · 1 2n2n1 . a . Démontrer que pour tout entier naturel n non nul,

0fnfn1· ··f2nS_n.

b . Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x distinct de −1 et de 0, on ait : 1

xx1=a x b

x1 . c . En déduire l’égalité :

S_n= n1 n2n1.

d . En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand n tend vers ∞ de

∑

fk=f nf n1· · ·f2n. e . Vérifier que pour tout entier n1 ,

f nfn1· · ·f2n=u_n−ln





f . Déterminer la limite de la suite u_n.

BON COURAGE

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