Proba – Correction exo 3 Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
VÉÜÜxvà|ÉÇ xåxÜv|vx F „ _É|á vÉÇà|Çâxá
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0;+õ[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est p
(
[0;t[)
=⌡⌠
0
tλe-λxdx.
Une étude statistique, montrant qu’environ 50% d’un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines permet de poser p
(
[0;200[)
=0,51. Montrons que λ=ln2 200 p
(
[0;200[)
=⌡⌠0
200λe-λxdx=
−e-λx
0
200=-e-200λ+1. De plus p
(
[0;200[)
=0,5 donc –e-200λ+1=0,5 Or, -e-200λ+1=0,5ñe-200λ=0,5ñ−200λ=ln0,5=ln
1
2 =-ln2ñ λ=ln2 200
2. Calculons la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines.
p
(
[300;+õ[ =1−p) (
[0;300[ =1-)
⌡⌠
0
300λe-λxdx=e-λ×300=e-3 ln22 =eln2-32=2-32= 1 2
3 2
= 1
2 2ó0,35
La probabilité, au centième, qu’un des composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines est 0,35 .
3. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers +õ de ⌡⌠
0
Aλxe-λxdx a. Montrons que ⌡⌠
0
Aλxe-λxdx=-λAe-λA−e-λA+1 λ
Effectuons une intégration par parties en considérant les fonctions u et v dérivables et à dérivées continues telles que :
u(x)=x
v′(x)=λe-λx donc
u′(x)=1 v(x)=-e-λx Alors ⌡⌠
0
Aλxe-λxdx=
−xe-λx
A 0−
⌡⌠
0
A-e-λxdx=-Ae-λA+
−1 λe-λx
A
0=-Ae-λA−1
λ e-λA+1
λ = -Aλe-λA−e-λA+1 λ
b. Déduisons-en dm. On déterminera la valeur exacte et une valeur approchée à la semaine près.
λ>0 donc lim
A↔+õ-Aλe-λA= lim
X↔-õXeX=0 et lim
A↔+eõ-λA= lim
X↔-õeX=0 Donc lim
A↔+õ ⌡⌠
0
Aλxe-λxdx=1 λ =200
ln2 donc dm=200
ln2 ó289 La durée de vie moyenne de ces composants est dm=200
ln2semaines soit environ 289 semaines .
