Proba – Lois discrètes_Correction ex 4 Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
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Lors d’un examen, un questionnaire à choix multiple (QCM) est utilisé. On s’intéresse à 5 questions de ce QCM supposées indépendantes. A chaque question sont proposées 4 affirmations, numérotées 1, 2, 3 et 4, dont une seule est exacte. Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de l’affirmation qu’il juge exacte ; sa réponse est correcte si l’affirmation qu’il a retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte.
1. Un candidat répond à chaque question au hasard, càd qu’il considère les quatre affirmations correspondantes équiprobables.
a. Calculons la probabilité de l’événement A : "le candidat répond correctement à la 1ère des 5 questions"
Le candidat a une chance sur 4 de répondre convenablement à la 1ère question donc p(A)=1 4 La probabilité qu’il réponde correctement à la première question est p(A)=1
4 .
Calculons la probabilté de l’événement B : "le candidat répond au moins à deux questions sur les cinq"
L’expérience consistant à répondre aux 5 questions est un schéma de Bernouilli à 5 épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve a deux issues possibles :
• La réponse est exacte de probabilité 1
4 • La réponse est inexacte de probabilité 3 4 Soit X la v.a. donnant le nombre de bonnes réponses alors la v.a. X suit la loi binomiale de paramètres n=5 et p=1
4 B est l’événement "le candidat répond correctement à au moins 2 questions" càd l’événement "p(XÃ2)"
Alors p(B)=p(XÃ2)=1−(p(X=0)+p(X=1))=1−
5
0
1 4
0
3 4
5+
5 1
1 4
1
3 4
4
=
1−
3 4
5+5×34
45 =1− 81 128= 47
128 La probabilité que le candidat réponde au moins à 2 questions est p(B)= 47
128
b. On attribue la note 4 à toute réponse correcte et -1 à toute réponse incorrecte. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Calculons la probabilité de l’événement C : "le candidat obtient une note au moins supérieure à 10 pour l’ensemble des cinq questions".
X est la v.a. qui donne le nombre de bonne réponses. Le candidat a donc X bonnes réponses et 5−X réponses incorrectes.
La note qu’il obtient est donc N=4×X+(-1)×(5−X)=5X−X=5(X−1) NÃ10ñ5(X−1)Ã10ñXÃ3
donc p(C)=p(XÃ3)=1−p(X<3)=1−(p(X=2)+p(XÂ1))=1−
5
2
1 4
2
3 4
3+ 81
128 =1−
135 512+ 81
128 = 53 512 Méthode 2 : p(C)=p(XÃ3)=p(X=3)+p(X=4)+p(X=5)
La probabilité que la note qu’il obtient soit supérieure ou égale à 10 est p(C)= 53 512
2. On suppose maintenant qu’un candidat connaît la réponse correcte à deux questions et qu’il répond au hasard aux trois autres questions, quelle est la probabilité de l’événement C décrit qu 1.b. ?
Pour avoir la moyenne, le candidat doit obtenir au moins 3 bonnes réponses sur les 5. Puisqu’il connaît 2 réponses, il lui faut donc trouver au moins une réponse correcte sur les 3 autres.
La proba qu’il réponde faux à un item est 3
4. Or, les événements "obtenir au moins 1 bonne réponse" et "ne pas obtenir de bonne réponse" sont contraires donc la probabilité p qu’il n’obtienne pas de bonne réponse sur les 3 items est donc p=
3 4
3=27
64
La probabilité qu’il obtienne la moyenne est alors 1−p=37 64
