Proba – Correction exo 2_Adéquation de données à une loi équirépartie Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
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Un pisciculteur possède un bassin qui contient trois variétés de truites, communes, saumonées et arc en ciel. Il voudrait savoir s’il peut rejeter l’hypothèse que son bassin contienne autant de truites de chaque variété. Pour cela, il effectue au hasard 400 prélèvements d’une truite avec remise et obtient les résultats donnés dans l’énoncé.
1.
a. Calculons les fréquences de prélèvement fc, fs et fa d’une truite commune, saumonée et arc en ciel.
fc=146
400, fs=118
400 et fa=136 400
Les fréquences de prélèvement des truites communes, saumonées et arc en ciel sont respectivement fc=146
400, fs=118 400 et fa=136
400
b. On pose d2=
fc−1
3
2+
fs−1
3
2+
fa−1
3
2
. Calculons 400d2 arrondi à 10-2 près.
400d2=400
146 400−1
3
2+
118 400−1
3
2+
136 400−1
3
2 =151
150ó1,01
Une valeur approchée à 10-2 près de 400d2 est 1,01. On appelle 400d2obs cette valeur.
A l’aide d’un ordinateur, le pisciculteur simule le prélèvement au hasard de 400 truites suivant la loi équirépartie. Il répète 1 000 fois l’opération et calcule à chaque fois la valeur 400d2.
Le diagramme à bandes de l’énoncé représente la série des 1 000 valeurs 400d2, obtenues par simulation.
2. Déterminons une valeur approchée à 0,5 près par défaut, du neuvième décile D9 de cette série.
D9 est la plus petite valeur de la série des 400d2 telle qu’au moins 90% des valeurs (càd 900 valeurs) soient inférieures à D9.
Or, d’après le diagramme à bandes, 896 valeurs de 400d2 sont inférieures à 1,5 et 947 sont inférieures à 2 donc D9☻[1,5;2] donc une valeur approchée par défaut à 0,5 près de D9 est 1,5 .
3. En argumentant la réponse, peut-on rejeter l’hypothèse, avec un risque inférieur à 10%, que "le bassin contient autant de truites de chaque variété".
400d2obs=1,01 et D9=1,5 (valeur par défaut)
donc 400d2obs<D9, on ne peut donc pas rejeter l’hypothèse que le bassin contienne autant de truites de chaque variété . Attention : On ne peut cependant pas accepter non plus cette hypothèse.
4. On considère désormais que le bassin contient autant de truite de chaque variété. quand un client se présente, il prélève au hasard une truite du bassin. Trois clients prélèvent chacun une truite. Le grand nombre de truites du bassin permet d’assimiler ces prélèvements à des tirages successifs avec remise.
Calculons la probabilité qu’un seul des trois clients prélève une truite commune.
L’expérience consistant à prélever 3 truites avec remise est un schéma de 3 épreuves de Bernouilli dont le succès est "une truite commune est prélevée" de probabilité p=1
3.
La v.a. X donnant le nombre de truites communes prélevées suit donc une loi binomiale de paramètres n=3 et p.
La probabilité qu’un seul client prélève une truite commune est donc p(X=1) Or, p(X=1)=
3 1
1 3
1
2 3
2=3×1
3×4 9=4
9
Ainsi la probabilité qu’une seule truite commune soit prélevée est 4 9 .
