Proba – Correction exo 2 Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
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Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents exterieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeux sur la route… Un autocar part de son entrepot.
On note D la v.a. qui mesure la disatnce en km que l’autocar va parcourir jusqu’à ce que survienne un incident. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1
82, appelée loi de durée de vie sans vieillissement.
1. Calculons la probabilité que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km.
D suit la loi exponentielle de paramètre λ donc la probabilité que la distance sans incident soit comprise entre 50 et 100 km est p(50ÂDÂ100)=
⌡⌠
50
100λe-λtdt=
−e-λt
50 100=-e-
100 82+e-
50
82ó0,248 (à 10-3 près)
A 10-3 près, la proba que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km est 0,248.
• Calculons la probabilité que la distance parcourue sans incident soit supérieure à 300 km.
p(DÃ300)=1−p(D<300)=1−
(
1−e-λ×300)
=e-300
82ó0,026 (à 10-3 près)
A 10-3 près, la probabilité pour que la distance parcourue soit supérieure à 300 km est 0,026.
2. Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 km sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains km ?
D suit la loi de durée de vie sans vieillissement donc pDÃ350(DÃ350+25)=p(DÃ25)=e-
25
82ó0,737 (à 10-3 près) A 10-3 près, la probabilité qu’il ne connaisse pas d’accident dans les 25 prochains km sachant qu’il n’en a pas connu dans les 350 km précédents est 0,737.
3. Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.
a. Au moyen d’uen I.P.P. calculons I(A)=
⌡
⌠
0 A 1
82xe
( )
-82x dx où A est un réel positif.Considérons les fonctions u et v dérivables et à dérivées continues telles que
u(x)=x v′(x)= 1
82e-
x 82 dc
u′(x)=1 v(x)=-e-
x 82
On a alors I(A)=
−xe-
x 82
A 0−
⌡⌠
0 A-e-
x
82dx =-Ae-
A 82−
82e-
x 82
A
0=-Ae-
A 82−82e-
A
82+82=(-A−82)e-
A 82+82 Donc I(A)= (-A−82)e-
A 82+82
b. Calculons la limite de I(A) lorsque A tend vers +õ lim
A↔+õ-Ae-
A
82= lim
X↔-õ82XeX=0 et lim
A↔+õe-
A
82= lim
X↔-õeX=0 donc lim
A↔+õI(A)=82 La distance moyenne parcourue sans incident est 82 km .
4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourures par chacun des autocars entre l’entrepot et le lieu où survient un incident sont des v.a. deux à deux indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre λ. d étant un réel positif, on note Xd la v.a. égale au nb d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d km.
a. Montrons que Xd suit une loi binomiale de paramètre N0 et e-λd.
Il s’agit d’un schema de Bernouilli de N0 épreuves indépendantes et identiques dont l’issue d’une épreuve est "l’autocar n’a pas subi d’incident au cours des d premiers km" et de proba p.
p=p(DÃd)=e-
d
82 donc Xd suit bien une loi binomiale de paramètre n=N0 et p=e-
d 82 .
b. Donner le nb moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d km.
E
( )
Xd =N0 e-d
82 donc le nb moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après d km parcourus est N0 e-
d 82
