Proba – Lois discrètes– Correction des exercices 1,2 et 3 Page 1 sur 2
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
VÉÜÜxvà|ÉÇ wxá xåxÜv|vxá D õ F „ _É|á w|ávÜ¢àxá
Exercice 1
Des études statistiques montrent que lors d’une naissance, la probabilité d’avoir un garçon est d’environ 51%. On choisit au hasard une famille de 4 enfants où l’on suppose les fécondations indépendantes.
1- Expliquons pourquoi cette situation peut être modélisée par une loi binomiale.
Supposant les fécondations indépendantes, l’expérience consistant à s’intéresser à la répartition des sexes dans une famille de 4 enfants est un schéma de Bernouilli à 4 épreuves dont le succès de chacune est "l’enfant est un garçon" de probabilité 0,51. La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui donne le nombre de garçons suit donc une loi binomiale de paramètres n=4 et p=0.51.
2- Calculons la probabilité que dans cette famille il y ait au moins un garçon.
L’événement "avoir au moins un garçon" est l’événement "XÃ1"
P(XÃ1)=1−p(X<1)=1−p(X=0)=1−
4
0 0,510×0,494ó0,942
La proba que cette famille ait au moins un garçon est d’environ 0,942 soit environ 94%
Exercice 2
Une chaîne de supermarchés vend des sacs pour le transport des achats. On considère que la
probabilité qu’un sac soit défectueux est 0,03. Les sacs sont livrés par lots de 10 et leurs défectuosités sont supposées indépendantes. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de sacs défectueux dans un lot de 10.
1- Expliquons pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Sachant que l’éventuelle défectuosité d’un sac est indépendante de celle des autres,
l’expérience consistant à déterminer les sacs défectueux dans un lot de 10 est un schéma de Bernouilli à 10 épreuves dont le succès est "le sac est défectueux" de proba 0,03. La loi de proba de la v.a. X qui donne le nombre de sacs défectueux dans le lot de 10 suit donc une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,03.
2- Calculons la probabilité pour que dans un lot de 10 sacs, 2 au maximum soient défectueux.
L’événement "au maximum deux sacs sont défectueux" est l’événement "XÂ2"
P(XÂ2)=p(X=0)+p(X=1)+p(X=2) =
10
0 0,030×0,9710+
10
1 0,031×0,979+
10
2 0.032×0,978ó0,9972 La probabilité qu’au maximum 2 sacs soient défectueux est d’environ 0,9972
3- Calculons l’espérance de la variable X E(X)=10×0,03=0,3
Proba – Lois discrètes– Correction des exercices 1,2 et 3 Page 2 sur 2
Exercice 3
Dans une entreprise spécialisée dans la fabrication de tables et salons de jardin en bois, on effectue une étude afin d’améliorer la rentabilité. La fabrication d’une table nécessite 12 planches. La probabilité qu’une planche présente un nœud dans le bois, ce qui fragilise la table est de 0,04. Une table est mise en vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile. Elle n’est pas mise en vente si elle possède strictement plus de 3 planches fragiles. Dans les autres cas, elle est vendue en promotion. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de planches fragiles par table à la sortie de la fabrication.
1- Donnons la loi de probabilité de X.
Sachant que l’éventuelle fragilité d’une planche est indépendante de celle des autres, l’expérience consistant à étudier la fragilité des 12 planches d’une table est un schéma de Bernouilli à 12 épreuves dont le succès est "la planche est fragile" de proba 0,04. La loi binomiale de la variable X donnant le nombre de planches fragiles par table suit donc une loi binomiale de paramètres n=12 et p=0,04
2- Calculons la probabilité qu’une table soit vendue au tarif normal.
Une table est mise en vente au prix normal si elle possède au maximum une planche fragile donc l’événement
"une table est mise en vente au prix normal" est l’événement "XÂ1"
p(XÂ1)=p(X=0)+p(X=1)=
12
0 0,040×0,9612+
12
1 0,041×0,9611ó0,919
La probabilité qu’une table soit mise en vente au prix normal est d’environ 0,919 .
3- Calculons la probabilité qu’une table soit vendue en promotion.
Une table est vendue en promotion si elle possède 2 ou 3 planches fragiles donc l’événement "une table est mise en vente en promotion" est l’événement "2ÂXÂ3"
p(2ÂXÂ3)=p(X=2)+p(X=3)=
12
2 0,042×0,9610+
12
3 0,043×0,969ó0,08
La probabilité qu’une table soit mise en vente en promotion est d’environ 0,08
