Cours sur les lois de probabilité

Lois de probabilité TS 2008-2009 1/ 4

Cours sur les lois de probabilité

Nous allons voir et étudier différentes lois de probabilités courantes.

I) Probabilités discrètes

1°) Rappels sur les probabilités discrètes

SoitΩ = {e1, e2, . . . , en} un ensemble fini : l’univers des possibles. On associe à chaque élémentei un nombre réel positif, notéP({ei})ouP(ei)tel que

0≤P(ei)≤1 et

n

X

i=1

P(ei) = 1

P(ei)est la probabilité de l’événement élémentaireei.

Définition :Donner tous les nombresP(ei)c’est définir uneloi de probabilitésurΩ.

Exemple: On lance un dé à 6 faces et on regarde le numéro porté par la face supérieure. On noteΩl’ensemble des résultats possibles. Alors Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. C’est à dire que le résultat est e1 = ”1” ou e2 = ”2” ou e3= ”3”... oue6= ”6”.

Si le dé n’est pas truqué, on a envie d’associer la loi de probabilité :P(”1”) =P(”2”) =· · ·=P(”6”) = 1 6. Mais on aurait pu associer la loi de probabilité :P(”1”) =1

2 etP(”2”) =· · ·=P(”6”) = 1

10, correspondant au cas où le dé serait truqué et favoriserait le résultat”1”.

Définition : On appelle variable aléatoire X sur Ω une application X : Ω → R qui à chaque événement élémentaireei deΩassocie un réelX(ei), noté aussixi.

Exemple: On lance deux dés à 6 faces et on regarde la variable aléatoire "somme" :Ssomme des numéros portés par les faces supérieures. On noteΩl’ensemble des résultats possibles. AlorsΩ ={(1; 1); (1; 2); (2; 1);. . .; (6; 6)}.

Card(Ω) = . Et on aS((1; 2)) = 3. On noteraP(”S = 3”) la probabilité que la somme soit égale à 3; ou encoreP(S= 3).

Définition :

On appelleespéranced’une variable aléatoire X surΩle réel E(X) =X

xiP(X =xi) On appellevarianced’une variable aléatoire X surΩle réel V(X) =X

(xi−E(X))² P(X =xi)

2°) Loi de probabilité équiprobable ou équirépartie

Définition: On parle de loi équiprobableou loi équirépartiesichacun des événements élémentaires a la même probabilité d’apparaître:

SiΩ ={e1, e2, . . . , en}est l’ensemble fini de toutes les possibilités,P(ei) = 1

n pour toutitel que1≤i≤n.

Propriétés:

Si on a équiprobabilitéet si Aest un événement constitué demévénements élémentaires alors P(A) = m

n =nombre de cas favorables nombre de cas possibles

Dans le cas d’équiprobabilité, le calcul de probabilités coïncide avec le calcul de fréquences.

3°) Loi de Bernouilli et loi binomiale

Définition: Une épreuve de Bernouilli est une épreuve à deux issues : Succès/Échec notées S/E ou S/S avec respectivement les probabilitéspet1−p.

On associe la variable aléatoire discrèteX qui compte le nombre de succès :

x 0 1

p(X =x) 1−p p

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Propriétés:

L’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètrepestE(X) =p.

La variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètrepestV(X) =p(1−p).

Définition: Enrépétantnfois de suite de façon indépendante une épreuve de Bernoullide type Succès/Échec de paramètrep, on définit un schéma de Bernoulli.

On associe la variable aléatoire discrèteX qui compte le nombre de succès; alors X suit une loi binomiale de paramètre net p

Propriétés:

p(X =k) = n

k

p^k(1−p)^n−k Propriétés:

L’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètrepestE(X) =np.

La variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètrepestV(X) =np(1−p).

II) Probabilités continues

1°) Généralités sur la densité d’une probabilité continue

Dans certains cas, le nombre d’événements n’est pas fini et est même dépendant d’un phénomène continu ; par exemple la désintégration radioactive, ou la durée de vie d’un composant électronique. Dans ces cas là, on est obligé de définir une probabilité sur un intervalle réel (borné ou non) :

Définition: On dit quef est unedensité de probabilitésur un intervalle[a;b]si la fonctionfvérifie les propriétés suivantes :

-f est définie et continue sur[a;b] -f est positive sur[a;b] -Rb

a f(t)dt= 1.

Définition: On dit quela variable aléatoireX admetf comme densitési pour tout intervalle[α;β]inclus dans [a;b], on a :

p(X ∈[α;β]) = Z β

α

f(t)dt On dit alors que laloi de probabilité pdeX estcontinue.

2°) Loi uniforme

Exemple : on veut définir une probabilité correspondant au tirage aléatoire d’un réel quelconque de l’intervalle [0; 1].

Définition : On dit qu’une variable aléatoireX suit une loi uniforme sur l’intervalle [a;b] si sa densité est la fonctionf définie sur l’intervalle[a;b]par lafonction constantef(t) = 1

b−a. Propriétés: Pour tout intervalle[α;β]inclus dans [a;b], on a :

p(X∈[α;β]) = β−α

b−a Et on aE(X) =a+b

2

3°) Loi exponentielle

On dit qu’une variable aléatoireX suit une loi exponentielle de paramètreλ >0si sa densité est la fonctionf définie sur l’intervalle[0; +∞[parf(t) =λ e^−λt.

Propriété: Pour toutx≥0, on a : p(X≤x) = 1−e^−λx Pour toutx≥0, on a : p(X≥x) =p(X > x) =e^−λx Démonstration :

On a :

p(X ≤x) = Z x

0

λ e^−λtdt=

−e^−λtdt ^x

0

= 1−e^−xλ Et

p(X > x) = 1−p(X ≤x) =e^−λx

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Propriété: Une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle suit uneloi de durée de vie sans vieillissement: pX≥h(X≥x+h) =p(X≥x) pour tous réels positifsxet h

Démonstration :

On sait d’après la propriété précédente quep(X ≥x) =e^−λx. Et par définition d’une proba conditionnelle, on a :

pX≥h(X ≥x+h) =P(”X ≥x+h”∩”X ≥h”) P(”X ≥h”) .

Mais”X≥x+h”∩”X ≥h” = ”X ≥x+h”doncpX≥h(X ≥x+h) = P(”X ≥x+h”)

P(”X ≥x+h”) = e^−λ(x+h)

e^−λh =e^−λx. Remarque : cette probabilité est définie sur un intervalle non borné. Or dans la définition d’une densité de probabilité on devrait avoirR+∞

0 λ e^−λtdt = 1.

Mais il faut alors donner un sens àR+∞

0 f(t)dt. On définit cette intégrale comme lim

X→+∞

RX 0 f(t)dt.

Et puisqueRX

0 λ e^−λtdt = 1−e^−λX, on a bien lim

X→+∞

RX

0 λ e^−λtdt= lim

X→+∞1−e^−λX= 1.

III) Test d’adéquation à une loi

Exemple:

On effectue une série d’expériences identiques et indépendantes ; par exemple on lance 1000 fois un dé cubique.

Les issues possibles sont au nombre de six :{1; 2; 3; 4; 5; 6}.

On veut tester l’équirépartition des résultats, c’est à dire qu’on voudrait savoir si on peut ou non rejeter le modéle selon lequel aucune face n’est privilégiée. En d’autres termes, il sera d’autant plus raisonnable de rejeter l’hypothèse d’équirépartition que la suite des fréquences observées(f1;f2;f3;f4;f5;f6)est plus éloignée de la suite constante

1 6;1

6;1 6;1

6;1 6;1

6

.

En effet, laLoi faible des grands nombresaffirme que plus le nombre d’expériences est grand, plus les fréquences observées se rapprochent des probabilités. Donc si les fréquences observées pour un nombre important d’ex- périence s’éloignent d’un modéle « équiréparti » c’est que les probabilités d’obtention de chaque face ne sont sûrement pas égales, et que lemodèle équiprobable est à rejeter.

Il reste à définir un indicateur calculant cet éloignement : on calcule à l’aide les fréquencesfi observées d²observé=

n

X

i=1

fi−1

n 2

Plusd²sera grand plus on s’écarte du modèle équiréparti. Mais comment décréter si on en est « près » ou « loin » ? Pour cela, on effectue 200 simulations de 1000 lancers de dé. On obtient alors 200 valeurs ded².

Ces simulations ne peuvent évidemment pas être faites le jour du Bac (sauf lors de l’epreuve expérimentale).

On vous fournit donc les résultats obtenus ; par exemple

• On nous donne la valeur du 99ème centile vaut d²₉₉ = 0,01258 : qu’est ce que ça veut dire ? Eh bien cela signifie que 99% des valeurs obtenues lors de la simulation pourd² sont inférieures à 0,01258.

Imaginons que nous ayons trouvé lors de notre jet de dé d²= 0,00948.

On a doncd²observé< d²₉₉. On en déduit qu’on ne peut pas, au seuil de1%, rejeter l’hypothèse d’équirépartition.

• Maintenant, s’il est précisé que le 95ème centile vaut 0,00888. Cette foisd²observé> d²₉₅. Cette fois-ci on peut, au risque d’erreur de5%, rejeter l’hypothèse de régularité du dé.

Remarques:

Les valeurs des déciles pourront être données directement ou lues sur un histogramme ou une boîte à moustache.

Sur Exclel ou Open Office, on entre=ENT( 6*ALEA())+1pour simuler le tirage d’un nombre entier entre 1 et 6.

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III) Exercices

Exercice 1(d’après bac):

Les 1 000 premières décimales deπsont données par un ordinateur, et on remplit le tableau :

Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106 1. Effectuer le calcul ded²_obssur la série des 1 000 premières décimales de π.

2. Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu’il s’agit des décimales de π, fait l’hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il simule donc un grand nombre de tels tirages et trouve : d²₉= 0,00145

Il prend un risque de 10 % de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ? Exercice 2(d’après bac):

Un pisciculteur possède un bassin qui contient trois variétés de truites : communes, saumonées et arc-en-ciel. Il voudrait savoir s’il peut considérer que son bassin contient autant de truites de chaque variété.

Pour cela il effectue, au hasard, 400 prélèvements d’une truite avec remise et obtient les résultats suivants : Variété Commune Saumonée Arc-en-ciel

Effectifs 146 118 136

1. a. Calculer les fréquences de prélèvement fC d’une truite commune, fS d’une truite saumonée et fA

d’une truite arc-en-ciel. On donnera les valeurs décimales exactes.

b. On posed²obs=

fC−1 3

2

+

fS−1 3

2

+

fA−1 3

2

. Calculer400d²obs arrondi à10⁻² près.

2. À l’aide d’un ordinateur, le pisciculteur simule le prélèvement au hasard de 400 truites suivant la loi équirépartie. Il répète 1 000 fois cette opération et calcule à chaque fois la valeur de400d². Le diagramme à bandes ci-dessous représente la série des 1 000 valeurs de 400d², obtenues par simulation.

a. Déterminer une valeur approchée à 0,5 près par défaut, du neuvième décileD9de cette série.

b. En argumentant soigneusement la réponse dire si on peut affirmer avec un risque d’erreur inférieur à 10% que « le bassin contient autant de truites de chaque variété ».