1.1 Exercice 1 :Extrait de l’´ epreuve de juin 2003

08-05-2006 Terminale ES2 http://weislingermathias.free.fr

Exercices sur l’ad´equation `a une loi ´equir´epartie

Table des mati` eres

1 Exercices 1

1.1 Exercice 1 :Extrait de l’´epreuve de juin 2003 . . . 1

1.2 Correction . . . 1

1.3 Exercice 2 :Extrait de l’´epreuve de mars 2003 `a Pondich´ery . . . 2

1.4 Correction . . . 2

1 Exercices

1.1 Exercice 1 :Extrait de l’´ epreuve de juin 2003

Les guichets d’une agence bancaire d’une petite ville sont ouverts au public cinq jours par semaine : les mardi, mercredi, jeudi, vendredi et samedi.

Le tableau ci-dessous donne la r´epartition journali`ere des 250 retraits d’argent liquide effectu´es aux guichets une certaine semaine.

Jour de la semaine mardi mercredi jeudi vendredi samedi

Rangidu jour 1 2 3 4 5

Nombre de retraits 37 55 45 53 60

On veut tester l’hypoth`ese :le nombre de retraits est ind´ependant du jour de la semaine. On suppose donc que le nombre des retraits journaliers est ´egal `a ¹₅ du nombre des retraits de la semaine.

On posed²obs=

5

X

i=1

fⁱ−1

5 ²

o`uf<sup>i</sup> est la fr´equence des retraits dui-`eme jour.

1. Calculer les fr´equences des retraits pour chacun des cinq jours de la semaine.

2. Calculer alors la valeur de 1 000d²obs(la multiplication par 1 000 permet d’obtenir un r´esultat plus lisible).

3. En supposant qu’il y a ´equiprobabilit´e des retraits journaliers, on a simul´e 2 000 s´eries de 250 retraits hebdoma- daires.

Pour chaque s´erie, on a calcul´e la valeur du 1 000d²obscorrespondant. On a obtenu ainsi 2 000 valeurs de 1 000d²obs. Ces valeurs ont permis de construire le diagramme en boˆıte ci-dessous o`u les extr´emit´es des ”pattes ” correspondent respectivement au premier d´ecile et au neuvi`eme d´ecile.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lire sur le diagramme une valeur approch´ee du neuvi`eme d´ecile.

4. En argumentant soigneusement la r´eponse, dire si pour la s´erie observ´ee au d´ebut, on peut affirmer, avec un risque d’erreur inf´erieur `a 10 %, que le nombre de retraits est ind´ependant du jour de la semaine ?

1.2 Correction

1. Calculs des fr´equences :

Les fr´equencesfise calculent `a l’aide de la relation ni

250.

Jour de la semaine mardi mercredi jeudi vendredi samedi

Rangidu jour 1 2 3 4 5

nⁱ 37 55 45 53 60

fi 0,148 0,22 0,18 0,212 0,24

2. Le calcul du carr´e de la distanced^obsdonned²obs≈0,005248 donc 1 000d²obs≈5,248.

3. On sait que le neuvi`eme d´ecile correspond `a la derni`ere patte du diagramme doncD9≈6.

4. Le r´esultat pr´ec´edent signifie que :

• 90% des valeurs simul´ees de 1 000d²sont inf´erieures ou ´egales `a 6 et seront consid´er´ees comme«normales».

• 10% des valeurs simul´ees de 1 000d²sont sup´erieures `a 6 et seront consid´er´ees comme marginales.

La valeur calcul´ee 1 000d²obs ,valant environ 5,248 , est inf´erieur `a 6 comme 90% des valeurs simul´ees. on peut donc d´eclarer avec une marge d’erreur de 10% que le nombre de retraits est en ad´equation avec la loi ´equir´epartie.

Autrement dit, on peut affirmer avec un risque d’erreur inf´erieur `a 10% que le nombre de retraits est ind´e- pendant du jour de la semaine .

1

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1.3 Exercice 2 :Extrait de l’´ epreuve de mars 2003 ` a Pondich´ ery

Un pisciculteur poss`ede un bassin qui contient trois vari´et´es de truites : communes, saumon´ees et arc-en-ciel. Il voudrait savoir s’il peut consid´erer que son bassin contient autant de truites de chaque vari´et´e. Pour cela il effectue, au hasard, 400 pr´el`evements d’une truite avec remise et obtient les r´esultats suivants :

Vari´et´e Commune Saumon´ee Arc-en-ciel

Effectifs 146 118 136

1. (a) Calculer les fr´equences de pr´el`evementfcd’une truite commune,fsd’une truite saumon´ee etfad’une truite arc-en-ciel. On donnera les valeurs d´ecimales exactes.

(b) On posed²= fc−¹3

²

+ fs−¹3

²

+ fa−¹3

² .

Calculer 400d² arrondi `a 10⁻²; on note 400d²obscette valeur.

A l’aide d’un ordinateur, le pisciculteur simule le pr´el`evement au hasard de 400 truites suivant la loi`

´equir´epartie. Il r´ep`ete 1 000 fois cette op´eration et calcule `a chaque fois la valeur de 400d².

Le diagramme `a bandes ci-dessous repr´esente la s´erie des 1 000 valeurs de 400d², obtenues par simulation.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0 100 200 300 400 500

539

235

122

51 41

12

400d² Effectifs

2. D´eterminer une valeur approch´ee `a 0,5 pr`es par d´efaut, du neuvi`eme d´ecile D9 de cette s´erie.

3. En argumentant soigneusement la r´eponse dire si on peut affirmer avec un risque d’erreur inf´erieur `a 10 % que

«le bassin contient autant de truites de chaque vari´et´e».

4. On consid`ere d´esormais que le bassin contient autant de truites de chaque vari´et´e. Quand un client se pr´esente, il pr´el`eve au hasard une truite du bassin.

Trois clients pr´el`event chacun une truite. Le grand nombre de truites du bassin permet d’assimiler ces pr´el`eve- ments `a des tirages successifs avec remise.

Calculer la probabilit´e qu’un seul des trois clients pr´el`eve une truite commune.

1.4 Correction

1. (a) Calculs des fr´equences de pr´el`evement :

Les fr´equencesfⁱ se calculent `a l’aide de la relation nⁱ 400.

Type de truites commune saumon´ee arc-en-ciel

ni 146 118 136

fⁱ 0,365 0,295 0,24

(b) Calcul dud²= f^c−¹3

²

+ f^s−¹3

²

+ f^a−¹3

²

= 0,365−¹3

²

+ 0,295−¹3

²

+ 0,34−¹3

² . Donc 400d²= 400h

0,365−¹3

²

+ 0,295−¹3

²

+ 0,34−¹3

²i

≈1,01.

2. D´eterminons le neuvi`eme d´ecile en dressant le tableau des fr´equences cumul´ees croissantes de la s´erie des 1 000 valeurs de 400d²obtenues lors de la simulation :

Classe [0; 0,5[ [0,5; 1[ [1; 1,5[ [1,5; 2[ [2; 2,5[ [2,5; 3[

Effectifs 539 235 122 51 41 12

Effectifs cumul´es 539 774 896 947 988 1000

Fr´equences cumul´ees 53,9% 77,4% 89,6% 94,7% 98,8% 100%

89,6% des valeurs sont inf´erieures `a 1,5 et 94,7% des valeurs sont inf´erieures `a 2 donc le neuvi`eme d´ecile se situe dans l’intervalle [1,5; 2[ donc :

2

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le neuvi´eme d´ecile not´eD9 a pour valeur approch´ee 1,5 par d´efaut `a 0,5 pr`es.

3. Le r´esultat pr´ec´edent signifie que :

• 90% des valeurs simul´ees de 400d² sont inf´erieures ou ´egales `a 1,5 et seront consid´er´ees comme«normales».

• 10% des valeurs simul´ees de 400d²sont sup´erieures `a 1,5 et seront consid´er´ees comme marginales.

La valeur calcul´ee 400d²obs,valant environ 1,01 , est inf´erieur `a 1,5 comme 90% des valeurs simul´ees. on peut donc d´eclarer avec une marge d’erreur de 10% que la r´epartition des truites est en ad´equation avec la loi ´equir´epartie.

Autrement dit, on peut affirmer avec un risque d’erreur inf´erieur `a 10%

que le bassin contient autant de truites de chaque sorte.

4. Puisqu’on suppose que le bassin contient autant de truites de chaque sorte, la probbailit´e de pr´elever une truite commune est ¹3.

D’autre part les pr´el`evements sont suppos´es ind´ependants puisqu’ils sont assimil´es `a des tirages successifs avec remise. Dans ce contexte on peut noter C l’´ev`enement :«pr´elever une truite commune» et C son contraire.

On peut traduire la situation par un sch´ema de Bernoulli ,en effet il s’agit ici de la r´ep´etition de 3 ´epreuves de Bernoulli ind´ependantes ,de param`etre <sup>1</sup>3.Le nombre de truites communes pr´elev´ees suit donc la loi binomiale de param`etresp= ¹₃ et n= 3.

Il y a 3 mani`eres d’obtenir une seule truite exactement :C−C−C;C−C−C; C−C−C.

La probabilit´e qu’un seul client des trois clients pr´el`eve une truite commune est donc : p=1

3 ×2 3×2

3 +2 3 ×2

3×1 3 +2

3 ×1 3×2

3 = 3×1 3×

2 3

²

donc p= 8 27

3