Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Semestre 3
11. Formes quadratiques
Exercice1 — Trouver les matrices associ´ees aux formes quadratiques suivantes, puis d´eterminer leur signe.
Q1(x, y) =−3x2+ 8xy−5y2 Q2(x, y) = 2x2+ 8y2 Q3(x, y, z) =−x2−2xy−y2−2z2 Q4(x, y, z) =x2+ 4xy+ 4y2+ 10yz+ 6z2
Q5(x, y, z) = 3x2+y2+ 3z2−6xz Q6(x, y, z, t) =x2−y2+z2+t2+ 4yz−2xt
Exercice 2 — ´Ecrire les formes quadratiques associ´ees aux matrices sym´etriques suivantes, puis d´eterminer leur signe.
A1 =
2 −1
−1 1
A2 =
−3 3
3 0
A3=
−3 4 4 −6
A4=
2 4 4 8
A5 =
1 −1 1
−1 0 2
1 2 0
A6 =
−1 1 0
1 −1 0
0 0 −2
A7=
1 0 3 0 0 2 0 5 3 0 4 0 0 5 0 6
Exercice 3 — Soita∈R et
A=
1 1 1 a
.
(1) ´Ecrire la forme quadratiqueQ surR2 dont A est la matrice.
(2) D´eterminer le signe de Qen fonction de a.
Exercice 4 — D´eterminer le signe des formes quadratiques suivantes sur R2, puis sur le sous-espace x+y = 0.
Q1(x, y) =x2+ 2xy−y2 Q2(x, y) = 4x2+ 2xy−y2
Exercice 5 — D´eterminer le signe des formes quadratiques suivantes sur R3, puis sur le sous-espace x+y+z = 0
x+y−z = 0
Q1(x, y, z) =x2+y2−z2+ 4xz−2xy Q2(x, y, z) =x2+y2+z2+ 4xz−2xy
1
* Exercice 6 — Sur quels sous-espaces de R2 la forme quadratique Q(x, y) = xy est-elle d´efinie positive, d´efinie n´egative ?
* Exercice 7 — Soit Q une forme quadratique non d´efinie. Montrer qu’il existe un sous-espace sur laquelle Qest nulle.
Indication. On se placera dans la base qui diagonalise la matrice associ´ee.
